2.3. Приложения операционного исчисления

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями / Сборник задач по ВМ ч.10.pdf

Скачиваний:

131

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

1.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

f (t)

в) sin 1 .

				p
г)	1			ln		p 1		.
г)	2p			ln				.
	2p					p 1
	1			1/ p2
д)			e		.
д)		p	e		.
		p		1
е*)				1		e	1/(p 1)		.
е*)						e			.

p 1

						t	2n
Отв.: ( 1)n						t		.
Отв.: ( 1)n								.
n 0			(2n 1)!(2n)!
			t2n 1					t	sin	d .
Отв.: n 0								0
Отв.: n 0	(2n 1)!(2n 1)							0
		t2n
Отв.:						.
Отв.:						.
n 0n!(2n)!
Отв.: et J0(2					).
Отв.: et J0(2				t	).

R ) i(t) u

Пусть i(t) I(p). Перейдя в уравнении (2.66) к изображениям, получим

Решение линейных дифференциальных уравнений (ДУ) с постоянными коэффициентами. Применение формулы Дюамеля к решению ДУ. Решение систем ДУ с постоянными коэффициентами. Решение некоторых ДУ с переменными коэффициентами. Приложения операционного исчисления к расчету электрических цепей.

Пусть дано линейное ДУ с постоянными коэффициентами

L[y] y(n)	a1y(n 1) ... an 1y an y f (t),	(2.46)
где y y(t),t 0, L[y]	– линейный дифференциальный	оператор, и
y(0) y0, y (0) y0,..., y(n 1)(0) y0(n 1)		(2.47)

есть начальные условия для рассматриваемого ДУ. Требуется решить задачу Коши (2.46) – (2.47).

Если – оригинал, то и решение y y(t) ДУ (2.46) также является оригиналом. Пусть y(t) Y(p), f (t) F(p). Преобразуем ДУ (2.46) по формуле Лапласа. Согласно формуле (2.24) изображения производных с учетом начальных условий (2.47) будем иметь

y(n)(t) pnY(p) pn 1y0 pn 2 y0 ... y0(n 1);

a1y(n 1)(t) a1(pn 1Y(p) pn 2 y0 pn 3y0 ... y0(n 2));

………………………………………………………………………

an 1y (t) an 1(pY(p) y0); an y(t) anY(p).

Сложив эти равенства, получим преобразование Лапласа левой части ДУ

(2.46):

L [y] (pn a1pn 1 ... an 1p an)Y(p)

(pk a1pk 1 ... ak 1p ak )y0(n 1 k)

k 0

111

или

n 1	a1pk 1 ... ak 1p ak )y0(n 1 k) ,
L [y] L(p)Y(p) (pk	a1pk 1 ... ak 1p ak )y0(n 1 k) ,							(2.48)
k 0
где
L(p) pn a pn 1		... a	n 1	p a	n	.		(2.49)
1			n 1		n
Заметим, что L(p) получено формальной заменой y(k)					на pk , k			, в диф-
Заметим, что L(p) получено формальной заменой y(k)					на pk , k		0,n	, в диф-

ференциальном операторе L [y], т. е. L(p) – характеристический многочлен от p ДУ (2.46).

Таким образом, с учетом (2.48) преобразованное ДУ принимает вид

n 1

)y(n 1 k)

F(p).

(2.50)

L(p)Y(p) (pk a pk 1 ... a

k 0

Уравнение (2.50) называется операторным. Из него находим изображе-

ние Y(p) решения y(t):

F(p)

n 1

Y(p)

(pk

a pk 1

... a

)y(n 1 k) .

(2.51)

L(p)

L(p) k 0

По изображению Y(p)

теперь остается восстановить оригинал y(t) – ис-

комое решение задачи Коши (2.46) – (2.47).

2.50. Решить задачу Коши:

y e

(cost

t);

y(0) y

(2.52)

(0) 2.

Пусть решение y(t) Y(p). Учитывая начальные условия, преобразуем

ДУ по формуле Лапласа:

y (t) pY(p) y(0) pY(p) 2;

y (t)

p Y(p) py(0) y

(0)

p2Y(p) 2p 2.

p 1

Для правой части ДУ получаем e t (cost t)

. Тогда

(p 1)2

для ДУ (2.52) операторное уравнение имеет вид

p 1

p2Y(p) 2p 2 2pY(p) 4 Y(p)

(p 1)2 1

(p 1)2

(p2 2p 1)Y(p)

p 1

2(p 1) 4

(p 1)2 1

(p 1)2

Y(p)

(p 1)4

p 1

(p 1)2

(p2 2p 2)(p 1)

Находим теперь оригинал решения y(t). Имеем:

p 1

e t

cost ;

p 1

(p2 2p 2)(p 1)

(p 1)2 1

e t

;

2e t ;

4te t .

(p 1)4

(p 1)2

p 1

112

Итак, искомое решение задачи Коши (2.52) есть

y(t) e t	t3	2e t 4te t e t e t cost	e t (	t3	4t cost 3). ▲

3!			6			t t0 0,
Если в задаче Коши за начальный момент			выбрано значение
то заменой t t0 ее можно свести к задаче Коши при					0.
2.51. Решить задачу Коши:
		y y sin 2t; y( ) y ( ) 1.				(2.53)

. В резуль-

Вводим замену t t yt y ,

ytt

тате задача Коши (2.53) сводится к задаче

y y sin 2( ) sin 2 ;

y(0) y (0)

(2.54)

где уже y y( ).

Пусть

y( ) Y(p) Y . Перейдя к изображениям в уравнении (2.54),

получим операторное уравнение

(p2 1)Y p 1

(p2 4)(p2 1)

p2 4

2 1

p2 1

cos

sin

sin 2

p2 4

p2 1 3(p2

1) 3

cos(t )

sin(t )

sin2(t ) cost

sint

sin2t y(t) –

искомое решение задачи Коши. ▲

2.52*. Проинтегрировать ДУ x x f (t) при нулевых начальных усло-

2t/ ,

0 t /2,

/2 t ,

виях x(0) x (0) 0, если f (t)

2( t)/ ,

t .

f (t)

График правой части

приведен на рис. 2.11.

Запишем f (t) с помощью функции Хевисайда: f (t)

1(t) 1(t

)

1(t

) 1(t

)

t 1(t) 2(t

) 1(t

) (t ) 1(t ) .

f (t)

Рис. 2.12

113

Пользуясь теоремой запаздывания, отсюда имеем изображение

f (t) F(p)

2 1 2e p / 2

e p

x(t) X(p),

Положив

с учетом нулевых

начальных условий приходим к операторному уравнению

2 1 2e p/2

e p

(p2 1)X(p)

X(p)

1 2e

p/2 e

Поскольку

t sint,

то снова применив теорему запаздывания,

p2 1

получим

x(t)

[(t sint) 2 1(t

)((t

) sin(t

)) 1(t )((t )

2(t sint)/ , 0 t /2,

sin(t ))],

т.е.

x(t) 2( sint 2cost t)/ , /2 t ,

4cost/ , t .

2.53. Решить задачу Коши (x x(t)):

а)

x x 0;

x(0) 0, x (0) 1,

x (0) 2;

б)

5x 1 t;

x(0) x

(0) 0;

в)

4x t;

x(0) 1, x

(0) 0;

г)

;

x(0)

0, x (0)

2, x

(0) 0;

д)

x(0) x (0) x

(0)

(0) 0;

е)

;

x(0)

x (0) 0;

ж)

4sin

t ;

x(0) 0,

(0) 1;

з)

4x sint;

x(0)

(0) 0.

e t et

/ 2

Отв.: а)

cos

sin

;

(3cos2t 4sin2t);

б)

cht

в)

cos2t

sin2t;

г) 1

cost 3sint);

д)

е)

2t 2) 1;

ж) 1

cos(2t)

sin(2t);

з)

(sint costsint).

2.54. Решить задачу Коши (x x(t)):

а)

2t,

x(1) 1, x

(1) 1;

б)

x 2t,

x(2) 8,

(2) 6;

в)

x 2sint,

x( /2)

( /2)

114

г) x	2x		1 t	, x(1) 1,
		x 2e			x (1) 1.
Отв.: а) (t 1)2			e1 t	; б) 4e 2 t	2t; в) (t 1 /2)cost; г) (t2 2t 2)e1 t.

