16.2.3 Условия для определения с и d

1. Первый случай . Рассмотрим балку, лежащую на двух опорах (см. рис.16.10).

Рис. 16.10

Рис. 16.11

Из схемы видно, что

(16.13)

Таким образом, получаем систему уравнений для С и D.

2. Второй случай. Пусть балка заделана на расстоянии (консольная балка, см. рис.16.10).

В заделке не может появиться наклона оси, поэтому там не только нет прогиба, но и .

Таким образом, из схемы следует, что:

(16.14)

Опять получили два уравнения для С и D.

Пример вычисления прогиба

Пусть необходимо вычислить прогиб в центре балки длины l, загруженной погонной силой q. Решим эту задачу двумя способами.

Ввиду симметричности схемы можно сразу найти реактивные силы – они будут равны ql/2. Тогда изгибающий момент в сечении на расстоянии z от левой опоры будет равен

Первый способ. Использование дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Интегрируем 2 раза: Константы интегрирования находим из условий закрепления: Находим прогиб в центре балки (при z = l/2):

Второй способ. Использование интеграла Мора

Прогиб в центре балки находим по формуле

Нарисуем эпюру изгибающих моментов М^(T) от единичной силы Т=1 (см. рис.2)

Рассмотрим различные приближенные методы интегрирования.

1. Метод трапеций по 2-м участкам.

Метод дал ошибку в 17%

2. Метод трапеций по 4-м участкам.

Метод дал ошибку в 5%

3. Метод Симпсона по 2-м участкам.

Таким образом, метод Симпсона в этом примере дает точное решение.

16.2.4. Балки на упругом основании. Закон Винклера

Рассмотрим основание (грунт) Приложим к мерному стержню силу Р (см. рис.16.13), тогда осадка стержня , будет тем больше, чем больше сила Р.

рис.16.13

Запишем это утверждение аналитически:

.

Здесь - называется коэффициентом постели. Эта зависимость называетсязаконом Винклера. Согласно III-му закону Ньютона реакция грунта R=P.

Приведем закон к виду, когда задаётся погонная сила (cм. рис.16.14).

рис.16.14

Ее равнодействующая должна быть равна Р, т.е.

;

Отсюда

;

Обозначая получим

(16.15)

Погонную реакцию грунта будем обозначать через r (см. рис 16.14).

Тогда:

(16.16)

16.4. Уравнение изогнутой оси балки на упругом основании

Рассмотрим балку, которая лежит на грунте.

рис.16.15 рис.16.16

Такой моделью описываются ленточные фундаменты, дорожные полотна, обшивки трехслойных панелей типа сэндвич.

Грунт противодействует внешним силам некоторой погонной силой . Выразим ее через прогиб. Для этого вырежем малый элемент (см. рис.16.15 и рис.16.16). Сравнивая рис.16.13 и рис.16.16 видим, что элемент балки, фактически представляет собой мерный стержень, для которого реакция определяется по 16.16, т.е. реакция балки с прогибом связана соотношением:

.

Далее запишем уравнение равновесия элемента балки и уравнение ее изогнутой оси

(16.17)

(16.18)

(16.19)

Из рис.16.15 видно, что на балку действует две погонные силы: и. Тогда получим:

(16.20)

Здесь знак «-» перед поставлен потому, что осадкаv элемента имеет отрицательный знак, а реакция должна быть противоположна погонной силе .

Подставим (16.18) в (16.20):

.

Подставляя сюда (16.19) получаем искомое уравнение:

. (16.21)

Решение запишем в виде суммы:

.

Простой подстановкой в (16.21) можно проверить, что решение имеет вид:

. (16.22)

Здесь .

Частное решение находим, подставляя =B в уравнение (16.21):

.

Остальные константы получают из геометрических соображений (условий закрепления) и условий статики на концах балки.