tmech_MET_PPR_MMI_2011

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ

Електронне навчальне видання

Кришталь В.Ф.

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА.

ПЛОСКОПАРАЛЕЛЬНИЙ РУХ ТВЕРДОГО ТІЛА

Методичні вказівки до розв’язання задач та самостійної роботи студентів

напряму підготовки 6.050502 «Інженерна механіка»

Київ 2011

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

ББК 22.21 УДК 521.8

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА. ПЛОСКОПАРАЛЕЛЬНИЙ РУХ ТВЕРДОГО ТІЛА. Методичні вказівки до розв’язання задач та самостійної роботи студентів напряму підготовки 6.050502 «Інженерна механіка»/ Укл.: В. Ф. Кришталь – К. НТУУ “КПІ”, 2011. – 33 с.

Електронне навчальне видання

Рекомендовано Методичною радою НТУУ «КПІ»

“22” вересня 2011 р., протокол №1

Укладач: Кришталь Володимир Федорович

Відповідальний редактор: Віктор Гурійович Савін

Рецензент: Рижков Лев Михайлович

© В. Ф. Кришталь

2

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

ЗМІСТ Вступ………………………………………….…………………………….4

1. Методика розв’язання задач……………………………...……………5

2. Приклади розв’язання задач………………………………...……..…10

3. Завдання для самостійної роботи................…………………...…….25

Список літератури.……....................……………………………………33

3

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

Вступ

Тема «Плоскопаралельний рух твердого тіла» є важливою частиною розділа «Кінематика» дисципліни «Теоретична механіка». Важливість вивчення даного руху полягає у тому, що він є синтезом найпростіших форм руху твердого тіла, тобто є складним рухом. Це дає підстави представляти плоскопаралельний рух твердого тіла як сукупність двох рухів: поступального руху разом з довільно вибраним полюсом та обертального руху навколо миттєвої осі, яка проходить через вибраний полюс і перпендикулярна до площини руху. Разом з цим,

плоскопаралельний рух твердого тіла можна подати як миттєвий обертальний рух навколо осі, що проходить через особливу точку площини руху тіла. Ця точка називається миттєвим центром швидкостей.

Дослідження плоскопаралельного руху твердого тіла дає важливі результати при аналізі руху багатоланкових механізмів, кривошипно-

шатунного механізму, кочені тіл.

Для опанування цієї теми потрібно засвоїти теореми про розподіл швидкостей та розподіл прискорень точок тіла, яке здійснює плоскопаралельний рух, а також такі поняття як миттєвий центр швидкостей та миттєвий центр прискорень і способи їх визначення.

При розв’язанні задач графоаналітичними методами важливо засвоїти побудову плана швидкостей та плана прискорень. Один із способів визначення швидкостей точок тіла при плоскопаралельному русі дає теорема Грасгофа.

У даній роботі подано методику розв’язання задач з даної теми.

Представлено приклади на застосування аналітичного та графоаналітичних методів визначення швидкостей та прискорень точок тіла при плоскопаралельному русі. Для закріплення отриманих навичок пропонуються задачі на самостійну роботу.

4

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

1. Методика розв’язання задач

Задачі на дослідження плоскопаралельного руху твердого тіла можна поділити на три групи: задачі в яких потрібно визначити кінематичні рівняння руху та траєкторію окремої точки тіла, швидкості точок тіла та прискорення точок тіла.

Для розв’язування першої групи задач використовують аналітичний спосіб, який складається з наступної послідовності дій:

1.Вводимо дві системи координат: нерухому Аξη та рухому Oxy, зв’язану з плоскою фігурою, яка рухається (рис.1).

Рис.1.

2.Складаємо рівняння руху плоскої фігури. Положення рухомої системи координат відносно нерухомої визначається координатами полюса

О(ξО,ηО), який є початком рухомої системи координат Oxy, та кутом φ між додатніми напрямами осей Ox та Аξ. Тоді функції

ξО = ξО(t), ηО = ηО(t), φ = φ(t),

будуть називатися кінематичними рівняннями плоскопаралельного руху твердого тіла (плоскої фігури).

3.Визначаємо рівняння руху точок плоскої фігури.

5

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

Координати (рівняння руху) довільної точки М(x,y) плоскої фігури у нерухомій системі координат, де x та y - координати точки M у рухомій системі координат Oxy, визначимо проектуванням рівності r =rO + на осі

Аξη:

ξ= ξО(t)+ ρ∙cos(α + φ(t)), η = ηО (t)+ ρ∙sin(α + φ(t)).

Зурахуванням ρ∙cosα = x, ρ∙sinα = y, знайдемо

ξ= ξО + x∙cos φ(t) – y∙sin φ(t),

η = ηО + x∙sin φ(t) + y∙cos φ(t).