2.55. Найти частные решения следующих уравнений:

а)

f (t),

0 t 2,

где f (t)

t 2,

x(0)

x (0) 0;

0 t a,

б)

x f (t),

где

(t)

a t b,

x(0) 0,

(0) 2;

t b,

0 t

в)

x f (t),

где

(t)

1 t 2,

x(0) 0,

2 t,

x (0) 1;

г)

x f (t),

где

1 t,

0 t 1,

(t)

t 1,

x(0) x (0) 0;

д)

4x f (t), где

0 t a,

f (t)

t 1,

x(0) A, x (0) B.

5e (t a),

Отв.: а) 1 e t (1 t) 21 e (t 2)(1 (t 2) 1(t 2);

б)

2sint 1(t a)(1 cos(t a)) 1(t b)(t b cos(t b));

в)

t 2 (t 1) sin(t 1) 1(t 1) (t 2) sin(t 2) 1(t 2);

г)

t 1 e t 1(t 1)(sh(t 1) (t 1));

(t a)

д)

cos2(t a)

sin2(t a) 1(t a).

С помощью интеграла Дюамеля легко доказывается следующее утвер-

ждение: если z z(t)

– решение ДУ

z(n) a z(n 1)

... a

n 1

z a

z 1 с по-

стоянными коэффициентами ai, i

при

нулевых начальных условиях

1,n

(n 1)

(0) 0, то решением ДУ

(n)

(n 1)

z(0) z (0) ... z

a1y

... an 1y any f(t)

при тех же начальных условиях является функция

y(t) zt (t )f ( )d z(t)f (0)

		(2.55)
z( )ft	(t )d .	(2.55)
0

Данное утверждение позволяет находить решение ЛДУ с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях, не находя изображения правой части этого уравнения.

2.56. Решить задачу Коши:

y	4y	4y	e 2t
			(1 2t)2 ,		(2.56)
				y(0) y (0) 0.
Решим сначала		вспомогательную		задачу Коши:	z 4z 4z 1,

115

z(0) 0,

z(t) Z(p). Перейдя к изображениям в этом урав-

(0) 0. Пусть

нении,

получим (p2 4p 4)

Z(p)

. Разложим Z(p)

p(p 2)2

в сумму простейших дробей:

Z(p)

z(t)

4p 2(p 2)2

4(p 2)

4 2

Так как

(t)

, по формуле (2.55) записываем искомое решение задачи

(1 2t)2

Коши:

2(t )

(t )e

y(t)

(1 2 )

e 2

(t )

e 2t 2t ln(1 2t) . ▲

(t )e 2(t ) d

e 2t

)

0 (1

2.57. С помощью интеграла Дюамеля решить задачу Коши (x x(t)) с

нулевыми начальными условиями:

а) x

б) x

arctgt;

1 et ;

в)

2 cost ;

г)*

x x

;

д)

x x

; е)

4 tg2 t

1 cos2 t

t2 1

Отв.: а) (et

1)ln(et

1) ln2(et

1) 1 t et

tet ;

б)

t2 1

arctgt

ln(1 t2)

;

в)

cost ln(2 cost) ln3 sint(t

arctg(

));

sint 2

г)*

9 2

cost

sintln

3sint 2

(arctg(

2tg

) arctg(

2tg

))cost;

д) costarctg(cost)

cost

sintln

sint

;

sint

е) 1 (t2 1)arctgt tln(t2 1) t .

Схема решения систем ЛДУ с постоянными коэффициентами та же, что и для ЛДУ. Каждое из уравнений системы преобразуется по формуле Лапласа, а затем получившаяся система линейных алгебраических уравнений решается относительно изображения искомого решения.

2.58. Решить задачу Коши для системы ЛДУ:

116


x 2x 3y 5t,
	x(0) 0,	y(0) 1.	(2.57)
	x(0) 0,	y(0) 1.	(2.57)
y 3x 2y 8 et,

Пусть x x(t) X(p), y y(t) Y(p). Тогда операторная система относительно X(p) и Y(p) с учетом начальных условий для системы (2.57) примет вид

pX(p) 2X(p) 3Y(p) 5/ p2,

pY(p) 1 3X(p) 2Y(p) 8/(p 1),
(p 2)X(p) 3Y(p) 5/ p	2	,	(2.58)
(p 2)X(p) 3Y(p) 5/ p		,	(2.58)

3X(p) (p 2)Y(p) 8/(p 1) 1.

Систему (2.58) решим по формулам Крамера. Для этого вначале находим определители , X , Y данной системы:

p 2	3	p2 4p 5 (p 5)(p 1);
3	p 2

5/ p2

3p3

26p2 15p 10

p 2

;

8/(p 1) 1

p2(p 1)

p 2 5/ p2

p4 5p3

14p2 15p 15

8/(p 1) 1

p2(p 1)

Отсюда по формулам Крамера находим

p4 5p3

14p2 15p 15

3p3 26p2 15p 10

X(p)

; Y(p)

(p2 1)(p 5)p2

(p2

1)(p 5)p2

Применив формулу разложения (2.39), получим

x(t) Res X(p) ept Res X(p) ept Res X(p) ept Res X(p) ept

p 0

p 1

p 5

13 4e t 3et 8e5t 2t .

5 5

Аналогично найдем, что y(t) 12 3t et 4e t 8e5t . ▲

2.59.Операционным методом решить задачи Коши для систем ЛДУ:

x 4x 3y sint,			x(0)	y(0) 0.
а)			x(0)	y(0) 0.
y 2x y 2cost,
x 3y x 0,		x(0)		4	, y(0) 1,		2
б)		x(0)			, y(0) 1,	(0) .
x 3y 2y 0,				3		3
x y z,
	x(0)	0,	y(0)	2, z(0) 3.
в) y 3x z,	x(0)	0,	y(0)	2, z(0) 3.

z 3x y,

117

x 2y z,

г)

x(0) 1, y(0)

z(0) 0.

y z 2x,

z 2x y,

Отв.: а) x 4et

3e2t

cost 2sint,

y 4et 2e2t

2cost 2sint;

t / 2

4e2t

t / 2

e2t

б) x

, y

; в)

x e

e t

3e3t

z e

e t

3e3t

г) x 4et 3e 3t, y 2et, z 4e2t 4et .

2.60*. Проинтегрировать при нулевых начальных условиях системы ДУ:

а)	x y		f1(t), y x				f2(t), где
		1,	0 t ,				t,	0 t /2,
f	(t)	1,	0 t ,	f					/2 t ,
f	(t)			f	2	(t) t,			/2 t ,
1			t ;		2
		0,	t ;					t .
							0,	t .
	x y 0,						1,	0 t	,
б)	x y 0,			f				t 2 ,
б)			где	f	(t) 1,			t 2 ,
	y x		f (t),					t 2 .
							0,	t 2 .

Отв.: а) x(t) (1 t sint cost) 2(t /2) sin(t /2) 1(t /2)

1 (t ) cos(t ) sin(t ) 1(t ), y(t) (1 t sint cost)21 cos(t /2) 1(t / 2) 1 (t ) cos(t ) sin(t ) 1(t );

		б) x(t)	1	(cht cost 2) ch(t ) cos(t ) 2 1(t )

2
	1	ch(t 2 ) cos(t 2 ) 2 1(t 2 ),			y(t)	1	(cht cost)

2					2

ch(t ) cos(t ) 1(t ) 1 ch(t 2 ) cos(t 2 ) 1(t 2 ). 2

Операционным методом можно решать некоторые обыкновенные ДУ

с переменными коэффициентами специального вида.
Пусть дано ДУ
a0(t)x(n) a1(t)x(n 1)	... an 1(t)x an(t)x f (t),			(2.59)
где x x(t), f (t) – оригиналы, а	коэффициенты ai(t),i		, являются мно-
		0,n

гочленами от t. Уравнение (2.59) можно преобразовать по формуле Лапласа, если воспользоваться теоремой 2.8 о дифференцировании изображений, на основании которой, если x(t) X(p), то

	t	2	x(t) X		t	n	x(t) ( 1)	n	X	(n)	(p). (2.60)
tx(t) X (p),				(p), …,

		(n)	(t);	t	2
Для нахождения изображений функций tx (t),tx	(t),...,tx		(t);	t		x (t),

118

(n)

(t) и т. д., нужно воспользоваться тем, что дифференцирование

x (t),...,t

изображения приводит к умножению оригинала на (– t). Например,

(t)

L{x

} pX(p) x(0) p pX

(p) X(p) ;

L{x

(0) p

(t)

} p

(p) px(0) x

2pX

(p) p

(2.61)

(p) x(0) ;

………………………………………………….………………………

( 1)

dp2

pX(p) x(0) pp pX

x (t)

L{x} ( 1)

(p) 2X(p),

и т.д. Преобразуя ДУ (2.59) с учетом соотношений (2.60) и (2.61), приходим к ЛДУ относительно X(p), порядок которого равен наивысшей степени t,

имеющейся в коэффициентах ai (t) исходного ДУ. Преобразованное ДУ обычно оказывается более простым, чем исходное ДУ.

