Spektorsky_diskretka

6.8. ‘ã¬÷¦-÷ ª« á¨

‹¥£ª® §а®§г¬чв¨, й® ®¡'х¤- --п ¢бче «ч¢¨е ( - «®£чз-®, гбче ¯а ¢¨е) бг¬ч¦-¨е ª« бч¢ §¡ч£ хвмбп § ¬-®¦¨-®о G, ®áª÷«ìª¨ ª®¦¥- ¥«¥¬¥-â a 2 G

®¡®¢'離®¢® ¢å®¤¨âì ã «÷¢¨© áã¬÷¦-¨© ª« á a ¤H ( - «®£÷ç-®, a 2 H ¤a). Žâ¦¥, ®âਬ -® ¤¢ ஧¡¨ââï ¬-®¦¨-¨ G ¢ ®¡'õ¤- --ï «÷¢¨å áã¬÷¦-¨å ª« á÷¢ â ¯à ¢¨å áã¬÷¦-¨å ª« á÷¢ § ¯÷¤£à㯮î H:

[[

‡ §- 稬®, é® ¤¥ïª÷ «÷¢÷ áã¬÷¦-÷ ª« ᨠa ¤ H â b ¤ H ( - «®£÷ç-®, ¯à ¢÷ áã¬÷¦-÷ ª« ᨠH ¤ a â H ¤ b) ¬®¦ãâì §¡÷£ â¨áï ¤«ï a 6= b. Ž¤- ª ¤«ï H ¤a =6 H ¤b, § ⥮६®î 6.12 ª« ᨠH ¤a â H ¤b -¥ ¯¥а¥ач§ овмбп

( - «®£÷ç-®, a ¤ H \ b ¤ H = ?, ïªé® a ¤ H 6= b ¤ H). ‡ 㢠¦¨¬® â ª®¦,

é® â¥®à¥¬ 6.12 áä®à¬ã«ì®¢ - ®ªà¥¬® ¤«ï ¯à ¢¨å ÷ ®ªà¥¬® ¤«ï «÷¢¨å áã¬÷¦-¨å ª« á÷¢, ⮡⮠«÷¢¨© a¤H â ¯à ¢¨© H ¤b áã¬÷¦-÷ ª« ᨠ¬®¦ãâì

-¥ §¡÷£ â¨áï â ¬ ⨠-¥¯®à®¦-÷© ¯¥à¥â¨-.

‡ §- з¨¬®, й® б¥а¥¤ «ч¢¨е (пª ч б¥а¥¤ ¯а ¢¨е) бг¬ч¦-¨е ª« бч¢ х в ªч, й® §¡ч£ овмбп:

e ± [c1] = c1 ± [c1]; c2 ± [c1] = f2 ± [c1]; c3 ± [c1] = f1 ± [c1]; [c1] ± e = [c1] ± c1; [c1] ± c2 = [c1] ± f1; [c1] ± c3 = [c1] ± f2 :

Žв¦¥, ¬ х¬® ва¨ ач§-ч «ч¢ч (ч ва¨ ач§-ч ¯а ¢ч) бг¬ч¦-ч ª« б¨, й® ¯®- ¯ а-® -¥ ¯¥а¥ач§ овмбп. ’ ª¨¬ з¨-®¬, «ч¢ч в ¯а ¢ч бг¬ч¦-ч ª« б¨ § [c1]

¤ îâì - ¬ ¤¢ à÷§-÷ ஧¡¨ââï S3 - âਠ¬-®¦¨-¨:

S3 = fc1; eg [ ff1; c3g [ ff2; c2g = fe; c1g [ ff1; c2g [ ff2; c3g:

149

•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £àã¯

• а¥ивч, § г¢ ¦¨¬®, й® ®ва¨¬ -® «ч¢ч в ¯а ¢ч бг¬ч¦-ч ª« б¨, пªч -¥ §¡ч£ овмбп, «¥ ¬ овм -¥¯®а®¦-ч© ¯¥а¥в¨-; в ª¨¬¨, - ¯а¨ª« ¤, х «ч¢¨©

