Література

1. Методологія наукових досліджень: Метод. вказівки до проведення комп‘ютерних і практичних занять з дисципліни/Уклад.: А.Л.Концевой, І.М.Астрелін, С.А.Концевой. - К.: НТУУ «КПІ», 2006. – 80 с.

2. Ахназарова, С.Л. Оптимизация зксперимента в химии и химической технологии / С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров. - М.: Высшая. шк., 1978. - 319 с.

Розділ 5. Розрахунки математичних моделей "склад - властивість"

Побудова діаграм "Склад-властивість" і обробка отриманих результатів являється важливою частиною фізико - хімічногo дослідження сумішей. Г. Шеффе запропонував оптимальні плани, що дозволяють різко зменшити число дослідів. Ці плани представляються симплексними гратками:

Рисунок - Розташування експериментальних точок у симплекс-гратчастих планах на площині для поліномів: а - другого порядку; б - неповного третього порядку; в - третього порядку.

У випадку реалізації моделі другого порядку (рисунок, а) її поліном приймає вигляд:

. (1)

Розрахунок коефіцієнтів полінома (8.1) провадиться за формулами:

(2)

Відмітимо, що симплекс - гратчасті плани є насиченими: кількість коефіцієнтів рівняння і дослідів співпадають (відсутній вільний член рівняння). Рівняння першого порядку (вершини трикутника, досліди 1 – 3 таблиці) відповідає відомому правилу адитивності, що часто використовується для розрахунків ряду властивостей будь яких сумішей.

Перевірка адекватності рівняння.

. При наявності R паралельних дослідів у точках, передбачених планами (згідно таблиці, R=2), розраховують дисперсії S_i (дисперсія відносно середнього значення):

, (3)

де — значення середнього арифметичного відгуку у точці плану. Після чого дисперсія усереднюється:

, (4)

де N - кількість рядків (дослідів) у матриці планування (так, з таблиці N = 6). При R=1 приймається .

Для перевірочної точки розраховують середнє арифметичне за результатами R₁ паралельних дослідів у цій точці (умова: якщо R = 1,

то R₁  3; згідно табл.1 R₁=2 ). Оцінка дисперсії в перевірочній точці:

. (5)

За значеннями х₁, х₂, х₃, у перевірочній точці розраховують відгук за отриманою моделлю і потім різницю

. (6)

Далі розраховується статистична характеристика KSI, яка залежать від виду моделі і координат перевірочної точки. Ізолінії KSI для різних моделей наведено в [2]. Для моделі другого порядку:

KSI = a_i²+a_ij² = (a₁²+ a₂²+a₃²)+(a₁₂²+a₁₃²+a₂₃²), (7)

де a_i = x_i(2x_i-1), a_ij = 4x_ix_j; i=1, j=2 або 3; i=2, j=3.

Розрахункове значення критерію Ст‘юдента:

. (8)

Якщо виконується умова t_p<t_Т, то модель визнається адекватною. Тут t_Т - табличне значення критерію Ст‘юдента: при числі ступіней свободи f = (N+1)(R-1) =7 і рівні значимості q=0.05 t_Т =2,36). Неадекватність моделі змушує дослідника переходити до моделі більш високого порядку.

Мета роботи: розрахунок в середовищі Excel коефіцієнтів моделі другого порядку і пошук складу сумішей за заданим значенням властивості.

вихідні дані

Провести розрахунок моделі другого порядку за даними 6 дослідів таблиці 1. Для перевірки адекватності використати дослід 7.

Таблиця 1 - Залежність октанового числа трикомпонентної суміші бензинів від складу суміші.