2.61. Решить задачу Коши

		tx x tx 0,			x(0) 1, x (0) 0.	(2.62)
Пусть x(t) X(p). Согласно формулам (2.60) и (2.61), из (2.62) полу-
чаем операторное уравнение
p	2
	2
		X(p) px(0) x (0)			p pX(p) x(0) X	(p) 0
		(p	2	1)X
		(p		1)X	(p) pX(p) 0.

Это ДУ с разделяющимися переменными, разделив которые, получим

dX(p)

dp 0 ln | X(p)|

ln(p2

1) ln

X(p)

p2 1

Для отыскания C воспользуемся теоремой 2.12 о предельном соотношении (фор-

мула (2.36)),

согласно

которой

1 x(0)

lim pX(p)

lim

Re p

Rep

p2 1

Итак, C 1, т.е. X(p)

J0(t) x(t), где J0(t) – функция Бесселя. ▲

p2 1

б) tx 2x 0;

2.62. Решить ДУ:

а) tx (2t 1)x (t 1)x 0;

в)

(t 1)x

tx 0

;

г)

b)x

x(0) 1, x

(0) 1;

(t 1)x 0;

x(0) 1, x

(0) 0, b R; д)

x(0) x (0) 1.

Отв.:

а) x(t) (c

t2)e t ;

б) x(t)

;

в)

x(t) e t ;

г) x(t) 1;

д) x(t) et .

Операционное исчисление находит применение в расчетах электрических цепей.

119

Пусть в электрическую цепь (рис. 2.13), состоящую из последовательно соединенных индуктивности L, сопротивления R и емкости C (RLC -цепь), в начальный момент времени t 0 включена ЭДС u u(t). В этом случае сила тока i i(t) в цепи удовлетворяет дифференциальному уравнению

(2.63)

где заряд конденсатора q q(t)

и сила тока

i(t) связаны соотношением

. Пред-

положим, что

q(0) 0

i(0) 0.

Тогда

q i( )d ,

и,

значит,

уравнение

(2.63)

Рис. 2.12

принимает вид

1 t

i( )d u.

(2.64)

C 0

и u(t) –

Перейдем в уравнении (2.64) к изображениям, считая, что i(t)

оригиналы. Пусть i(t) I(p), u(t) U(p). Так как i(0) 0, то из (2.64) получаем операторное уравнение относительно I(p):

LpI(p) RI(p) 1 I(p) U(p), откуда Cp

		I(p)		U(p)		U(p)	,	(2.65)
			Lp R 1/Cp
	1					Z(p)
где Z(p) Lp R		.

	Cp
Величины I(p), U(p), Z(p)				и 1/ Z(p)	называются соответственно опе-

раторным током, напряжением, сопротивлением и проводимостью. Величина Z(p), кроме того, называется обобщенным сопротивлением или импедансом, а величина 1/ Z(p)– обобщенной проводимостью цепи.

Равенство (2.65) показывает, что для изображений тока и напряжения справедлив закон Ома. Они также удовлетворяют первому и второму законам Кирхгофа:

n	n	n
Ik (p) 0; Uk (p) Ik (p)Zk (p).
k 1	k 1	k 1
При параллельном соединении двух цепей токи i1 I1(p) и i2 I2(p) в

них связаны с током i I(p) в неразветвленной части равенством i i1 i2

I(p) I1(p) I2

(p) или

U(p)

Z(p) Z1(p) Z2(p)

Z(p)

Z1(p)

Z2(p)

120

т. е. обобщенная проводимость параллельной цепи равна сумме обобщенных проводимостей ее ветвей.

При последовательном соединении цепей выполняется равенство Z(p)

Z1(p) Z2(p), т.е. обобщенное сопротивление последовательно соединенной цепи равно сумме обобщенных сопротивлений ее участков.

2.63. В RLC -цепь (рис. 2.12) в начальный момент времени t 0 включена постоянная ЭДС u0. Ток в цепи и заряд конденсатора в начальный момент

равны нулю. Найти силу тока i(t)

в цепи.

Поскольку

q(0) 0

и i(0)

0, то операторное сопротивление

Z(p)

Lp R

, а операторное напряжение U(p)

Находим операторный

ток по закону Ома:

I(p)

p(Lp R 1/Cp)

L p

L((p )

)

где

LC 4L

Пользуясь формулами

sin t,

sh t

p2 2

и теоремой смещения, получаем:

1) i(t)

e t sin t, если 2

2) i(t)

e t sh t, если 2 2

3) i(t)

e tt, если

R 2 L/C ,

Так как

то первый результат будет при

второй – при R 2

L/C

, и третий – при R 2

L/C

. В первом случае в цепи

происходит затухающий колебательный процесс. Число называется коэффициентом затухания. При наличии R он не равен нулю, и чем он больше, тем

быстрее уменьшается ток. Число называ-

ется круговой частотой. Она равна числу

колебаний, происходящих за 2 секунд. ▲

2.64.

схеме (рис. 2.14) действует

u(t)

ЭДС u(t) u0 sin( t ).

В момент t 0

рубильник

накоротко

замыкает цепь

LR2 . Найти выражения переходных токов.

Рис. 2.14

121

До замыкания рубильника, согласно уравнению (2.63), имеем (C 0):

LpI(p) (R R )I(p) u

cos psin

(2.67)

p2 2

Обозначим R R1 R2,

R/L 0. Тогда из (2.67) найдем, что

I(p)

u0( cos psin )

L( 2 2)

L(p )(p2 2)

( sin cos )p

( sin cos )

wcos sin

Возвращаясь к оригиналам, будем иметь

i(t)

(( sin wcos )coswt (wsin cos )sinwt

L( 2 2)

(wcos sin )e t ).

Введем вспомогательный угол , положив tg / . Получим

i(t)

(e t sin( ) sin(wt )).

(2.68)

L 2

Отсюда при t (установившийся колебательный процесс) из (2.68)

будем иметь

i(t)

sin( t ).

L 2

После замыкания рубильника уравнение (2.66) переходит в уравнение

di(t)

R i(t) 0 и i(0)

u0 sin(

)

L 2

Решив это уравнение операционным методом, найдем

i(t)

u0 sin( )

e R2t / L , где arctg

. ▲

R1 R2

(R R )2 ( L)2

t 0 включается

2.65.

В цепь

(см.

рис. 2.12)

момент

ЭДС

t t0,

Определить силу тока в цепи,

считая,

что

R 2

L/C

u(t)

t0.

q(0) 0 и i(0)

(колебательный случай) и

Отв.:

i(t)

e t

sin t 1(t t0) e (t t0) sin (t t0) ,

где 1(t) –

единичная функция Хевисайда,

122

2.66. В цепи (рис. 2.15) конденсатор C заряжен до напряжения u0. В мо-

мент

t 0 цепь замыкается ключом K и

конденсатор разряжается через индуктив-

ность

L и сопротивление R. Опреде-

лить ток i(t), если i(0) 0.

Отв.:

i(t)

e t sin t,

если

R 2

;

i(t)

te t ,

если

L/C

R 2

;

i(t)

e t

sh t,

если

L/C

R 2

где 2 2 ,

, 2

L/C

q(0) Cu0.

K R C

Рис. 2.15

1 R2

LC 4L2 . ● Начальный заряд

123

Самостоятельная работа

«Функции комплексной переменной. Операционное исчисление».

Структура

1.Найти все значения корня.

2.Представить число в алгебраической форме.