â ¯à ¢¨© áã¬÷¦-÷ ª« á¨, ¯®à®¤¦¥-÷ ¥«¥¬¥-⮬ c2:

c2 ± [c1] = ff2; c2g 6= [c1] ± c2 = ff1; c2g; (c2 ± [c1]) \ ([c1] ± c2) = fc2g:

2. •®§£«ï-¥¬® «÷¢÷ â ¯à ¢÷ áã¬÷¦-÷ ª« ᨠᨬ¥âà¨ç-®ù £à㯨 S3 § ¯÷¤£à㯮î [f1] = ff1; f2; eg:

“ жм®¬г ¢¨¯ ¤ªг «ч¢ч в ¯а ¢ч бг¬ч¦-ч ª« б¨, ¯®а®¤¦¥-ч б¯ч«м-¨¬ ¥«¥¬¥-⮬, §¡ч£«¨бп. ’ ª¨¬ з¨-®¬, ®ва¨¬ -® ¤¢ ач§-ч «ч¢ч (пªч § а § §¡ч£«¨бп § ¢ч¤¯®¢ч¤-¨¬¨ ¯а ¢¨¬¨) бг¬ч¦-ч ª« б¨, й® ¯®¯ а-® -¥ ¯¥а¥ач- § овмбп. Žв¦¥, «ч¢ч в ¯а ¢ч бг¬ч¦-ч ª« б¨ ¯® [f1] ¤ îâì - ¬ ®¤-¥ © â¥

á ¬¥ ஧¡¨ââï S3 - ¤¢÷ ¬-®¦¨-¨:

S3 = ff1; f2; eg [ fc1; c2; c3g:

6.9. ‘ª÷-ç¥--÷ £à㯨. ’¥®à¥¬ ‹ £à -¦

“æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ®á-®¢-¨¬ ®¡'õªâ®¬ ஧£«ï¤ã ¡ã¤¥ áª÷-ç¥-- £àã-

¯hG; ¤i, ⮡⮠£à㯠, é® ¬÷áâ¨âì «¨è¥ áª÷-ç¥--ã ª÷«ìª÷áâì ¥«¥¬¥-â÷¢.

Š÷«ìª÷áâì ¥«¥¬¥-â÷¢ ã áª÷-ç¥--÷© £àã¯÷ hG; ¤i - §¨¢ îâì ¯®à浪®¬ £àã- ¯¨ hG; ¤i ÷ ¯®§- ç îâì ç¥à¥§ jGj:

jGj = card(G):

•¥å © H ½ G { ¯÷¤£à㯠£à㯨 hG; ¤i.

‹¥¬ 6.8. •ã¤ì-直© áã¬÷¦-¨© ª« á (ïª ¯à ¢¨©, â ª ÷ «÷¢¨©) áª÷-- ç¥--®ù £à㯨 hG; ¤i § ¯÷¤£à㯮î H ¬÷áâ¨âì jHj ¥«¥¬¥-â÷¢.

150

6.9. ‘ª÷-ç¥--÷ £à㯨. ’¥®à¥¬ ‹ £à -¦

„®¢¥¤¥--ï. ’¢¥à¤¦¥--ï «¥¬¨ ¡ã¤¥¬® ¤®¢®¤¨â¨ ¤«ï «÷¢¨å áã¬÷¦-¨å ª« á÷¢ (¢¨¯ ¤®ª ¯à ¢¨å áã¬÷¦-¨å ª« á÷¢ õ ᨬ¥âà¨ç-¨¬).