№ досліду	Склад суміші, частки			Октанове число
	х1	х2	х3	Y1	Y2
1	1	0	0	100,8	100,9	y1
2	0	1	0	85,2	85,6	y2
3	0	0	1	86,0	85,0	y3
4	0,5	0,5	0	88,8	89,3	y12
5	0,5	0	0,5	90,3	90,7	y13
6	0	0,5	0,5	85,5	85,4	y23
7 пер.точ.	0,333	0,333	0,333	88,3	88,8	y123

Алгоритм розрахунку

Виконати розрахунки:

- середніх значень параметру оптимізації (функція СРЗНАЧ);

• коефіцієнтів поліному за рівняннями (2);

• значень відгуку за отриманим поліномом для 7 дослідів;

• дисперсії S_1i за рівнянням (3) (функція ДИСП);

• середньої дисперсії S₂ за рівнянням (4) (функція СРЗНАЧ);

• дисперсії S₃ в перевірочній точці за рівнянням (5) (функція ДИСП);

• різниці D за рівнянням (6);

• статистичної характеристики KSI за рівнянням (7);

• критерію Ст‘юдента за рівнянням (8), дати висновок щодо адекватності чи неадекватності моделі (функція ЕСЛИ);

• складу сумішей з однаковим значенням (=92, =95, =98 - надбудова «Поиск решения») з обмеженнями:х_і<=1, х_і>=0,

х₁+ х₂+ х₃=1. .

Правила використання надбудови «Поиск решения»

1. Необхідно скласти наступну таблицю:

Таблиця 2 – Допоміжна таблиця

X1+ X2+ X3	X1	X2	X3	Yр
= комірка 1+комірка 2+ комірка 3	1	2	3	4

2. Комірки 1, 2, 3 таблиці 2 зі змінними (тобто вмісту компонентів) залишити пустими. В комірку 4 ввести рівняння (1). Коефіцієнти b_{1, …,} b₂₃ ввести шляхом абсолютних посилань на розраховані значення (поставити курсор на координату комірки в рівнянні і натиснути F4), а невідомі змінні ввести посиланням на комірки 1, 2, 3 таблиці 2.

3. Зайти в меню «Сервис» - надбудова «Поиск решения». В діалоговому вікні необхідно виконати наступні дії:

«Целевая ячейка» - вибрати комірку з набраним рівнянням поліному (комірка 4 таблиці 2). «Равной» - задати необхідні умови пошуку: в даному випадку «значению» і ввести певне значення.

«Изменяя ячейку» - виділити комірки 1, 2, 3 таблиці 2 з невідомими значеннями змінних (тобто адреси пустих комірок).

«Ограничения» - «Добавить» - з’являється діалогове вікно, у якому в пункті «Ссылка на ячейку» виділити (зробити посилання на) комірки 1, 2, 3 таблиці 2, ввести логічний вираз (>=), а в пункті «Ограничение» ввести 0; «Добавить» - ввести наступне обмеження: ввести логічний вираз (<=) для комірок 1, 2, 3 таблиці 2, а в пункті «Ограничение» ввести 1. Закінчити введення обмежень посиланням на комірку суми 1+2+3, логічний вираз (=), «Ограничение» - ввести 1. По закінченні введення 3-х обмежень (7-х, якщо ввести обмеження для кожної комірки окремо) натиснути «ОК», «Выполнить». Якщо знайдено склад суміші, що відповідає завданню, необхідно його зберегти (діалогове вікно), ОК, скопіювати отримані значення («специальная вставка, значения, ОК») в додаткову таблицю накопичення результатів і задати нові умови пошуку згідно пункту 3 - «Равной».

Індивідуальна самостійна робота

Розгорнути дані 6 дослідів (без перевірочної точки) табл.1 шляхом додавання колонок і розрахувати коефіцієнти рівняння (1) за допомогою функції «ЛИНЕЙН» без коефіцієнта – вільного члена рівняння регресії (в діалоговому вікні «аргументи функції», в поле «конст» ввести 0). Порівняти отримані значення з вище розрахованими за рівняннями (2). Перед використанням функції «ЛИНЕЙН» необхідно зберегти (записати) файл програми тому, що при некоректному використанні цієї функції можливо «зависання» комп‘ютера.

Контрольні питання

Симплекс-гратчастий план експерименту другого порядку: матриця планування і рівняння регресії. Чому ці плани називають насиченими? Перевірка адекватності рівняння.