3.Вычислить интеграл от ФКП.

4.Найти все лорановские разложения по степеням z.

5.Разложить в ряд Лорана по степеням z z0.

6.Определить тип особой точки z0 0 для функции.

7.Вычислить интеграл пп. а) – д).

8.Найти изображение по формуле Лапласа функции f (t).

9.Найти изображение по формуле Лапласа, используя свойства преобразования Лапласа.

10.Найти оригинал f (t) по данному изображению F(p).

11.Решить задачу Коши для ДУ (y y(t)).

12.Решить задачу Коши для системы ДУ (x x(t), y y(t)).

13.Найти изображение по Лапласу функции, заданной графически.

Вариант 1

dz;AB: y x

1 i .

1. 4 1.

,zA

0,zB

2. sin

2i .

z 2

zcos

, z0 2.

2z3 z2 z

z 2

а)

б)

cosz2 1

dz;

;

|z| 1/2 z(z2

|z| 1

x2dx

,a 0;

xcos xdx

г)

д)

(x2 a2)

x2 2x 10

10. F(p)

( 1)cos3 d .

(p 1)3

x x 3y 2,x(0) 1,

y x y 1, y(0) 2.

6.		e9z 1
						.
	sin z z z3 /6
в)	2			dt			;

					cost)2
	0 (2			3
8.	f (t) sin3 t.
	y y 6e t;
11.							1.
	y(0)		3, y (0)

124

13.				f (t)
				f (t)
				2
				2
				1
				1

					О					a				2a		3a	t
															(ch2 ish2).		3.	14		i	.
Отв.: 1.		2	i		2	,		2	i		2	. 2.		2	(ch2 ish2).		3.	14		i	.
	2			2			2			2			2				15		3

2k zk 1

( 1)k zk 1,0 |z|

;

k 0

( 1)k zk 1,

|z| 1;

k 0 2k 1zk 2

k 0

( 1)k

,|z| 1.

2k 1zk 2

k 0

zk 2

k 0

6. Полюс 4-го порядка.
7.	а) 2 i; б) 0;	в) 4 ; г)					;	д)	e 3 cos1 3sin1.
7.	а) 2 i; б) 0;	в) 4 ; г)					;	д)	e 3 cos1 3sin1.
						2a		3
	6			p3	p2			9p 9			t 3 3e	t	2te	t	1	t	2	e	t
8.		.	9.							. 10.										.
8.	(p2 1)(p2 9)	.	9.		p(p2					. 10.					2					.
	(p2 1)(p2 9)				p(p2			9)2							2

			5	13		2t
		x			e
		x			e
11. y 3e t	4sint. 12.		4	8
11. y 3e t	4sint. 12.		4	8
			1	13		2t
		y			e
		y	4	8	e
			4	8

15			e2t,				ap
			e2t,				ap
8						13. F(p)	e	(2 e ap e 2ap).
8						13. F(p)	p	(2 e ap e 2ap).
	5	e		2t	.		p
8		e			.
8

Вариант 2

3 3i

zRezdz; :| z | 1 (обход

( 1 i

3)/ 2.

2. Arctg

. 3.

положительный).

z 4

5. sin

, z0 1.

6. ze7/ z2 .

z4 z3 2z2

z 1

2 z2 3z3

7. а)

dz;

б)

dz; в)

;

8z3 i

z2 (z 1)

|z| 1/2

|z 1 i| 5/4

cost)2

125

8. f (t) cos3t.	t
8. f (t) cos3t.	9. sh 2 d .
	0

y y t2;

y(0) 0, y (0) 1.

13.f (t)

1 10. F(p) (p2 1)2 .

x x 3y 1,x(0) 1,

12.

y x y, y(0) 2.

Отв.:

i ,

1 i

ln4

k Z 3. 0.

( 1)

zk 2

, 0 | z | 1;

k 0

( 1)

zk 2 ,1 | z | 2;

k 0 zk 3

k 0 2k

( 1)k

2k 1

,| z | 2.

k 3

k 0 z

k 0

k 3

				( 1)n							cos1
5.							sin1								.					6.			Существенно особая точка.
5.							sin1								.					6.			Существенно особая точка.

	n 0(2n)!(z 1)2n								(2n 1)(z 1)
			1																					2		5a				2				5b		2			a			2
			1			4 i;															b					5a								5b					a
7. а)				; б)			в) 8 ;				г)		2			2			3									3												3
7. а)			4	; б)			в) 8 ;				г)		2	a		2		)	3							a		3									b			3			;
			4									2 (b		a				)								a											b
д)		e 4 2cos2 sin2 .						8.			p(p2 7)						.			9.								4			. 10.							1			sin t tcost .
д)		e 4 2cos2 sin2 .						8.									.			9.			(p2 4)2								. 10.						2				sin t tcost .
	2									(p2 1)(p2 9)													(p2 4)2														2
																1				9					2t				15				2t
					t3								x									e										e			,
					t3								x									e										e			,
11. y 3et						t2	2t 3.				12.					4		1		8		3								8
11. y 3et						t2	2t 3.				12.					4				8										8
			3																								2t			15					2t
													y													e								e			.
													y					4				8				e					8			e			.
																		4				8									8

13. F(p) 2 e ap 1 e 2ap .

126

Вариант 3

		3 4i
1. 3 1.		3 4i
	2. Arcth		.	3. \| z \|dz;	где – верхняя полуокружность
	2. Arcth	5	.	3. \| z \|dz;	где – верхняя полуокружность
		5

x2 y2

1,z 1 – начальная точка,

z 1 – конечная.

3z 18

zez /(z 5), z0

sin8z 8z

3 3z2 9z

cos z 1 z2

/ 2

7. а)

(z 1)

dz; б)

ch z

dz; в)

;

|z| 4

z3 6z2

11z 6

|z| 2

(z 1)3(z 1)

0 (5 2

cost)2

,a 0, b 0;

cosx

dx.

г)

д)

(x2

a2 )(x2

5x2 4

b2 )

8. f (t) cos6 t.	t
8. f (t) cos6 t.	9. cos2	2 d .
	0

y y t2 2t;

y(0) 0, y (0) 2.

13. f (t)

10. F(p)	2p3	p2 2p 2		.
	p5	2p4	2p3

x x 4y, x(0) 1,

y 2x y, y(0) 0.

2
1
0	a 2a 3a	t

						1					3			1
Отв.:		1.	1,					i				.	2.				ln2 i								k		, k Z. 3.	2.
Отв.:		1.	1,			2		i			2	.	2.	2			ln2 i					4			k		, k Z. 3.	2.
						2					2			2								4
			2 k				k 1							k zk 1												3
				z					( 1)										, 0 \| z \|								;
				z					( 1)								3k		, 0 \| z \|								;
	k 0		3								k 0						3k									2
					3		k 1				1					( 1)		k			k 1				3
					3						1					( 1)					k 1				3
4.																				z			,			\| z \| 3;
4.					2				zk 2											z			,		2	\| z \| 3;
		k 0			2				zk 2				k 0 3k												2
					3	k 1 1												k		3k 1
													( 1)											,\| z \| 3.
					2						k 2		( 1)								k 2			,\| z \| 3.
		k 0			2				z		k 2		k 0							z	k 2
		k 0			5n				z				k 0							z
					5n								5
5.	e									1					.
5.	e									1					.
	n 0n!(z 5)n 1												z 5

127

6. Полюс 1-го порядка.

а) 0;

б)

;

в) 10 ;

г)

;

д)

2e 1 .

ab(a b)

15p

16)

x ch3t

sh3t,

2e t

10.

sint.

11.

12.

sh3t.

1 e ap 1 e 2ap .

13. F(p)

Вариант 4

1. 3

(z2

7z 1)dz, AB– отрезок прямой,

2. sh

zA 1,

zB 1 i.

2z 16

2z 7

cos7z 1

5. sin

, z0 2.

4 2z3 8z2

z 2

sh z z z3

2 sin z

sin z3

7. а)

dz; б)

dz; в)

;

|z| 1

z(z 2i)

|z| 21 cos z

cost)2

г)

;

д)

cos x

dx.

2 9

(x2 1)3

f (t) sin2tcos3t.

9. et

sin d .

10. F(p)

y y cos3t;

p4 1

1,x(0)

11.

12.

