tmech_MET_PPR_MMI_2011

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

Для визначення траєкторії точки М виключимо з отриманих рівнянь час, скориставшись основною тригонометричною тотожністю. Отримаємо:

Як випливає з отриманої залежності, траєкторією точки М є еліпс, центр якого знаходиться у точці А, а напівосі дорівнюють a = 0,25∙l, b = 0,75∙l,

причому рівняння траєкторії не залежить від закону зміни кута φ(t).

Проекції швидкості точки М на осі рухомої системи координат отримаємо шляхом диференціювання залежностей ξМ = ξМ(t), ηМ = ηМ(t) за часом:

vМξ = ξ•М = (0,5∙l – СМ)∙φ•∙cosφ(t), vМη = η•М = – (0,5∙l + СМ)∙φ•∙sinφ(t).

Диференціювання останніх виразів за часом дозволяє знайти проекції прискорень точки М на осі нерухомої системи координат

wМξ = v•Мξ = ξ••М = (0,5∙l – СМ)∙φ••∙cosφ(t) – (0,5∙l – СМ)∙φ•2∙sinφ(t), wМη = v•Мη = η••М = – (0,5∙l + СМ)∙φ••∙sinφ(t) – (0,5∙l + СМ)∙φ•2∙cosφ(t).

Модуль вектора швидкості і прискорення, а також іх напрямні косинуси пропонується визначити читачєві самостійно. Для цього треба скористатись відомими формулами:

11

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

Приклад 2. Для положення вказаного на рисунку визначити швидкості точок та кутові швидкості ланок багатоланкового механізму (рис.3,а)

графоаналітичним методом – за планом швидкостей. Врахувати, що кутова швидкість ланки ОА дорівнює ωОА = 5 рад/сек, ΟA = 40 см, AB = 60 см,

ОС = 20 см, АD = 20 см, α = 45°.

Вектор v A напрямлений перпендикулярно до ланки ОА в сторону, що відповідає напрямку її повороту (проти стрілки годинника).

Для визначення швидкостей точок скористаємось планом швидкостей. Спочатку визначимо швидкість точки В. Оберемо точку А за полюс та визначимо швидкість точки В на підставі співвідношення

vB =v A +v AB .

Від довільної точки площини S (рис.3,б) відкладаємо у вибраному масштабі вектор a , який відповідає швидкості точки А. Через кінець цього вектора проводимо пряму q перпендикулярну до ланки АВ, ця пряма буде паралельною до вектора v AB . Через точку S проведемо пряму l, яка

12

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

паралельна напряму руху точки В. перетин прямих q та l визначає кінець вектора b , який відповідає швидкості точки В. Початок вектора b

знаходиться у точці S. Відрізок, який відсікається на прямій q відповідає

вектору v AB і позначається на плані швидкостей як вектор ab . Вимірюємо довжини відповідних відрізків та з урахуванням масштабу знаходимо

вектор ab , який відповідає вектору v AB , у точку В механізму. Враховуючи,

обертається навколо нерухомої осі. Оскільки точка С ділить відрізок ОА

13

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

vD =v A +v AD ,

де швидкість точки А відома (точка А – полюс), а швидкість точки D

напрямлені в одну сторону. Відношення величин цих векторів буде визначатися відношенням довжин відрізків АD та АВ, тобто у нашому

швидкості точки D – vD = 210,8 см/с.

Швидкість точки Е знайдемо приймаючи до уваги, що вона належить одночасно двом ланкам – СЕ та DЕ. Оскільки швидкості точок С та D вже

визначені, обираємо їх за полюси та записуємо співвідношення:

кінець вектора e , який відповідає шуканій швидкості точки Е – vE .

Початок вектора e знаходиться у точці S. З побудови, враховуючи

масштаб, визначаємо vE = 120,18 см/с.

Кутові швидкості ланок СЕ та DЕ визначаємо на підставі формул

14

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

горизонтальній прямій. Прискорення центра wO = 2 м/с2 , а швидкість в даний момент часу vO = 1 м/с (рис.4,a).

Визначити: 1) швидкість точки А; 2) прискорення точки, що збігається у даний момент часу з миттєвим центром швидкостей; 3)

положення миттєвого центра прискорень.

Р о з в ' я з а н н я : Оскільки циліндр котиться без ковзання, то його миттєвий центр швидкостей знаходиться в точці P дотику циліндра з нерухомою поверхнею (рис.4,б).

Визначимо спочатку кутову швидкість та кутове прискорення циліндра. Величини і не залежать від вибору полюса, тому знайдемо їх відносно миттєвого центра швидкостей.

15

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

кутової швидкості маємо

vO 2 рад/c .

OP

Напрям вектора кутової швидкості відповідає повороту циліндра за стрілкою годинника, тобто вектор напрямлений перпендикулярно до площини руху циліндра від читача.

Зауважимо, що відстань OP до миттєвого центра швидкостей під час руху циліндра не змінюється, тому:

Напрям цього вектора визначається на підставі властивостей векторного добутку (рис.4,б), а величина дорівнює

vA PA sin( ,PA) 2 м/c .

Для визначення прискорення точки P виберемо полюс в точці O, тоді за теоремою про розподіл прискорень точок тіла при плоскому русі

16

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

показати, що шуканий миттєвий центр прискорень, точка Q, є серединою хорди ВP (рис.4,б).

Приклад 4. Багатоланковий механізм в певний момент часу займає положення, яке зображено на рис.5,а. Кутова швидкість кривошипа ОА

ω0=10 рад/сек, ΟA = 20 см, AB = 50 см, BС = 10 см, α = 60°, β = 120°. Знайти швидкість і прискорення точки В, а також кутову швидкість і кутове прискорення ланки AB, в цей момент часу.

Р о з в ' я з а н н я : Швидкість точки А знайдемо, розглядаючи обертальний рух ланки OA:

vA 0 OA 200 см/c .

17

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

Вектор v A напрямлений перпендикулярно до ланки ОА в сторону, що відповідає напрямку її повороту (проти стрілки годинника).

Напрям повороту ланки АВ навколо миттєвого центра швидкостей відповідає напряму вектора швидкості v A , вектор кутової швидкості AB

ланки AB напрямлений перпендикулярно до площини рисунка від читача.

Вектор vB перпендикулярний до прямої РВ і узгоджується за напрямком з поворотом шатуна АВ.

18

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

Нескладні геометричні розрахунки дозволяють знайти AP=AB=50 см,

BP=50 см. Тоді з (1):

19

Кришталь В.Ф. Теоретична механіка. Плоскопаралельний рух твердого тіла.

_________________________________________________________________________________________________________________

обчислити його величину неможливо, тому що наразі невідоме значення

AB .

Виберемо систему координат Bxy з початком в точці B і запишемо

Кількість невідомих у цій системі перевищує кількість рівнянь. Для складання додаткових рівнянь запишемо прискорення точки В відносно

полюса С:

20