•¥å © H = fh1; h2; : : : ; hmg, ¤¥ hi =6 hj ¯à¨ i =6 j, ⮡⮠¢á÷ ¥«¥¬¥-- ⨠hi (i = 1; 2; : : : ; m) ¯®¯ à-® à÷§-÷, â jHj = m. ’®¤÷ ¤«ï ¤®¢÷«ì-®£® ä÷ªá®¢ -®£® a 2 G ¬ õ¬®

a ¤ H = fa ¤ h1; a ¤ h2; : : : ; a ¤ hmg:

„ «÷ § ¯à ¢¨« «÷¢®£® ᪮à®ç¥--ï (6.2) ®âਬãõ¬®

(a ¤ hi = a ¤ hj) ) (hi = hj):

Žâ¦¥, a¤hi =6 a¤hj ¤«ï i =6 j, ⮡⮠¢á÷ ¥«¥¬¥-⨠a¤hi (i = 1; 2; : : : ; m)

’¥®à¥¬ 6.13 (⥮६ ‹ £à -¦ 1 ¤«ï áª÷-ç¥--¨å £àã¯). •®- à冷ª ¡ã¤ì-类ù ¯÷¤£à㯨 H áª÷-ç¥--®ù £à㯨 hG; ¤i õ ¤÷«ì-¨ª®¬ ¯®à浪ã

£à㯨 hG; ¤i.

„®¢¥¤¥--ï. •¥å © H { ¯÷¤£à㯠áª÷-ç¥--®ù £à㯨 hG; ¤i. •®§£«ï-¥-

g2G

•¥å © ¬-®¦¨- fg ¤H : g 2 Gg ¬÷áâ¨âì à÷¢-® k à÷§-¨å «÷¢¨å áã¬÷¦-¨å ª« á÷¢, ¯®à®¤¦¥-¨å ¤¥ïª¨¬¨ ¥«¥¬¥-â ¬¨ gj (1 · j · k):

G = (g1 ¤ H) [ ¢ ¢ ¢ [ (gk ¤ H) ; gi ¤ H =6 gj ¤ H ¯à¨ i =6 j:

1‹ £à -¦ †®§¥ä ‹ãù (1736{1813) { äà -æã§ìª¨© ¬ ⥬ ⨪ ÷ ¬¥å -÷ª; ¢â®à äã-- ¤ ¬¥-â «ì-¨å १ã«ìâ â÷¢ ã ¢ à÷ æ÷©-®¬ã ç¨á«¥--÷, ¬ ⥬ â¨ç-®¬ã - «÷§÷, «£¥¡- à÷ â®é®; ஡®â¨ †. ‹. ‹ £à -¦ § ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å -÷ª¨ â áâà®-®¬÷ù ᪫ ¤ îâì 14 ⮬÷¢.

151

•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £àã¯

‡ ⥮६®î 6.12 «ч¢ч бг¬ч¦-ч ª« б¨, й® -¥ §¡ч£ овмбп, ¬ овм ¯®а®¦- -ч© ¯¥а¥в¨-:

(gi ¤ H) \ (gj ¤ H) = ? ¯à¨ i =6 j; 1 · i · k; 1 · j · k:

• à¥èâ÷, § «¥¬®î 6.8 ª®¦-¨© áã¬÷¦-¨© ª« á gj ¤ H (1 · j · k) ¬÷áâ¨âì jHj ¥«¥¬¥-â÷¢, §¢÷¤ª¨ ®âਬãõ¬® ⢥द¥--ï ⥮६¨:

¯÷¤£à㯨 H ÷ ¯®§- ç îâì ç¥à¥§ i(H). •¥à¥¯¨á ¢è¨ à÷¢-÷áâì (6.11) § ãà - å㢠--ï¬ ¢¨§- ç¥--ï ÷-¤¥ªáã ¯÷¤£à㯨, ®âਬãõ¬® á¯÷¢¢÷¤-®è¥--ï

jGj = i(H) ¢ jHj:

Žâ¦¥, ã ¯à®æ¥á÷ ¤®¢¥¤¥--ï ⥮६¨ ‹ £à -¦ ¡ã«® ¢áâ -®¢«¥-®, é® ÷-¤¥ªá ¯÷¤£à㯨 H ½ G â ª®¦ õ ¤÷«ì-¨ª®¬ ¯®à浪㠣à㯨 hG; ¤i.