1, y

4x y, y(0)

y(0)

(0) 1.

13.

f (t)

–1

Отв.: 1. i,		3	i	1	.	2.	2	(sh2 ich2).	3.	9	i	26	.
		2		2			2		2		3

128

( 1)k

zk 2, 0 | z | 2;

k 0

2k 1

( 1)k

zk 2, 2 | z | 4;

k 3

k 0

k 1

2k 2

( 1)k

, | z | 4.

k 3

k 0

( 1)n(11)2n

11cos2

sin2

. 6. Полюс 3-го порядка.

n 0 (2n)!(z 2)2n

(2n 1)(z 2)

7. а) 2 ; б) 0;

в) 12 ;

г)

;

д)

2(p2 5)

10.

(sht sint).

(p2 1)(p2

25)

(p 1)(p2

sh3t,

cos3t

sin3t.

11.

12.

y ch3t

sh3t.

1 e ap e 2ap

13. F(p)

ap2

Вариант 5

| z|dz,

ABC – ломаная, z

4 1.

0, z

1 i, z

1 i.

2. ch

ABC

5z 50

5. cos

,z0 i.

sh6z 6z

z i

2z3 5z2 25z

ch z 1 z2 / 2

dz;

1 2z 3z2 4z

dz;

7. а)

б)

в)

;

4z2 i

|z 3| 1/2 sin z

|z| 1/3

(7 4

cost)2

n N 0 ;

(x 1)sin2x

dx.

г)

д)

(x2 1)n 1

x2 2x 2

9. 2e d .

f (t) cos2tcos3t.

10.

F(p)

y y y 7e

2t;

(p2 1)2

5y,x(0)

11.

12.

x 2y 2, y(0)

y(0)

1, y

(0)

129

13.

f (t)

															0				a			2a			3a		t
														–1
																				(i 1) 2ln (
Отв.:			1. 1, i.							2. ish2.						3.		2									1).
																		2								2
																	2									2
						k	( 1)k										2
				2		k	( 1)k						k 1								5

								5		k		z			, 0 \|		z \| ;
	k 0			5				5													2
4.					5 k 1						1					( 1)k								5
4.					5 k 1						1					( 1)k					k 1			5
																			z				,		\| z \| 5;
									zk 2										z				,	2	\| z \| 5;
		k 0			2				zk 2					k 0 5k										2

		5	k 1

		2
		2
k 0
	( 1)n (3i)2n

n 0(2n)!(z i)2n

( 1)k	5k 1		1
				,\| z \| 5.
			k 2	,\| z \| 5.
		z	k 2
		z

	3isin3
cos3			. 6.	Полюс 1-го порядка.
cos3			. 6.	Полюс 1-го порядка.
	(2n 1)(z
	(2n 1)(z	i)

7. а) 2 ie ;									б) –1;					в) 14 ;				г)		(2n)!				2 2n;					д)			e 2 cos2.
7. а) 2 ie ;									б) –1;					в) 14 ;				г)						2 2n;					д)			e 2 cos2.
																				(n!)2
8.		p (p		2 13)									.	9.				2				.	10.			1	(sint tcost).
8.	(p2 1)(p2												.	9.								.	10.		2		(sint tcost).
	(p2 1)(p2								25)							p(p 1)3									2
																									10				1					3t	20					3t
																							x									e							e		,
			2t	4							t/2					3							x									e					9		e		,
11. y e			2t	4						e	t/2			sin		3	t.		12.						9 9												9
																									4 1										4
																2
								3
								3																							3t						3t
																							y							e						e		.
																							y		9				9	e					9	e		.
					2e 2ap 1										2e ap										9				9						9
13. F(p)					2e 2ap 1										2e ap			.
13. F(p)								ap2								p		.
								ap2								p
																		Вариант 6

1. 4		1 i					.
		1 i				3			2. Ln 1 i .									3.	(12z5 4z3										1)dz, AB – отрезок прямой,
									2. Ln 1 i .									3.	(12z5 4z3										1)dz, AB – отрезок прямой,
2																			AB
															3z 36				AB										5z													ch5z 1
zA 1, zB				i.				4.							3z 36						.		5.		sin				5z				,z0		2i.						6.	ch5z 1	.
zA 1, zB				i.				4.													.		5.		sin								,z0		2i.						6.		.
												z4 3z3 18z2																z 2i														ez 1 z

130

z(sin z 2)

1 cos z2

7. а)

dz;

б)

dz;

в)

;

|z 3/2| 2

sin z

|z| 2

(5 4cost)2

г)

xdx

; д)

cos xdx

(x2

4x 13)2

0 x2

f (t) sin4 t.

10. F(p)

9. ch2 d .

(p2 1)2

11.

y y 2y 2(t 1),

12.

x 2x 5y 1, x(0) 0,

y(0)

1, y (0) 1.

y x 2y 1, y(0) 2.

13.

f (t)

–1

								1															1										1									3. i 5.
								1															1										1
Отв.:			1.							(1 i					3),										(			3 i). 2.						ln2 i							2 k .
Отв.:			1.					2		(1 i					3),								2		(			3 i). 2.						ln2 i					4		2 k .
								2															2										2						4
					1					( 1)k								k 2
																								, 0 \| z \| 3;
						k						k
						k					6	k	z
	k 0				3		k 1				6										k
4.						3	k 1							( 1)							k			zk 2 , 3 \| z \| 6;
						3								( 1)

			k 0 zk 3									k 0 6k
				3				k 1			( 1)					k		6		k 1					, \| z \| 6.
				3							( 1)							6							, \| z \| 6.
	k 0										zk 3
				( 1)n(10i)2n																									10icos5
5.																sin5																					. 6. Устранимая особая точка.
5.																sin5																					. 6. Устранимая особая точка.
	n 0 (2n)!(z 2i)2n																										(2n 1)(z 2i)
7. а) 4 2i;											б) 0; в)											10				;			г)				;	д)			e 4	.
																					27									27							8
		1		3							p								4p											p	2		4							1
8.		1		3							p								4p									9.		p			4				10.			1	tsint.
8.																												9.								.	10.				tsint.
	8							p	2		16						p		2											p(p		2	4)		2				2
	8		p					p			16						p				1									p(p			4)						2

3	1		t	1		2t
11. y	t	e			e		.
				6
2	3

1 5 3t

x e 2e ,

3 3

y 1 1e 3t 2e3t.

3 3

131

13. F(p)

1.3 1.

1 1 2e p e 2p .. p

Вариант 7


2. sin		i .
	3

2dz, AB – отрезок прямой,

zA 0, zB 1 i.

7z 98

3z i

5. sin

,z0

. 6.

zsin

2z3 7z2 49z

3z i

zez

dz;

3z4 2z3 5

dz;

7. а)

б)

в)

;

|z 1| 3 sin z

|z| 1

2 iz4

(5 3cost)2

г)

(x2 1)dx

;

д)

cos3xdx

x6 1

0 1 x

f (t) cos4 t.

sin2 2t

10. F(p)

2 p 7

11.

y 9y sint cost,

12.

x 3x y,

x(0) 2,

y (0) 2.

y(0) 0.

y(0) 3,

y 5x 3y 2,

13.

f (t)

2a 3a

–1

Отв.: 1. 1,	1	i	3	. 2.	3	ch1	i	sh1.	3. 2	1 i	.
			2		2
2						2			3

132

			2 k					( 1)k						k 1					7
												z				, 0 \| z \|					,
											k	z				, 0 \| z \|					,
									7		k								2
	k 0		7						7										2
			7 k 1														( 1)k
			7 k 1								1						( 1)k					7
4.																			zk 1,					\| z \| 7,
4.									z	k 2						7		k	zk 1,			2		\| z \| 7,
	k 0				2				z					k 0		7						2
				7			k 1						k			k 1			1
				7									k			k 1			1	,\| z \| 7.
									( 1)					7
									( 1)					7					k 2
				2													z
	k 0
		( 1)n (2i)2n															2icos1

5.	n 0(2n)!(3z										sin1												. 6.		Существенно особая точка.
	n 0(2n)!(3z					i)2n									(2n 1)(3z i)

7.	а) 2 2ie ;	б) –2;		в)	5		;

				32
	p4 16p2 24			1
8.			.	9.		ln
	p(p2 4)(p2
		16)		2
11.	y 0,1(cost sint) 1,2e3t

	г) ;		e 3		.
		д)
		д)
		2
	p2 16				2						3
	p2 16				2						3			3		t e			t/2
	p	. 10.						sin													.
													2
					3 3
					3 3
					1		1						2t		11							2t
1,9e 3t .				x								e								e			,
				x								e								e			,
			12.		2		4								4
				y		3			5	e 2t							11	e2t.
				y						e 2t								e2t.
					2		4								4

13. F(p)	1	2e 3ap	e ap
				.

	p	ap2

1. 3		.	2. cos		i	.
	i

				4

zA i, zB 1,zC 0.