Останні рівняння визначають закон руху довільної точки М плоскої фігури та є, одночасно, рівняннями траєкторії точки М у параметричній формі. 4.Виключаємо з отриманих рівняннь час t та знаходимо рівняння траєкторій точок плоскої фігури.

Зазначимо, що аналітичний метод дозволяє також визначити швидкість точок плоскої фігури. Для цього рівняння руху окремої точки тіла ( її координати як функції часу) потрібно продиференціювати за часом. Таким чином будуть одержані проекції швидкості на осі нерухомої або рухомої системи координат.

Диференціювання за часом отриманих у пункті 3 рівнянь руху,

дозволяє визначити проекції швидкості точки М на осі нерухомої системи координат

vξ =ξ•= vOξ – φ•(t)∙(x sin φ(t) + y cos φ(t)), vη =η•= vOη + φ•(t)∙(x cos φ(t) – y sin φ(t)),

де vOξ = ξ•О, vOη = η•О – проекції швидкості полюса О. Вирази в дужках, на підставі виразів для координат ξ та η, можна записати так

x cos φ(t) – y sin φ(t)= ξ – ξО , x sin φ(t) + y cos φ(t)= η – ηО .

Тоді з урахуванням φ•(t)=ω, одержимо

vξ = vOξ – ω(η – ηО), vη = vOη + ω(ξ – ξО).

6

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

У випадку використання теореми про розподіл прискорень точок тіла, вважається, що відоме прискорення деякої точки плоскої фігури,

кутова швидкість та кутове прискорення плоскої фігури у даному положені

(даний момент часу). Якщо кутове прискорення невідоме, його визначають

одним з наступних способів.

Спосіб 1. За відомої швидкості vM та прискоренням w M деякої точки М плоскої фігури, відстань РМ від цієї точки до МЦШ під час усього руху тіла залишається сталою. Тоді кутове прискорення тіла визначається так

Тут wM – дотична складова прискорення точки М.

Прискорення інших точок визначають за теоремою про розподіл прискорень точок плоскої фігури.

Спосіб 2. Нехай відоме прискорення точки А, яку обираємо за полюс, та напрям прискорення іншої точки В плоскої фігури. Вираз теореми про розподіл прискорень точок плоскої фігури

wB =wA +wобAB +wдцAB

проектуємо на два взаємно перпендикулярних напрями, один з яких,

наприклад, збігається з прямою АВ (миттєвий радіус), а другий їй перпендикулярний. Тоді отримаємо такі співвідношення:

Кутове прискорення визначається з другого рівняння

причому невідома величина прискорення точки В виключається з урахуванням першого рівняння.

8

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

При застосувані теорії миттєвого центру прискорень вважається, що відомі прискорення двох точок плоскої фігури або відоме прискорення однієї точки, кутова швидкість плоскої фігури та напрям прискорення іншої точки. У першому випадку потрібно визначити графічно МЦП і вже потім, на підставі відомого кута α та пропорцій між прискореннями точок і відстанями від цих точок до МЦП, визначаються шукані прискорення.

У другому випадку, на підставі теореми про розподіл прискорень точок плоскої фігури, визначається кутове прискорення плоскої фігури вказаним перед цим методом та будується МЦП за аналітичним способом.

Далі прискорення довільної точки М плоскої фігури визначається відносно МЦП (точка Q) за відомими формулами

Розглянемо приклади розв’язання задач на дослідження плоскопаралельного руху твердого тіла.

9

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

2. Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Визначити рівняння плоскопаралельного руху лінійки

ВD (рис.2) довжиною l, кінці якої ковзають вздовж координатних осей Аξ

та Аη. В початковий момент часу лінійка була вертикальна і точка В знаходилась у положенні А. Визначити швидкість та прискорення точки М лінійки, яка знаходиться на відстані 0,25l від точки С.

η

• M

φ

ηC

С

Рис.2.

Р о з в ' я з а н н я : За нерухому систему координат оберемо систему координат Аξη, рухому систему координат Сxy зв’яжемо з серединою лінійки, напрям осей вказано на рисунку (рис.2). Точку С обираємо за полюс, кут між напрямами осей позначимо φ. Для кординат полюса маємо:

ξC = 0,5∙lsinφ(t), ηC = 0,5∙lcosφ(t).

Координати точки М в рухомій системі координат xМ = 0, yМ = СМ, а

в нерухомій

ξМ = ξС – СМ∙sinφ(t) = (0,5∙l – СМ)∙sinφ(t), ηМ = ηС + СМ∙cosφ(t) = (0,5∙l + СМ)∙cosφ(t).

10