3.2. Основные соотношения между погонной силой q, поперечной силой Qy и изгибающим моментом Mx

Эти соотношения важны с двух точек зрения.

1) Они позволяют контролировать правильность построения эпюр ВСФ

2) Они нужны при выводе некоторых формул, например, формул вычисления касательных напряжений при изгибе.

Рассмотрим диск толщины ds,вырезанный из балки:

Согласно определению на левое сечение с левой стороны действуют .

Аналогично, справа действует почти такая же сила и момент, поскольку толщина диска бесконечно мала. Так как они мало отличаются от воздействий с левой стороны, то согласно принятым в математике обозначениям это будут силы .

Связь между найдем из соотношений статики. Выпишем первое уравнение равновесия:.

Отсюда вытекает соотношение, называемое первым уравнением равновесия элемента балки

(3.1)

Выпишем второе уравнение равновесия:

Деля на ds получим

Отсюда следует соотношение, называемое вторым уравнением равновесия элемента балки

(3.2)

Следствие: Согласно теореме Ферма там, где производная меняет знак, функция экстремальна. Поэтому там, где меняет знак, изгибающий моментэкстремален.

4.Эпюры всф

Графическое изображение зависимости значений ВСФ от положения сечения в брусе называется «эпюрой ВСФ».

Рассмотрим пример построения эпюры для бруса, изображенного ниже на рисунке 4.1.

Вычислим N_z, Q_y , М_х в разных сечениях и сведем в таблицу (s - расстояние от левого торца до сечения).

s (м)	0	2	4-	4+	6
Nz (Н)	3	3	3	3	3
Qy (Н)	2	2	2	-4	-4
Mx (Нм)	0	4	8	8	0

В соответствии с таблицей построим графики функций N_z, Q_y , М_х под силовой схемой бруса. Эти графики и есть эпюры ВСФ.

Пояснение. В строительной механике эпюру изгибающих моментов М_х строят с выпуклой стороны изогнутого бруса (другими словами - на растянутых волокнах). Поэтому на эпюре М_х положительные значения изгибающего момента отложены снизу.

рис.4.1.

5. Правила контроля построения эпюр

Они вытекают из определения ВСФ и второго уравнения равновесия элемента балки.

1. Там, где есть сосредоточенная внешняя сила, направленная вдоль оси z, на эпюре сил N_z имеет место скачок на величину этой силы.

2. Точно так же там, где есть сосредоточенная внешняя сила, направленная поперек оси z, на эпюре поперечных сил Q имеет место скачок на величину этой силы.

3. Аналогично, там, где есть сосредоточенный момент, на эпюре моментов есть скачек на величину этого момента.

Из второго уравнения равновесия элемента балки (3.2) вытекает следующее правило.

4. Там где поперечная сила (или) пересекает нулевую линию, там имеет место экстремум на эпюре(или).

6. Общий случай напряженного состояния

6.1.Нормальные и касательные напряжения

Рассмотрим брус. Разделим его на две части.

рис.6.1.

Правая часть действует на левую в каждой точке сечения. Нарисуем это утверждение (см. рис.6.1). Введем термины для поверхностных нагрузок, которыми правая часть действует на левую:

- нормальное напряжение (напряжение растяжения или сжатия);

- касательные напряжения (первый индекс определяет рассматриваемую площадку, второй индекс указывает направление действия напряжения).

Правило знаков для :Если оно действует на сечение растягивающим образом, то оно считается положительным.

Правило знаков для : Для прочностных расчетов знак касательных напряженийне имеет значения, но для определенности введем его в соответствии с правилом, применяемым в теории упругости, то есть,касательное напряжениеположительно, если оно действует в направлении оси х и при этом направление нормали к сечению совпадает с осью z.

Аналогично вводится знак касательных напряжений .