Вариант 8

3. z3ez4dz, ABC – ломаная,

ABC

		4z 64		3z			ez2	1
4.			. 5. zcos		, z0	1. 6.				.
	z	4 4z3 32z2					sin z z z3		/6
				z 1

7.	а)				2z(z 1)
					sin z
		\|z 3/ 2\| 2
	x2mdx			m 1 1;
г)			,

	x2n 1

8. f (t) e 3t sintcos3t.

dz;

б)

1 sin(1/z)

dz; в)

;

|z| 3

2 iz

0 (8 3

7 cost)2

д)

xsin xdx

1 x2

p2 2p 1

9. tch2tcos2t. 10. F(p)

3p2 3p 1

y 2y 2 et,	12.	x 3x 4y 1, x(0) 0,
11.	12.
y(0) 1, y (0) 2.		y 2x 3y, y(0) 2.

133

13.

f (t)

																					0						a						2a			3a										t
																i																										1 e			.
										3																			ch1 i									sh1.
Отв.: 1. i,										3									.		2.					2										2				3.
Отв.: 1. i,									2							2			.		2.			2											2					3.		4
									2							2								2											2							4
					1				( 1)k												k 2
																							, 0 \| z \| 4;
					2k
					2k				2				3k z
	k 0			2					2
4.				2		2k 2												( 1)				k		k 2
4.				2														( 1)						k 2
																							z								, 4 \| z \| 8;
					zk 3																		z								, 4 \| z \| 8;
			k 0		zk 3									k 0 23k
				22k 2 ( 1)k 22k 3																										1				, \| z \| 8.
																														1

	k 0																											zk 3
															( 1)n32n
				1											( 1)n32n																								3sin3
5.		1																													cos3													.
5.		1																													cos3													.
				z 1 n 0 (2n)!(z 1)2n 1																																	(2n 1)(z 1)
6. Полюс 3-го порядка.																																																						1
						2																																													/2
7.		а) 4				2	( 1)i;												б) 1;					в) 16 ;											г)									;		д)	e			3	/2
																																																				sin			.
																																																				sin			.
																																						nsin		2m 1						3								2

																																									n
																																		p2 (p4 192)							n
8.				2												1									.					9.				p2 (p4 192)							.	10. e t(1 t2).
		(p 3)2				16						(p 3)2										4												(p4 64)2
						e	t		1															5																							t					t
																																											x			3 2e			5e					,
			y 1								cos(									2t)												sin(				2t).							x			3 2e			5e					,
11.																																									12.

						3			3															3						2																		t					t
						3			3															3						2																2 e		t	5e				t	.
																																											y			2 e			5e					.
13. F(p)						1 e ap											e 2ap						e 3ap ae 3ap p
																																							.
								p																					ap2										.
								p																					ap2

Вариант 9

2. Ln 3 i .

16.

dz, AB:{| z | 1,Imz 0},BC –

ABC

отрезок,

zB 1, zC 2.

9z 162

5. zsin

, z0 1.

2z3 9z2 81z

z 1

134

				sin z2 z2																																				z(z 1)2						dz;								e2z2		1
6.																					.					7. а)																				dz;			б)								dz;
		cos z 1 z2														/ 2																\|z 1/4\| 1/3								sin2 z										\|z\| 1/2				2 iz3
		2									dt																					dx														cos2xdx
в)																								;		г)										;				д)													.
в)																								;		г)										;				д)													.
	0				(5 2							6		cost)2															x6 1																(1 x2 )(x2						9)
		f (t) e 4t																															t																					p
8.														sintcos3t.																		9. 2e d .													10. F(p)									p	.
8.														sintcos3t.																		9. 2e d .													10. F(p)										.
		2y y sin3t,																														0																				p3 1
		2y y sin3t,																														12.		x 2x 6y 1,															x(0) 0,
11.																																12.														y(0)			1.
		y(0) 2,													y				(0) 1.															y 2x 2y,												y(0)			1.
13.																										f (t)
																													1
																																		a				2a													t
																												0						a				2a													t
																												–1
									2 1 i .																																					1
Отв.:						1.																				2. ln2 i												2 k .							3.			.
Отв.:						1.																				2. ln2 i												2 k .							3.			.
																																		6												3
								2			k						( 1)k																						9
																										zk 1					, 0 \| z \|										,
																						2k				zk 1					, 0 \| z \|										,
																			3			2k																	2
	k 0							9											3																				2
								9 k 1 1																						( 1)k									9
								9 k 1 1																						( 1)k									9
4.																																		zk 1,								\| z \| 9,
4.																		z		k 2										3		2k		zk 1,					2			\| z \| 9,
	k 0									2								z								k 0				3									2
											9			k 1													k		2k 2					1
											9																k		2k 2					1				,\| z \| 9.
																				( 1)								3
											2									( 1)								3						k 2
											2																					z
	k 0																								( 1)n
								1																	( 1)n																				cos1
5.	1																																	sin1																.
5.	1					z 1																												sin1																.
						z 1					n 0 (2n)!(z 1)2n 1																																(2n 1)(z 1)
6. Устранимая особая точка.																																														3e4			1 .
7. а)							9i		;				б) 2; в) 10 ;																			г)			2		; д)									3e4			1 .
								8																										3										24e6
8.								2																				1						.				9.							2		.
8.			p2 8p 32																				p2 8p 20											.				9.				p(p 1)3					.

135

	1					e t								et / 2									3		t								3		t
	1													et / 2									3										3
10.																	cos										3sin									.
10.															3		cos										3sin				2					.
	3														3						2										2
																																									1			5				4t		13			4t
						1										2										62					11									x							e					e			,
																													t / 2											x							e			16		e			,
		y						cos3t														sin3t						e	t / 2												8			16						16
11.																																				.		12.
11.																										37								3		.		12.						1		5				13
	111															37										37								3										1		5			4t	13					4t
																																								y								e						e		.
																																								y				8		16		e						e		.
											1					1																												8		16				16
13. F(p)											1					1					(1 (ap 2)e ap e 2ap).
13. F(p)													p			ap2					(1 (ap 2)e ap e 2ap).
													p			ap2
																											Вариант 10
																2. sh 1 i
1. 4			1 i									.														.
			1 i						3

	32																							2
	32																							2
3.		z2				cosz dz, ABC – ломаная,																									zA 0, zB 1, zC i.
ABC																																z 3												cos z2 1
					5z 100																											z 3												cos z2 1
4.																		.				5. (z 3)cos															, z0	0.			6.										.
4.		z4 5z3 50z														2		.		2		5. (z 3)cos											z				, z0	0.			6.		sh z z z3							/6	.
		z4 5z3 50z														2																	z										sh z z z3							/6
													iz(z i)																	3 2z 4z4
7. а)																						dz;			б)														dz;
7. а)															sin z							dz;			б)										z3				dz;
				\|z 1/2\| 1											sin z											\|z\| 1/3									z3
	2							dt																			dx										x3 sin3xdx
в)																			; г)																; д)										.
в)																			; г)																; д)										.
		0 (4					7			cost)2														(x2		2x 2)2												0 (1 x2 )2									p 2
8.	f (t) e 6t cos5tcos2t.																							9. tch2tcos2t										.			10. F(p)										p 2									.
8.	f (t) e 6t cos5tcos2t.																							9. tch2tcos2t										.			10. F(p)					(p 1)(p 2)(p2										4)				.
		y 2y sin(t /2),																								x 2x 3y 1, x(0)																(p 1)(p 2)(p2										4)
11.		y 2y sin(t /2),																						12.		x 2x 3y 1, x(0)															0,
11.																								12.																5.
		y(0) 2, y (0) 4.																								y 4x 2y, y(0)														5.
13.																									f (t)
																									f (t)

b a

					0		a	b	t
Отв.: 1.	1		i ,	1	1 i		.	2. ich1.	3. sini	i	.
		3				3
4		4							3

136

				1		k	( 1)				k				k 2
				1			( 1)								k 2
														z		, 0 \| z \| 5;
				5				10		k				z		, 0 \| z \| 5;
	k 0			5				10
4.					k 1		1								( 1)k				k 2
4.					k 1		1								( 1)k				k 2
		5																z			, 5 \| z \| 10;
		5					zk											z			, 5 \| z \| 10;
		k 0					zk	3				k 0 10k
			5k 1				( 1)k10k 1											1		,\| z \| 10.
																		1
																	zk 3
	k 0																zk 3

