2.2. Восстановление оригинала по изображению

а) F(p)

p

; б) F(p)

1

; в) F(p)

p

;

p2 2p 5

p3 8

(p 1)3(p 2)2

г) F(p)

p2e 2p

.

p3 1

а) имеем

p

(p 1) 1

p 1

1

F(p)

.

p2 2p 5

(p 1)2 22

(p 1)2

22

(p 1)2 4

Согласно строкам (2), (5), (6) таблицы, получаем f (t) e

t

cos2t

1

e

t

sin2t;

2

б) разложим данную дробь в сумму простейших дробей

F(p)

1

A

Bp C

1 A(p2 2p 4) (Bp C)(p 2)

p2 2p 4

p3 8

p 2

p2

A B 0,

A 1/12,

p

2A 2B C 0,

B 1/12,

p

0

4A 2C 1.

C 1/3.

Таким образом,

p 4

F(p)

1

1

1

1

1

1

p3 8

12 p 2

12 p2 2p 4

12 p 2

1

(p 1) 3

1

1

1

p 1

3

3

.

12 (p 1)2 ( 3)2

12

p 2

12 (p 1)2 ( 3)2

12 (p 1)2 ( 3)2

Согласно строкам (2), (5), (6), (9) таблицы, отсюда получаем, что

1

2t

1

t

f (t)

e

e

(cos

3t 3sin

3t);

в) разлагаем F(p)

12

12

в сумму простейших дробей:

p

A

B

C

D

E

.

(p 1)3(p 2)2

(p 1)3

(p 1)2

p 1

(p 2)2

p 2

f (t)

1

3

t

2

e

t

te

t

e

t

2te

2t

e

2t

3t2

2t 2

e

t

2t 1

e

2t

;

2

54

27

27

p2

г) разложим дробь

в сумму простейших дробей:

p3 1

p

2

p

2

1

1

2p 1

3

2

2

p

1

(p 1)(p

p 1)

3

p

p 1

p 1

1

1

1

p 1/2

3

2

e t

2et /2 cos

t

.

3

(p 1/2)

2

( 3/2)

2

3

2

p 1

Наличие сомножителя

e 2p в изображении

F(p) указывает на то, что

p2e 2p

1

(t 2)

2e(t 2)/ 2 cos

3

1(t 2) e

(t 2) . ▲

p

3

1

3

2

1

2t

1

t

1

2

Отв.:

f

(t)

e

e

cos2t

sin2t.

10

5

e p

pe 2p

6

15

ж) F(p)

.

p

2 2p 5

p2

9

1

t 1

Отв.:

f (t) 3(t 2) 1(t 2)

e

sin 2(t 1) 1(t 1).

1

e p

3e 4p

2

з) F(p)

.

p 2

p

p2 9

Отв.:

f (t) e2t 1(t 1) 1(t 4) sin3(t 4).

и) F(p)

p

2pe p

Отв.:

f (t) cos2t 2 1(t 1) ch2(t 1).

.

p2 4

p2 4

2.43. Пользуясь теоремой умножения (изображение свертки), найти ори-

гиналы, соответствующие следующим изображениям: а)

1

;

(p 1)(p 2)

б)

1

;

в)

p

;

г)

p2

.

(p 1)(p 2)2

(p2 1)(p2

4)

(p2 4)(p2

9)

Отв.: а) e2t et

; б)

e t e 2t te 2t ; в)

1

(cost cos2t); г)

1

(3sin3t 2sin 2t).

5

Если f (t)

3

– оригинал с показателем роста 0 , то при 0 его мож-

1

i

f (t)

F(p)ept dp,

(2.38)

2 i

i

называемой формулой Меллина, где F(p) f (t).

Для вычисления интеграла Меллина (2.38) используется формула

n

Re pk

0 ,

f (t) Res(F(p) ept),

(2.39)

k 1

p pk

т.е. все особые

точки

pk

функции F(p) должны лежать левее прямой

Re p 0 на комплексной плоскости

переменной p i .

2.44. Найти оригинал f (t) по его изображению F(p):

а) F(p)

1

;

б) F(p)

1

.

p

(p 1)3

2(p2 1)

а) функция F(p) 0

при Re p . Поэтому формула (2.39) может

быть применена. Функция F(p) имеет полюс

p 0

2-го порядка и простые

полюсы p i и

p i.

Поэтому F(p) аналитична в любой полуплоскости

Re p 0. Находим вычеты функции F(p)ept

в этих полюсах (процесс вычис-

ления опускаем): Res(F(p)ept) t, Res(F(p)ept)

e it

,

Res(F(p)ept)

eit

.

2i

p 0

p i

p i

2i

По формуле (2.39) искомый оригинал f (t) t

eit e it

t sint;

2i

ept

1

(p 1)3ept ''

t

2

t

1

2

t

чет в ней равен Res

lim

e

. Значит, f

(t)

t

e

.▲

p 1

(p 1)

3

2

(p 1)

3

2

2

p 1

pp

2.45. Восстановить оригинал по его известному изображению, используя

формулу (2.39).

p

1

3

2

e

t

e

2t

e

3t

e

4t

а)

.

Отв.:

.

(p 1)(p 2)(p 3)(p 4)

3

6

2

б)

4 p p2

.

Отв.: 2et

4t 3.

p3 p2

1

1

et

e2t

e3t

в)

.

Отв.:

.

p4 6p3 11p2 6p

6

6 2

2

1

(2t2 6t 3)et

e t

2sin(

t /2 /6)

Отв.:

3

г)

.

.

(p 1)3

(p3

8

24

3

1)