•à¨ª« ¤ 6.40. „«ï ᨬ¥âà¨ç-®ù £à㯨 S3 (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.38) ®âà¨- ¬ãõ¬®:

i(fc1; eg) = 3; jfc1; egj = 2; i(ff1; f2; eg) = 2; jff1; f2; egj = 3:

152

6.10. • á«÷¤ª¨ § ⥮६¨ ‹ £à -¦

6.10. • á«÷¤ª¨ § ⥮६¨ ‹ £à -¦

1. ƒà㯠, ¯®à冷ª 类ù õ ¯à®á⨬ ç¨á«®¬ (â ª÷ £à㯨 ç áâ® - §¨¢ îâì ¯à®á⨬¨), ¬÷áâ¨âì «¨è¥ âਢ÷ «ì-÷ ¯÷¤£à㯨.

„®¢¥¤¥--ï. ’¢¥à¤¦¥--ï ®¤à §ã ¢¨¯«¨¢ õ § ⥮६¨ ‹ £à -¦ .

2. •®à冷ª ¡ã¤ì-类£® ¥«¥¬¥-â g 2 G õ ¤÷«ì-¨ª®¬ ¯®à浪㠣àã- ¯¨ hG; ¤i.

„®¢¥¤¥--ï. •®à冷ª ¥«¥¬¥-â a 2 G (é® ¤«ï áª÷-ç¥--®ù £à㯨 hG; ¤i õ áª÷-ç¥--¨¬) § ¢¨§- ç¥--ï¬ ¤®à÷¢-îõ ¯®à浪ã 横«÷ç-®ù ¯÷¤£à㯨 [a] ÷ § ⥮६®î ‹ £à -¦ õ ¤÷«ì-¨ª®¬ ¯®à浪㠣à㯨 hG; ¤i.

3. •¥å © a 2 G. ’®¤÷

ajGj = e; ¤¥ e { -¥©âà «ì-¨© ¥«¥¬¥-â £à㯨 hG; ¤i:

„®¢¥¤¥--ï. ‡ - á«÷¤ª®¬ 2 ÷á-ãõ k 2 N, â ª¥, é® jGj = k ¢ jaj. ’®-

¤÷, ¢¨ª®à¨á⮢ãîç¨ ¢« á⨢®áâ÷ á⥯¥-ï ¥«¥¬¥-â ÷ ¢¨§- ç¥--ï ¯®à浪㠥«¥¬¥-â , ®âਬãõ¬®

ajGj = ak¢jaj = (ajaj)k = ek = e:

4. Œ « ⥮६ ”¥à¬ .

•¥å © n 2 Z. ’®¤÷ ¡ã¤ì-瘟 ¯à®á⥠ç¨á«® p õ ¤÷«ì-¨ª®¬ ç¨á« np ¡ n.

„®¢¥¤¥--ï. ‡ ä÷ªáãõ¬® ¯à®á⥠ç¨á«® p ÷ ஧£«ï-¥¬® ¬ã«ì⨯«÷ª â¨- ¢-ã £àã¯ã Zp¤. • £ ¤ õ¬®, é®

(np¡1) = (n)p¡1 = 1

153

•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £àã¯

(- £ ¤ õ¬®, é® 1 { -¥©âà «ì-¨© ã ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢-÷© £àã¯÷ Zp¤). Žâ¦¥, ç¨á« np¡1 â 1 «¥¦ âì ¢ ®¤-®¬ã ª« á÷ «¨èª÷¢ § ¬®¤ã«¥¬ p, ⮡⮠ç¨á«®

Ÿªé® n -¥ ªà â-¥ p, â®, § ¯®¯¥à¥¤-÷¬ ¯ã-ªâ®¬ ¤®¢¥¤¥--ï, ç¨á«® p õ ¤÷«ì-¨ª®¬ ç¨á« np¡1 ¡ 1. Žâ¦¥, ¯à¨- ©¬-÷ ®¤¨- § ¤¢®å ¬-®¦-¨ª÷¢ (n

¢¨¬®£ «¯à®áâ®â¨» ç¨á« p õ -¥®¡å÷¤-®î ã ä®à¬ã«î¢ --÷ ¬ «®ù ⥮६¨ ”¥à¬ .