		( 1)n			(3 )2n							3
5.									1				.					6. Полюс 1-го порядка.
5.									1				.					6. Полюс 1-го порядка.
	n 0 (2n)!z2n 1											z


7.	а) 4i; б) 0; в)			8		;	г)	;	д)	e 3.
				27			2		4	p2 (p4 192)
	1		p 6				p 6			p2 (p4 192)
8.									. 9.		.
8.									. 9.		.
	2		12p 85		p2 12p 45					(p4 64)2
	2	p2	12p 85		p2 12p 45					(p4 64)2

10. 1 e2t 1 e t 1 cos2t 1sin 2t.

6 15 10 5

													1	31			4t
4		t	16		t		35					x				e
									2t			x	8	16		e
									2t				8	16
11. y	sin			cos		1		e		.	12.				31e 4t
11. y	sin			cos		1	17	e		.	12.		1
17	2		17	2			17						1
												y
												y	4			8
													4			8

33e4t ,

1133e4t . 8

13. F(p)

e ap

e bp .

Вариант 11

dz, – граница области D {1 | z | 2, Re z 0}.

8. 2. ch 1 i .

e5z 1

11z 242

5. z2 sin

z 1

, z0

2z3 11z2

121z

ch z 1 z2

sin3z 2

dz; б)

z sin z

dz;

;

а)

в)

z2(z )

4 iz4

5cost)2

|z 3| 1

|z| 2

г)

, a 0,b 0;

д)

5x)sin xdx

. 8.

f (t) et cos2 t.

(a bx2)4

x4 10x2 9

e 3t

sin2 2t

10.

(p)

2p 3

11.

y y sht,

p(p

4p 5)

y(0)

0, y (0) 1.

137

x x 2y, x(0) 0,

y 2x y 1, y(0) 5.

13. f (t)

																																1
																																									a									b																	t
																																0									a									b																	t
Отв.:					1.				2, 1 i																					2. ch1.													3. 4i.
Отв.:					1.				2, 1 i														3.							2. ch1.													3. 4i.
								2						k				( 1)								k						k 1														11
								2										( 1)														k 1														11
																																				, 0 \| z \|
																									k																								;
																	11								k				z																	2			;
	k 0							11									11																													2
										11 k 1												1															( 1)k							k 1					11
4.										11 k 1												1															( 1)k							k 1					11
																																											z				,						\|		z \| 11;
																				zk 2																							z				,						\|		z \| 11;
				k 0						2										zk 2											k 0 11k																		2
										11						k 1														k					k 1							1
										11																				k					k 1							1
																					( 1)											11													, \| z \| 11.
																					( 1)											11										k 2			, \| z \| 11.
										2																															z	k 2
	k 0									2																															z
						( 1)n 1 2n 1
5.																						.																						6. Полюс 3-го порядка.
5.																						.																						6. Полюс 3-го порядка.
	n 0 (2n 1)!z2n 1
7. а)					4i							б)				1			;						в)				3		;						г)																		д)					(e			1			e		3	).
7. а)							;					б)							;						в)						;						г)															;			д)					(e						e			).
															12														4										16a3/ 2b5/2																	2
						p2 2p 3																						. 9.				1						p2			6p 25														3 3							e		2t			cost			4	e	2t	sint.
8.																												. 9.						ln																	. 10.											e					cost				e		sint.
		(p 1)(p2											2p 5)																			4								(p 3)2															5				5											5
																																																2							t				8			3t
																1																										x								2e											e				,
																																										x						3		2e											e				,
11.			y 2cost														(sint sht).																			12.												3											3
																																														1										8
																2
																2																																						t						3t
																																										y						2e											e			.
																																										y				3		2e								3			e			.
											1 e ap															e bp e ap																				3										3
13. F(p)											1 e ap															e bp e ap													.
13. F(p)													ap2														(b a)p2												.
													ap2														(b a)p2
																																					Вариант 12
1.		3				.		2. Ln1 i																			.			3.						(ch z cosiz)dz, ABC – ломаная
1.		3		8i		.		2. Ln1 i																3			.			3.						(ch z cosiz)dz, ABC – ломаная
zA 0, zB 1, zC i.																																	ABC
zA 0, zB 1, zC i.																																						z
4.						6z 144														.						5. zcos												z				,z0 2i.													6.		sin 4z 4z											.
4.		z																		.						5. zcos										z 2i						,z0 2i.													6.													.
		z	4 6z3 72z2																																	z 2i																						ez 1 z

138

ez 1

3 3z2 1

а)

dz;

б)

dz;

z(z 1)

4 iz4

|z 1/ 2| 1

|z| 1

x2 cos xdx

г)

; д)

(1 x2)3

(1 x

2)2

cos

f (t) sh(t

)sin d . 9.

d . 10.

F(p)

2		dt		;
в)

	(3 2		2cost)2
0	(3 2		2cost)2

e p	pe 2p
			.
p2 2p 5	p2
		9

y 4y 29y e 2t,	12.	x 2x 2y, x(0) 3,
11.	12.
y(0) 0, y (0) 1.		y 4x, y(0) 1.

13.

f (t)

–1

Отв.: 1. 2i,

3 i.

2. ln2 i

2k .

1 k

( 1)k

k 2

, 0 | z | 6;

k 0

( 1)

6k 1

zk 2

, 6

| z | 12;

zk 3

k 0

k 0 12k

6k 1 ( 1)k12k 1

, | z | 12.

k 3

k 0

3. 2isin1.

2i ( 1)n(2i)2n 2isin1

5.1 z 2i n 0 (2n)!(z 2i)2n 1 cos1 (2n 1)(z 2i) .

6.Устранимая особая точка.

7. а) 2 (e

8. 1 . p4 1

11. y 1

1)i;		б)	1		; в) 6 ;		г)	3	; д) 0.
1)i;		б)	2		; в) 6 ;		г)		; д) 0.
			2				8							1
1			1				cos(6			3t) 1(t 2)				1		e		t 1		sin2(t 1) 1(t 1).
9.		ln				. 10.
9.		ln				. 10.
	p			p2 1										2
											4		2t	5			4t
										x		e			e				,
										x		e			e				,
e 2t (1 cos5t 5sin5t). 12.											3			3
e 2t (1 cos5t 5sin5t). 12.											3			3
											8		2t	5			4t
										y		e			e				.
										y		e		3	e				.
											3			3

139

										1						1 2ap											ap								1					2ap
13. F(p)																									e													e						.
13. F(p)																		ap					2		e								ap2					e						.
													p					ap					2										ap2
																																			Вариант 13


1.			4 16.								2. sin												5i			.				3.					\| z \| zdz,L:{\| z \| 4, Rez 0}.
1.			4 16.								2. sin								2				5i			.				3.					\| z \| zdz,L:{\| z \| 4, Rez 0}.
																			2															L
																																		L				z2 4z
4.						13z 338																		.					5.					sin				z2 4z									, z0 2.							6.	z4 cos					5	.
4.		2z			3 13z2																			.					5.					sin													, z0 2.							6.	z4 cos						.
		2z			3 13z2										169z																							(z 2)2																						z2
									(eiz 2)z													dz;													4z		5 3z3 1													dz;			2			dt
7. а)																											б)																										в)										;
7. а)												sin3iz															б)												2 iz6														в)	(4 2				cost)				2	;
					\|z\| 1							sin3iz																	\|z\| 3										2 iz6														0	(4 2			3	cost)				2
							dx																	cosax cosbx																		dx, a 0,b 0.
г)																	; д)
г)			1 2x x2														; д)														x2
	0		1 2x x2																				0								x2																												p2 2p 1
								t			sin																1		(chtsint shtcost).																								10. F(p)						p2 2p 1					.
8.	f (t)																	d .					9.
																											2																													p3 2p2						2p 1
														2
								0						2																											x				x 2y 1,x(0)
				y 3y 2y 0,																																					x				x 2y 1,x(0)										1,
11.				y 3y 2y 0,																																12.														3
11.																																				12.					y									3		x y, y(0) 0.
				y(0)																			0.																		y											x y, y(0) 0.
				y(0)							1, y (0)												0.																											2
																																																		2
13.																															f (t)
13.
																																		2b
																																			b

