- •Лекция №4 электростатика
- •Электрический заряд
- •Закон сохранения электрического заряда.
- •Закон кулона
- •Электрическое поле. Напряжённость поля
- •Напряжённость поля точечного заряда
- •Суперпозиция полей
- •Линии напряжённости
- •Поток напряжённости электрического поля.
- •Теорема гаусса для электростатического поля
- •§8. Работа сил электростатического поля при перемещении заряда.
- •Циркуляция напряжённости электрического поля
Линии напряжённости
Для наглядного изображения электрического поля пользуются линиями напряжённости или силовыми линиями. Линией напряжённости называют такую линию, в каждой точке которой вектор напряжённости электрического поля направлен по касательной к ней. Направление этих линий совпадает с направлением поля. Условились эти линии проводить так, чтобы число линий, отнесённых к единице площади площадки, расположенной перпендикулярно к ним, равнялось
Р
Поток напряжённости электрического поля.
1. Потоком напряжённости электрического поля через какую-либо поверхность называют число линий напряженности , пронизывающих её. Пусть площадкаS находится в однородном электростатическом поле. При этом она перпендикулярна к линиям напряженности. Поскольку через единицу площади проходит число линий напряжённости, равное Е, то элементарный поток через эту площадку равен ФE = ES.
Рассмотрим теперь случай, когда в однородном электростатическом поле находится плоская площадка, нормаль к площадке составляет уголс направлением поля, т.е. с вектором напряжённости (рис. 2). Число линий напряжённости, проходящих через площадкуS и её проекцию Sпр на плоскость, перпендикулярную к этим линиям, одинаково. Следовательно, поток напряжённости электрического поля через них одинаков. Используя выражение предыдущую формулу, находим, чтоНоSпр = S cos. Поэтому
ФЕ = ES cos = En S, (6)
где Ecos = En проекция вектора на направление нормалик площадке.
dS
(7)
поскольку суммирование бесконечно малых величин означает интегрирование.
Теорема гаусса для электростатического поля
Проведём вокруг точечного заряда сферу произвольного радиуса r с центром в точке расположения заряда (рис. 3). Найдём поток напряжённости электростатического поля через эту поверхность. В данном случае направления векторов ив любой точке поверхности совпадают. ПоэтомуEn = Ecos 0 = E. Модуль напряжённости во всех точках на поверхности сферы одинаков и равен C учётом этого из (6) получаем:
Р
О
r
где значок на интеграле означает, что интегрирование производится по замкнутой поверхности. E вынесена за знак интеграла, поскольку она не зависит от S. Суммирование же всех площадей элементарных площадок даёт площадь S сферы, т.е. Соотношение (8) справедливо не только для сферы, но и для любой замкнутой поверхности, поскольку число линий напряжённости, пронизывающих её и сферу, одинаково. Если имеется система точечных зарядов, то очевидно, что полный потокФЕ напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность в силу принципа суперпозиции полей равен сумме потоков ФЕi, создаваемых каждым зарядом qi в отдельности, т.е. =. Но, как следует из (8),ФEi = qi / (). Поэтому
(9)
поскольку и постоянные величины их вынесли за знак суммы. Таким образом, получен общий результат, названный теоремой Гаусса: поток напряжённости электростатического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключённых внутри неё, делённой на электрическую постоянную и диэлектрическую проницаемость среды.
Заряды в пространстве могут распределяться не только дискретно, но и непрерывно. В этом случае вводится понятие о плотности зарядов. При непрерывном распределении зарядов по объёму вводят объёмную плотность заряда. Пусть заряд q равномерно распределён по объёму V. Тогда объёмной плотностью заряда называется отношение = q/V. Если же распределение заряда неравномерное, то надо выделить на поверхности элементарный участок dV, в пределах которого заряд dq, находящийся на нём, можно считать равномерно распределённым. Объёмная плотность заряда находится по формуле:
(10)
т.е. объёмная плотность зарядов равна заряду, приходящемуся на единицу объёма. Используя (6.8), по аналогии с (6.7) можно найти заряд, расположенный в некотором объёме V:
(11)
Здесь интегрирование производится по всему объёму V, по которому распределён заряд. Тогда при непрерывном распределении заряда на некоторому объёму
(12)