6.11. •®à¬ «ì-÷ ¤÷«ì-¨ª¨

“ æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ÷ ¤ «÷ ஧£«ï¤ ⨬¥¬® ¤®¢÷«ì-÷ (-¥ ®¡®¢'離®¢® áª÷-ç¥--÷) £à㯨.

“¦¥ ¢÷¤®¬® § ¯÷¤à®§¤. 6.8, é® ¯÷¤£à㯠¯®à®¤¦ãõ ¤¢ ஧¡¨ââï £à㯨 { - «÷¢÷ â - ¯à ¢÷ áã¬÷¦-÷ ª« á¨, ¯à¨ç®¬ã æ÷ ¤¢ ஧¡¨ââï ¬®¦ãâì -¥ §¡÷£ â¨áï (¯à¨ª«. 6.38). “ жм®¬г ¯ч¤а®§¤ч«ч ஧£«п-¥¬® ¯ч¤£аг¯¨, ¤«п пª¨е ஧¡¨ввп - ¯а ¢ч в - «ч¢ч бг¬ч¦-ч ª« б¨ §¡ч£ овмбп.

Ž§- ç¥--ï 6.17. •÷¤£àã¯ã H £à㯨 hG; ¤i - §¨¢ îâì -®à¬ «ì-¨¬ ¤÷«ì-¨ª®¬ (-®à¬ «ì-®î ¯÷¤£à㯮î), ïªé®

a ¤ H = H ¤ a ¤«ï ¢á÷å a 2 G:

„«ï ä ªâã, é® H õ -®à¬ «ì-¨¬ ¤÷«ì-¨ª®¬ £à㯨 hG; ¤i, ç áâ® ¢¦¨-

¢ îâì ¯®§- ç¥--ï

H C G:

Žç¥¢¨¤-®, é® ã ª®¬ãâ ⨢-¨å £àã¯ å ¡ã¤ì-ïª ¯÷¤£à㯠õ -®à¬ «ì- -¨¬ ¤÷«ì-¨ª®¬. “ -¥ª®¬ãâ ⨢-¨å £àã¯ å ¬®¦ãâì ¬÷áâ¨â¨áï ¯÷¤£à㯨, ïª÷ -¥ õ -®à¬ «ì-¨¬¨ ¤÷«ì-¨ª ¬¨, ®¤- ª -¥ª®¬ãâ ⨢-÷ £à㯨 â ª®¦ ¬®- ¦ãâì ¬÷áâ¨â¨ -®à¬ «ì-÷ ¯÷¤£à㯨.

154

6.11. •®à¬ «ì-÷ ¤÷«ì-¨ª¨

•à¨ª« ¤ 6.42. 1. ’ਢ÷ «ì-÷ ¯÷¤£à㯨 ¡ã¤ì-类ù £à㯨 § ¢¦¤¨ õ -®à- ¬ «ì-¨¬¨ ¤÷«ì-¨ª ¬¨ (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.37).

2. ‚ ¤¨â¨¢-÷© £àã¯÷ Z, ïª õ ª®¬ãâ ⨢-®î, ¢á÷ ¯÷¤£à㯨 nZ (n 2 N)

-®à¬ «ì-÷.

3. “ -¥ª®¬ãâ ⨢-÷© ᨬ¥âà¨ç-÷© £àã¯÷ S3 ¯÷¤£à㯠fc1; eg -¥ õ -®à- ¬ «ì-®î, ®¤- ª ff1; f2; eg õ -®à¬ «ì-¨¬ ¤÷«ì-¨ª®¬ (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.38).

•¨¦ç¥¯®¤ - ⥮६ { §àãç-¨© ªà¨â¥à÷© ¯¥à¥¢÷ન, ç¨ õ ¯÷¤£à㯠-®à¬ «ì-®î.

‡ ä÷ªáãõ¬® g 2 G ÷ ¤®¢¥¤¥¬® à÷¢-÷áâì g ¤ H = H ¤ g ¬®¤¥«ì-¨¬ ᯮᮡ®¬:

Žâ¦¥, ⥮६㠤®¢¥¤¥-®.

