9.6.2. Условие независимости напряжений от времени в конструкциях из вязкоупругих материалов

Отметим следующий интересный факт. Оказывается, если материалы, из которых изготовлены конструкции, обладают линейно-вязко-упругими свойствами, причем они имеют коэффициенты вязкости, пропорциональные жесткостям этих материалов, то напряжения в конструкции не изменятся с течением времени (то есть релаксации не происходит, а происходит только деформация конструкции).

Проверим это на примере железобетонной колонны.

Примем, как и ранее:

Сделаем сечение. На него сверху действуют силы и

Согласно правила знаков:

(9.6.2.1)

Условие совместности деформации:

Полная деформация состоит из упругой части и деформации ползучести:

=

Возьмем производную по времени:

Согласно закону ползучести имеем:

Таким образом:

Подставим в (1) и получим:

(9.6.2.2)

Выразим напряжения через силу P.

Из уравнения равновесия:

Подставим в (9.6.2.2). Учитывая, что получим:

(9.6.2.3)

Запишем начальные условия для .

При t=0 деформаций ползучести еще нет, то есть задача чисто упругая, следовательно, из предыдущих лекций можно записать решение:

t=0: (9.6.2.4.)

В теории линейных уравнений существует теорема: если найдено решение уравнения, которое удовлетворяет всем начальным условиям, то оно единственное.

Проверим, не является ли решением нашего уравнения (9.6.2.3). Подставимв (9.6.2.3.) и получим, что:

(9.6.2.5)

Примем, как говорилось выше, что вязкость стали, так же как и модуль упругости, в 5 раз больше вязкости бетона:

/

Подставляя в (9.6.2.5) получим

Подставив сюда , получаем тождество

Это говорит о том, что является решением дифференциального уравнения, следовательно, оно единственное. Таким образом, в арматуре напряжение не изменится со временем, следовательно, и в бетоне не будет релаксации (это следует из. (9.6.2.1)).

Что и требовалось показать.

9.7 Теория накопления микроповреждений

В любом теле существуют микротрещины и микропоры. Под нагрузкой c течением времени эти микротрещины возрастают в размерах.

Через некоторое время их размеры достигают критических величин, после чего начинается неудержимый рост трещины, и разделение тела на части.

На основе анализа экспериментов были выявлены законы развития микротрещин (теорию накопления повреждений разработал Работнов Ю. Н). Эта теория позволяет определить время, в течение которого конструкция выдерживает внешнюю нагрузку без разрушения. Это время назем критическим временем.

Рассмотрим трещину, длины Пусть- приращение трещины,- длина микротрещины при котором начинается неудержимый её рост .

Введем параметр поврежденности:

.

1) В начале: , в теле, тогда:

При ,(9.7.1)

2) В момент разрушения при :, значит при,

(9.7.2)

9.7.1– начальное условие,

9.7.2– условие разрушения.

Закон подрастания трещины, предложенный Работновым Ю.Н. имеет следующий вид:

(9.7.3)

- механические характеристики материала.

Процедура вычисления состоит из следующих этапов:

1. Определяется напряжение в конструкции в каком-то сечении

2. После подстановки в закон (9.7.3) решается дифференциальное уравнение (9.7.3).

3. Из начального условия (9.7.1) находятся константы интегрирования

4. Из условия прочности (9.7.2) находится критическое время

Рассмотрим примеры.

Пример №1: Задача о бетонной колонне

Найдем напряжение:

т/см².

Пусть известен закон (9.7.3). Пусть см²/вект, m=1, n=1. Тогда:

.

Отсюда получаем: .

Слева и справа одинаковые функции, значит и первообразные от них равны, или отличаются на константу.

(9.7.4)

Константу С найдем из начального условия:

(9.7.5)

Теперь (9.7.4) примет вид

.

Найдем критическое время t* для колонны (ее долговечность) из условия (9.7.2). Подставляя в (9.7.5.) получаем:

Итак, колонна простоит 12,5 лет

Пример №2:

Задача о накоплении повреждений в железобетонной колонне с учетом ползучести.

С течением времени ввиду релаксации (отдыха) бетона все большую часть нагрузки начинает воспринимать арматура.

То есть, напряжения в бетоне стремятся к нулю. Таким образом, если не учесть накопления повреждений, то напряжение в бетоне уменьшается и его разрушение никогда не наступит.

Однако, это не так. Решим задачу о разрушении колонны в результате накопления повреждений.

Ранее было найдено: .

Перепишем в новых обозначениях:

Закон (9.7.3) примет теперь вид:

.

Получили обыкновенное дифференциальное уравнение, которое легко решается

Пусть B=10 ,m=n=1.

Тогда получим: .

Легко проверить, что решение этого уравнения можно записать в виде:

.

Константу с находим из начального условия при t = 0:

В момент разрушения . Из этого условия находим уравнение дляt*:

Логарифмируя обе части, получим:

.

Если < 0, то логарифма не существует. Это значит, что не существуетt* , то есть, бетон успеет отрелаксировать и не разрушиться. Если > 0 , то можно найти критическое время t*, по достижении которого произойдет разрушение колонны.