tmech_RGR_PPR_MMI_2013

Кінематичний аналіз плоского механізму з одним степенем вільності

Виберемо систему координат Оxy з початком в точці O і запишемо

Кількість невідомих у цій системі перевищує кількість рівнянь. Для складання додаткових рівнянь запишемо прискорення точки В відносно полюса

С:

Кінематичний аналіз плоского механізму з одним степенем вільності

Оскільки ліві частини рівнянь (3) та (5) рівні, то рівними будуть і праві частини:

Від’ємні знаки в отриманих виразах означають, що дійсний напрям векторів знайдених прискорень протилежний до вказаного на рисунку.

Підстановка отриманих значень у рівняння (3) або (5) дозволяє знайти

Кінематичний аналіз плоского механізму з одним степенем вільності

відношенню до полюса А і, в данному випадку, він напрямлений перпендикулярно до площини рисунка від читача.

Розв’язати задачу про визначення прискорень можна також графічним методом, побудувавши план прискорень. Для цього, згідно вибраного масштабу прискорень ( 1 см побудови відповідає 800 см/с2 ), будуємо рівність (2), в якій

повністю відомі вектори wA і wдцAB , а також відома пряма вздовж якої напрямлений вектор wобAB (рис.2,е). Від точки В відкладаємо послідовно вектор wA і вектор wдцAB . Через кінець останнього проводимо пряму l

перпендикулярну до ланки AB (вона збігається з напрямком wобAB ). Далі будуємо рівність (4). Тут нам відомий вектор wдцB та пряма вздовж якої напрямлений вектор wобB . Починаючи також з точки В, відкладаємо спочатку вектор wдцB ,

а потім проводимо через його кінець пряму q перпендикулярну до ланки СВ.

Точка перетину К цієї прямої з прямою l визначає кінець вектора BK wB ,

який і є шуканим прискоренням точки В. На плані прискорень величину векторів wB , wобAB та wобB отримуємо у тому ж масштабі, що і векторів wA та wдцAB : wB = 4500 см/с2, wобAB = 6300 см/с2 та wобB = 2100 см/с2. Розбіжність між результатами аналітичних обчислень та планом прискорень не перевищує 5 % і

пояснюється похибками вимірювання.

Визначимо миттєвий центр прискорень (МЦП) ланки АВ.

Скористаємось графічним методом. За теоремою про розподіл прискорень,

запишемо прискорення точки В відносно полюса А – wB =wA +wAB ,

та знайдемо вектор wAB :

wAB = wB -wA = wB + (-wA).

Побудова здійснюється у точці В (рис.2, є). У точку В треба перенести вектор протилежний до вектора wA і скласти його з вектором wB ,

23

Кінематичний аналіз плоского механізму з одним степенем вільності

використовуючи правило паралелограма. Вектор wAB утворює з відрізком ВА

кут α, який визначається вимірюванням α=81°, причому поворот по найкоротшому шляху від вектора wAB до ВА здійснюється за стрілкою годинника. Враховуючи це, проводимо через точки А та В дві прямі під кутом

α=81° до векторів прискорень wA та wB у напрямку за стрілкою годиннка.

Перетин цих прямих визначає МЦП тіла АВ – точку Q. Знаючи положення МЦП нескладно визначити графічно прискорення будь-якої точки тіла АВ. Це пропонується зробити читачєві самостійно.

wB

C

wAB

B

wА

α α

wA

Рис.2,є

Аналіз роботи механізма за допомогою ПК полягає в складанні системи рівнянь для визначення кутових швидкостей ланок як функцій кутів і в розв'язанні цих рівнянь.

Додатні значення кутів 1 , 2 , 3 і 4 , що визначають положення ланок

OA, AB, BC, DE відповідно, визначають поворот цих ланок проти ходу годинникової стрілки від додатнього напряму осі Ox (рис.2, ж).

24

Кінематичний аналіз плоского механізму з одним степенем вільності

C

Рис.2,ж

Спочатку, за допомогою формул розподілу швидкостей точок тіла при плоскопаралельному русі, визначимо швидкості точок А, В, D, E з'єднання ланок:

Тут OAx , OAy , OAz – проекції вектора OA на координатні осі Oxy.

25

Кінематичний аналіз плоского механізму з одним степенем вільності

Враховуючи отримані співвідношення, з третьої формули виразів (7)

маємо

і, проектуючи на осі Ox і Oy, дістанемо:

Система рівнянь (9), (10), (12) дозволяє визначити невідомі кутові швидкості ω2, ω3, ω4. Швидкість точки E визначають з рівняння (11).

26

Кінематичний аналіз плоского механізму з одним степенем вільності

Для визначення ω2 домножимо рівняння (9) на cos φ3, рівняння (10) sin φ3

та складемо їх. Для визначення ω3 домножимо рівняння (9) на cos φ2, рівняння

(10) на sin φ2 та складемо їх. Після нескладних перетворень отримаємо

Інтервал часу, на якому треба знайти розв’язок вказаних рівнянь, має дорівнювати часу повного оберту ланки ОА.

Значення кутів повороту, кутових швидкостей та швидкості точки Е отриманих за результатами розв’язання системи рівнянь (17) - (21) потрібно порівняти з результатами графічних методів розв’язання задачі для відповідного положення механізму.

27

Кінематичний аналіз плоского механізму з одним степенем вільності

Один з варіантів розрахунку кутів повороту та кутових швидкостей

механізму подано далі у наведеному листингу.

ORIGIN 1

Блок символьного розв'язання алгебраїчних рівнянь

Given

1OAsin(Ff1) 2AB sin(Ff2) 3BCsin(Ff3) 0 1 OA cos(Ff1) 2 AB cos(Ff2) 3 BCcos(Ff3) 0 1OA cos(Ff1) 2ADcos(Ff2) 4DEcos(Ff4) 0

Інтегрування диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутта

Z rkfixed(Ff 0 0.06 100 D)

28

Кінематичний аналіз плоского механізму з одним степенем вільності

Список літератури:

1.Павловський М. А. Теоретична механіка: Підручник. К.: Техніка,

2004. – 512 c.

2.Теоретична механіка: збірник задач: навч. посібник для студ. вищих навч. закл./ за ред. М. А. Павловського. К.: Техніка, 2007. – 400 c. 3.Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла. Методичні вказівки до розв’язання задач та самостійної роботи студентів напряму підготовки 6.050502 «Інженерна механіка»/ Укл.: В. Ф. Кришталь – К. НТУУ

“КПІ”, 2011. – 33 с.

30