155

•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £àã¯

•à¨ª« ¤ 6.43. 1. “ £àã¯÷ GL2 -¥¢¨à®¤¦¥-¨å ¬ âà¨æì ஧¬÷஬ 2£2

2. “ £àã¯÷ GLn ஧£«ï-¥¬® ¯÷¤£àã¯ã SLn ¬ âà¨æì § ®¤¨-¨ç-¨¬ ¢¨§-

- ç-¨ª®¬:

H = SLn = fA 2 GLn : jAj = 1g:

–ï ¯÷¤£à㯠-®à¬ «ì- , ®áª÷«ìª¨ ¤«ï ¤®¢÷«ì-¨å A0 2 SLn = H â

A 2 GLn, ¢¨ª®à¨á⮢ãîç¨ ä®à¬ã«ã (6.6) (®¡ç¨á«¥--ï ¢¨§- ç-¨ª ¤®- ¡ãâªã ¬ âà¨æì), ®âਬãõ¬®

jA¡1 ¢ A0 ¢ Aj = jA¡1j ¢ jA0j ¢ jAj = jAj¡1 ¢ jA0j ¢ jAj = 1;

⮡⮠A¡1 ¢ A0 ¢ A 2 SLn = H ÷, § ⥮६®î 6.14, SLn C GLn.

‡ 㢠¦¥--ï 6.18. ‘¯÷¢¢÷¤-®è¥--ï jA¡1j = jAj¡1 ¢¨¯«¨¢ õ § ä®à-

Sn ஧£«ï-¥¬® ¯÷¤£àã¯ã ¯ à-¨å ¯÷¤áâ -®¢®ª {

§- ª®§¬÷--ã £àã¯ã An (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.33). ‡ ä÷ªá㢠¢è¨ c 2 Sn, t 2 An ÷ ¢¨ª®à¨á⮢ãîç¨ à¥§ã«ìâ â ¢¯à ¢¨ 6.9, ®âਬãõ¬®

k(c¡1 ± t ± c) = k(c¡1) © k(t) © k(c) = k(c) © k(t) © k(c) = k(t) = 0

(- £ ¤ õ¬®, é® k(f) ¯®§- ç õ ¯ à-÷áâì ¯÷¤áâ -®¢ª¨ f). ’ ª¨¬ ç¨-®¬, c¡1 ±t±c 2 An, ®â¦¥, ¯÷¤£à㯯 An õ -®à¬ «ì-¨¬ ¤÷«ì-¨ª®¬ ã £àã¯÷ Sn:

An C Sn.

156

6.12.•®-ïââï ä ªâ®à-£à㯨

‡ã¢ ¦¥--ï 6.19. ‡ áâ®á®¢ãîç¨ â¥®à¥¬ã 6.14, á«÷¤ ®¡®¢'離®¢® ¯¥à¥- ¢÷àïâ¨, ç¨ õ ¬-®¦¨- H ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 hG; ¤i (ïª æe ÷ ¯¥à¥¤¡ ç¥-®

⥮६®î), ®áª÷«ìª¨ 㬮¢ (6.12) ¬®¦¥ ¢¨ª®-㢠â¨áì ÷ ¤«ï ¯÷¤¬-®¦¨-¨ H ½ G, é® -¥ õ ¯÷¤£à㯮î. ’ ª, ã ª®¬ãâ ⨢-÷© £àã¯÷ hG; ¤i 㬮¢ (6.12)

¢¨ª®-гхвмбп ¤«п ¡г¤м-пª®щ ¯ч¤¬-®¦¨-¨ H ½ G.

