16.5. Бесконечная балка на упругом основании
Этой моделью можно
описать, например, поведение дорожного
полотна с автомобилем веса Р.
Погонная сила
представляет собой погонный вес полотна.
Мы можем представить общее решение как
сумму решения 2-х задач: задачи о действии
только силы весаqвеса
и задачи о действии только силы Р.
Здесь
соответствует случаю когда, действует
лишьqвеса.
Прогиб
,
который содержит,
,
соответствует случаю
,
.
Рассмотрим этот случай.
рис.16.17
Пусть s – расстояние от силы Р до сечения.
Слева и справа прогиб симметричный, поэтому исследуем прогиб v только справа, то есть, найдем функцию v(s).
Для отыскания
учтем, что прогиб должен быть ограничен
при любыхs.
Однако первые 2 слагаемых не ограничены,
т.е.
при
.
Отсюда вытекает,
что должно быть
.
Хотя для анализа решения можно и не искать С3, С4, найдем их для иллюстрации того как находится выражение для прогиба.
В силу симметричности задачи под силой должно быть
.
По теореме Ферма имеем соотношение:
.
Подставляя получаем:
(16.23)
Отсюда:
(16.24)
Следующее уравнение
относительно
получим из статических соображений.
Виду симметричности задачи реакция
основания справа (см. рис 16.18) известна:
.
рис.16.18
Как видно из рис.16.18 в сечении под силой (при s = 0) согласно определению поперечной силы
. (16.24)
Из уравнения (16.18) получим:
. (16.25)
Подставляя s = 0 находим из (16.24):
.
Отсюда:
.
Итак:
.
Анализ решения.
Изобразим
графически полученные решения. Если
нет силы Р,
то согласно решению балка оседает как
жесткое тело на величину
(см.рис. 16.19).
рис.16.19 рис.16.20
Если есть только
сила
,
то осадка имеет волнообразный, но
затухающий характер, как это изображено
на рис. 16.20. Видно, что при отсутствии
силы веса под действием только силы Р
некоторые области балки приподнимаются
над нулевым уровнем грунта.
Балка не будет
приподниматься над первоначальным
уровнем (т.е.
будет отрицательным) только тогда,
когда:
.
Суммарная осадка балки для этого случая изображена на рис.16.21.
рис.16.21
Практические выводы из решения. Для того чтобы фундамент или дорожное полотно, не отрывались от грунта под действием сосредоточенной силы необходимо, чтобы погонный вес фундамента или полотна был достаточно большой. Это означает, что толщина фундамента или дорожного полотна должна быть достаточно велика.
17. Потеря устойчивости
Рассмотрим сжатый стержень.
рис.17.1 рис.17.2
Пусть сила Р
приложена в центре тяжести сечения
стержня. На первый взгляд у силы Р
нет плеча, значит
,
значит, для изгиба нет причин.
Это справедливо при малых Р. Однако при некотором значении Р происходит резкая смена прямолинейной формы в криволинейную при малейшем поперечном воздействии (см.рис.17.2)
Это явление называется потерей устойчивости.
Сила Р, при которой это происходит, называется критической, а соответствующее ей напряжение называют критическим напряжением:
.
Опыт показывает, что для потери устойчивости стержня требуется меньшая сила, чем для разрушения , например, кубика из того же материала сжатием. Таким образом:
,
.
здесь Р* - разрушающая сила.
Уменьшая критическое напряжение σкр на коэффициент запаса kуст получают допустимое напряжение [σ]уст , больше которого не должно быть рабочее напряжение:
|σ| ≤[σ]уст.
Для удобства расчетов часто пользуются таблицами, в которых приводится коэффициент φ, показывающий, насколько [σ]уст меньше основного допустимого напряжения [σ]:
φ=[σ]уст / [σ].
Если на растяжение и сжатие разрушающие напряжения различны, то под φ понимают величину:
φ=[σ]уст / [σ]сж.