21. Теория предельного равновесия и её использование при расчете конструкций

Разработчиком современной теории является Гвоздев А.А. В 30-е годы он развивал эту теорию для железобетонных конструкций. В отличие от обычных подходов сопромата эта теория позволяет определить разрушающую нагрузку, а обычные методы работают в области упругого закона.

Основной постулат теории заключается в следующем:

Если в каком то малом элементе тела (стержня), наступает состояние, при котором начинается текучесть, то этот элемент не перестает работать, а продолжает сопротивляться с постоянным напряжением:

.

Разрушением считается состояние не разделения на части, а состояние, при котором происходит переход конструкции в механизм, то есть состояние, при котором она уже деформируется неограниченно и не может удерживать дополнительную нагрузку.

Пример1:

Плита подвешена на двух проволоках. Сколько может выдержать данная конструкция (т.е. необходимо найти разрушающую нагрузку ).

Ясно, что плита начнет неограниченно перемещаться (вращаясь около опоры) только тогда, когда оба стержня потекут. Тогда в первом стержне и во втором: .

Введем силовую схему, заменяя противодействие опоры реакциями. Проведем сечение I-I и заменим действие верхней части конструкции на нижнюю силами N₁, N_2.

Запишем уравнение равновесия:

Отсюда получаем разрушающую нагрузку:

.

21.1. Задача изгиба балки Предельный момент.

Рассмотрим балку, которая изгибается силами Р.

С делаем сечение I-I. На него справа действует . Нарисуем эпюру при разных значениях М_х. Увеличивая, достигаем состояния, при котором .

Дальнейшее увеличение приведет к тому, что нижние и верхние волокна будут пластически деформироваться при постоянном

Увеличение в дальнейшем приведет к тому, что по всей высоте волокна перейдут в пластическое состояние. Геометрически это означает, что в данном сечении изгиб балки будет не плавным, а сосредоточенным.

Это состояние в сечении называется предельным, сечение называют пластическим шарниром (пластический излом), а момент, который его вызывает, также называется предельным. Обозначают его (момент текучести).

Подсчитаем его значение. Как обычно разбиваем сечение на малые площадки. Тогда:

,

.

В нашем случае . Следовательно:

Подсчитаем момент для верхней части сечения:

.

Здесь - это статический момент верхней половины сечения. Для нижней части получим то же самое. В результате находим:

(21.1.)

Рассмотрим пример отыскания разрушающей силы для статически неопределимой балки (т.е. необходимо найти ).

Р азрушение произойдет тогда, когда под силой и в заделке произойдет пластический излом.

Это означает, что под силой и в заделке момент достигает предельного значения .

найдем из закона сохранения энергии.

Работа силы будет

.

Здесь v – это прогиб под силой (см. рисунок).

Эта работа тратится на создание пластических шарниров в заделке и под силой. Подсчитаем работу, которую совершает в них момент .

В заделке момент повернул стержень на угол , тогда он совершает работу:

.

Рассмотрим теперь малый элемент под силой Р.

Тогда:

Закон сохранения дает:

,

.

Выразим и через .

Так как перемещения малы, то , .

Значит: , .

Тогда: .

Подставляя, получаем:

21.2. Применение теории предельного равновесия для расчета

болтовых (заклепочных) и сварных соединений

Пусть 2 элемента соединяются болтом. Существует две опасности – срез болта и сматие пластины или болта.

Разрушение срезом

Считаем, что при разрушении происходит срез болта, ввиду возникновения предельных значений напряжения.

Тогда:

.

Если болтов несколько, то получим:

. (21.2)

Теперь можно найти допустимую силу

. (21.3)

Если же дана проектная сила Р , то можно из (21.3) найти количество болтов.

Разрушение смятием

Разрушение может произойти в результате смятия самого болта или пластины. Пластина при этом воздействует на болт по сечению А (см. рисунок) напряжением .

Тогда:

Расчет сварных соединений

Рассмотрим продольные швы:

Нарисуем разрушенное состояние. Из уравнения равновесия следует, что:

.

Запишем условие прочности (здесь k - коэффициент запаса):

.

С учетом того, что отсюда получаем

.

Основной задачей расчета сварных швов является определение минимально-допустимой длины шва. Выражая площадь фигуры ВСDК через l найдем:

,

.

Это расчетная длина шва. При изготовлении сварки расчетную длину увеличивают на 1 сантиметр, так как по концам шва всегда образуются микротрещины на глубину порядка 0,5 сантиметров.

Торцевые швы (или лобовые швы) рассчитываются совершенно аналогично