6.12. •®-ïââï ä ªâ®à-£à㯨

6.12.1. ‘ã¬÷¦-÷ ª« ᨠ§ -®à¬ «ì-®î ¯÷¤£à㯮î

•¥å © H { -®à¬ «ì- ¯÷¤£à㯠£à㯨 hG; ¤i. „«ï ¥«¥¬¥-â a 2 G

¢¢¥¤¥¬® ¯®§- ç¥--ï

a = a ¤ H = H ¤ a:

Œ-®¦¨-ã a - §¨¢ îâì áã¬÷¦-¨¬ ª« ᮬ £à㯨 hG; ¤i § -®à¬ «ì-®î ¯÷¤£à㯮î H, 直© ¯®à®¤¦¥-¨© ¥«¥¬¥-⮬ a (ã æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ஧£«ï- ¤ õ¬® ¢¨¯ ¤®ª -®à¬ «ì-®ù ¯÷¤£à㯨 H, ®â¦¥, ¯à ¢÷ â «÷¢÷ áã¬÷¦-÷

ª« б¨ §¡ч£ овмбп)± .

—¥à¥§ G H ¯®§- 稬® ¬-®¦¨-ã áã¬÷¦-¨å ª« á÷¢ £à㯨 hG; ¤i § H:

±

G H = fa: a 2 Gg:

Ÿª 㦥 ¡ã«® § §- ç¥-® (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6±.38), ¤¥ïª÷ áã¬÷¦-÷ ª« ᨠ¬®- ¦ãâì §¡÷£ â¨áï. ‡ §¢¨ç ©, ã ¬-®¦¨-÷ G H ®¤- ª®¢÷ áã¬÷¦-÷ ª« ᨠ-¥ ஧à÷§-ïîâì, ⮡⮠¢¢ ¦ îâì ®¤-¨¬ ¥«¥¬¥-⮬.

‚¯à ¢ 6.18. „®¢¥áâ¨, é® ¤«ï ¤®¢÷«ì-¨å a; b 2 G ¬ õ ¬÷áæ¥ ¥ª¢÷¢ -

«¥-â-÷áâì:

(a 2 b) , (b 2 a) , (a = b):

±

„«ï ¢¨¢ç¥--ï ¢« á⨢®á⥩ ÷ ¯à ªâ¨ç-®£® ®¡ç¨á«¥--ï ¬-®¦¨-¨ G H §- ¤®¡¨âìáï â ª¨© ¯à®á⨩ १ã«ìâ â.

‹¥¬ 6.9. •¥å © a; b 2 G. ’®¤÷ ¬ õ ¬÷áæ¥ ¥ª¢÷¢ «¥-â-÷áâì

(a = b) , (a ¤ b¡1 2 H):

157

•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £àã¯

„®¢¥¤¥--ï. 1. •¥å © a = b. ’®¤÷ a 2 b (®áª÷«ìª¨ a 2 a), ®â¦¥, a = h¤b ¤«ï ¤¥ïª®£® h 2 H. Žâ¦¥, ®âਬãõ¬® a ¤ b¡1 = h 2 H.

2. •¥å © a ¤ b¡1 2 H. ’®¤÷ a ¤ b¡1 = h 2 H, ®â¦¥, a = h ¤ b 2 b. Žâ¦¥, áã¬÷¦-÷ ª« ᨠa â b ¬чбвпвм ¯а¨- ©¬-ч ®¤¨- б¯ч«м-¨© ¥«¥¬¥-в a ÷ § ⥮६®î 6.12 ¬ îâì §¡÷£ â¨áï, ⮡⮠a = b.

‚¯à ¢ 6.19. „«ï ¤®¢÷«ì-¨å a; b 2 G ¤®¢¥á⨠¥ª¢÷¢ «¥-â-÷áâì

(a = b) , (b¡1 ¤ a 2 H):

(A = B) , (A » B) , ((A ¢ B¡1) 2 SLn) , (jA ¢ B¡1j = 1) , (jAj = jBj):

Žâ¦¥, áã¬÷¦-¨© ª« á, ¯®à®¤¦¥-¨© ¬ âà¨æ¥î A 2 GLn § ¢¨§- ç-¨ª®¬ jAj = a, ¬÷áâ¨âì â÷ ÷ â÷«ìª¨ â÷ ¬ âà¨æ÷, ¢¨§- ç-¨ª ïª¨å ¤®à÷¢-îõ a:

A = fX 2 GLn : jXj = jAjg = fX 2 GLn : jXj = ag:

158