																																			0											a								t
Отв.:						1. 2,									2i.								2.			ch5.								3. 64 i.
										2							k					( 1)				k				k 1																13
										2												( 1)								k 1																13
	2																																		, 0 \| z \|															;
																									k
													13										13		k			z																		2
	k 0												13										13																							2
										13					k 1								1							( 1)						k				k 1					13
4.										13													1							( 1)										k 1					13
																																						z					,					\| z \| 13;
																				zk 2																		z					,					\| z \| 13;
					k 0							2								zk 2								k 0 13k																	2
										13							k 1											k			k 1								1
										13																		k			k 1								1

																						( 1)							13										k 2 ,\| z \| 13.
													2									( 1)							13										k 2 ,\| z \| 13.
	k 0												2																						z
								( 1)k							42k
								( 1)k							42k																							4cos1
5.																								sin1																											.
5.																								sin1																											.
	k 0 (2k)!(z														2)						4k											(2k					1)(z								2)				2
	k 0 (2k)!(z														2)																	(2k					1)(z								2)

6. Существенно особая точка.

140

7. а) 0;

б) 4; в)

;

г) 1;

д)

b a

1 p2 p

p2 1

t /2

y e

(2 e

10. 2e

cos

sin

t .

11.

p4 4

1 e ap

1 2e ap ..

12.

13. F(p)

ap2

3 3

Вариант 14

1 i

(chz z)dz, L:{| z | 1,Imz 0}.

cos

7z 196

5. sin

z i

,z0

cos3z 1

z4 7z3

98z2

z i

e2z

sin z z z3

cos2 z 1

7. а)

dz;

б)

dz;

в)

;

|z 2| 3

|z| 1 2 iz2

0 (5

21cost)2

xdx

cos xdx

f (t) e t

sin2t.

sin

d .

г)

;

д)

(x2 9)(x2

16)

3x 5y 2, x(0) 0,

10. F(p)

11.

12.

3x y 1, y(0) 2.

1)(p

y(0)

y (0)

13.

f (t)

–1

–2

Отв.: 1.	1	1 i		,	1		i . 2.	2	ch 2 i	2	sh 2. 3. 2sh1.
			3			3
								2		2
4			4

141

1 k

( 1)k

k 2

, 0 | z| 7;

k 0

7k 1

( 1)k

zk 2, 7 | z| 14;

k 3

k 0

( 1)k14k 1

k 0

( 1)k (2i)2k

k 0(2k)!(z i)2k

7k 1 zk13,| z| 14.

	2icos1
sin1		.	6. Полюс 3-го порядка.
sin1		.	6. Полюс 3-го порядка.

	(2k 1)(z i)

7.		а) 2i;			б) 1;						в)		5		;	г) 0;						д)		(4e 3)		.
7.		а) 2i;			б) 1;						в)				;	г) 0;						д)				.
												4													84e4
8.		2					.			9.		1		arctg				1		.		10. e t e 2t te 2t.						11. y sht.
8.							.			9.				arctg						.		10. e t e 2t te 2t.						11. y sht.
		p2 2p 5										p						p
				1		21					2t	25					6t
		x							e							e			,
		x		4		16			e							e			,
12.				4		16						16
12.				1		21						15
				1		21					2t	15					6t
		y							e							e			.
		y		4		16			e							e			.
				4		16						16
13. F(p)					1			1 e 2ap									1			1 4e ap					e 2ap ..
13. F(p)								1 e 2ap												1 4e ap					e 2ap ..
					ap2													p
																					Вариант 15
1.		3		2. Ln 1 i .												3.				\| z \|Rez2dz, L:{\| z \| R,Imz 0}.
1.		3	8.	2. Ln 1 i .												3.				\| z \|Rez2dz, L:{\| z \| R,Imz 0}.
																			L
4.			15z 450									. 5.				sin					z		,z0		3. 6.		sh2z 2z		.
4.	2z3 15z2					225z						. 5.				sin							,z0		3. 6.				.
	2z3 15z2					225z															z 3						cos z 1 z2 / 2

7.	а)		ln(z 2)	dz;

		\|z 1\| 3/2	sin z
г)		xdx

					;

		(x2 25)(9x2 1)
		t
8.	f (t) (t )n f ( )d .
		0

		1 z			2		6z			4				2		dt
б)		1 z					6z				dz; в)					dt			;
б)				4 iz5							dz; в)				(6 4			cost)2	;
\|z\| 3				4 iz5									0		(6 4		2	cost)2
	(2x3 13x)sin x												dx.
д)
д)		x4 13x2 36
		x4 13x2 36

sin			2t						,		t			,
sin			2t					4	,		t	8		,
								4				8
9.
		t
0,						.
0,				8		.
				8

142

10.	F(p)	p2	3p 4	. 11.	y 2y 3y 2t,

		p(p 1)(p 2)
		p(p 1)(p 2)			y(0)	1, y (0) 1.
13.

f (t)

	x 3x 2y,x(0) 0,
12.		5

	y		x y 2,y(0) 1.
		2

8 t

					1. 2,1 i																		1												3														R4
																							1												3														R4
Отв.:																	3.				2.							ln2 i												2k .								3. 2		.
Отв.:																	3.				2.		2					ln2 i												2k .								3. 2		.
																							2												4														3
						2					k				( 1)					k			k 1																15
						2									( 1)								k 1																15

																			k											, 0 \|					z \| ;
																			k		z									, 0 \|					z \| ;
	k 0					15						15																											2
											k 1						1										( 1)					k			k 1		15
						15											1										( 1)								k 1		15
4.																																	z				,								\|		z \| 15;
4.																zk 2																	z				,								\|		z \| 15;
				k 0 2												zk 2					k 0 15k																		2
								15					k 1									k							k 1					1
								15														k							k 1					1
																	( 1)						15														,\| z \| 15.
																																		k 2
										2																								k 2
	k 0									2																						z
					( 1)k 3							2k
					( 1)k 3							2k																			3cos1
5.																		sin1																									.					6. Полюс 1-го порядка.
5.																		sin1																									.					6. Полюс 1-го порядка.
																									(2k 1)(z 3)
	k 0(2k)!(z 3)2k																								(2k 1)(z 3)
7. а) 2 iln2;														б) 3;							в)			3							; г) 0.									д) (e 2 e 3).
7. а) 2 iln2;														б) 3;							в)										; г) 0.									д) (e 2 e 3).
																										2								2e p /8
		n!F(p)																																2e p /8													10. 2 8et		7e2t .
8.							,		где F(p) f (t).																						9.														.
8.			pn 1				,		где F(p) f (t).																						9.				p2										.
			pn 1																																p2		4
																																			1							1				4t
						2						4 5																			x													e			,				(1 e p)2
						2						4 5								3t											x					2							2	e			,				(1 e p)2
11.			y						t										e		.	12.																										13. F(p)					.
11.			y						t										e		.	12.																										13. F(p)					.
						3						9 9																			y				3			1			e4t.										p2	(1 e 4p)
																															y				4						e4t.
																																			4		4

143

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями

#
11.05.20153.35 Mб183Сборник задач по ВМ ч.1.pdf
#
11.05.20151.73 Mб131Сборник задач по ВМ ч.10.pdf
#
11.05.20153.42 Mб115Сборник задач по ВМ ч.2.pdf
#
11.05.20152.99 Mб239Сборник задач по ВМ ч.3.pdf
#
11.05.20151.26 Mб120Сборник задач по ВМ ч.4.pdf
#
11.05.2015672.61 Кб178Сборник задач по ВМ ч.5.pdf
#
11.05.20151.41 Mб105Сборник задач по ВМ ч.6.pdf