1.5. Ряды в комплексной области

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями / Сборник задач по ВМ ч.10.pdf

Скачиваний:

131

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

1.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

то n N имеет место формула

f (n)(z0)	n!		f (z)	dz,	(1.44)
	2 i
		(z z0)n 1

где z0 D, z . Таким образом, аналитическая в D функция всюду в D имеетпроизводные любогопорядка n N, т.е.она бесконечнодифференцируемав D.

1.109. Вычислить интеграл

I |z i| 1

sin zdz

(z i)3

Так как точка z0 i

лежит внутри окружности | z i | 1, то, исполь-

зуя формулу (1.44) при n 2, получаем

sin zdz

2 i

(sin z)z i

isini sh1. ▲

(z i)2 1

|z i| 1

1.110. Вычислить интеграл

ezdz

, если:

а) точка 0 лежит внут-

2 i

z(1 z)3

ри, а точка 1 – вне

; б) точка

лежит внутри, а точка

– вне

; в) обе

точки 0

и 1 лежат внутри контура

Отв.:

а) 1; б)

e/2;

в) 1 e/2.

1.111. Вычислить

, если:

а) :

z 1

(z 1)3(z 1)3

б) :| z 1| 1; в)

: | z | R, R 1.

Отв.:

а) 3 i/8; б) 3 i/8;

в) 0.

1.112. Вычислить интегралы:

а)

sin( z / 4)dz

;

б)

cos

dz.

(z 1)2 (z 3)

|z 1| 1

|z| 1/ 2 z3

z 1

Отв.: а)

( 2)

;

б) 3i.

(n 1)(1 i)

Числовые ряды. Абсолютная сходимость. Признаки сходимости. Функциональные ряды. Признак Вейерштрасса. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и круг сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора. Основные тейлоровские разложения. Ряды Лорана.

Числовым комплексным рядом называется ряд вида


z1 z2 ... zn ... zn (xn iyn).		(1.45)
n 1	n 1

Здесь zn xn iyn – общий член ряда. Ряд (1.45) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды

x1 x2 ... xn ... xn и y1 y2 ... yn ... yn.

n 1

Ряд (1.45) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд



\| zn \| \| xn iyn \| (xn)2 (yn)2.
n 1	n 1	n 1

Основные свойства сходящихся и абсолютно сходящихся рядов с действительными членами сохраняются и для рядов с комплексными членами. Напомним эти свойства:

1 .

(Необходимый признак

сходимости).

Если ряд

zn сходится,

то

lim zn 0.

n 1

2 . Если ряд (1.45) сходится абсолютно, то он сходится.

3 . Если для ряда zn

существует сходящийся числовой ряд

n 1

что | zn | cn,

n 1

положительными членами, такой,

начиная с некоторого номера

n N , то ряд (1.45) сходится абсолютно.

4 . (Признак

Даламбера).

Если для ряда

выполнено

условие

n 1

lim | zn 1 / zn | L,

то при

L 1

ряд

сходится абсолютно, а при L 1

n 1

этот ряд расходится.

5 .

(Признак

Коши).

Если

для

ряда

выполнено

условие

n 1

lim n

то при L 1 этот ряд сходится абсолютно,

а при L 1 – рас-

| zn |

ходится.

1.113. Исследовать на сходимость ряд:

n i

ei / n

а)

;

б)

;

в)

n 1 n3 1

n 1

n 1 n!(e i)n

n i

а) Имеем

. Поскольку действительные

n 1 n3 1

n3 1

ряды

, очевидно сходятся, являясь рядами Дирихле, то и

n 1 n3

1 n 1 n3 1

исходный комплексный ряд сходится;

cos( /n)

ei / n cos

б)

имеем

isin

. Ряд

расходится, а ряд

n 1

sin( /n) сходится. Значит, исходный ряд расходится.

n 1 n

в) по признаку Даламбера имеем lim

zn 1

lim

(n 1)n 1n!(e i)n

(n 1)!nn(e i)n 1

n 1 n

lim

Следовательно, исходный ряд

|e i |

|e i|

e2 1

сходится абсолютно. ▲

1.114. Исследовать на сходимость ряд

zn, если

а) zn (2i)n ;

cos(in)

д) zn 2n ;

1 i n з) zn ;2

n 1

б) z

;

в) z

ein;

г) z

ein

;

(in)n

nsin(in)

ж) zn

2 i n2

е) zn

;

и) zn

ch(i /n)

;

к) zn

nlnn

tg(i n)

Отв.: а) cх. абс.; б) сх. абс.; в) расх.; г) сх. неабс.; д) расх.; е) сх. абс.; ж) сх. абс.; з) сх.; и) сх.; к) расх.

Функциональным рядом (ФР) в комплексной области называется ряд вида


		f1(z) f2(z) ... fn(z) ... fn(z),		(1.46)
			n 1
в котором	fn(z)	– ФКП z x iy, определенные на некотором множестве G.
Множество	D G точек		z, в которых ФР (1.46) сходится, называется обла-
стью сходимости этого ряда.
Если	ФР	(1.46)	сходится в D к сумме	f (z), то пишут
				n

f (z) fn(z), z D. Выражение rn(z) f (z) Sn(z), где Sn(z) fk (z),

n 1 k 1

называется n-м остатком ряда.
Ряд (1.46) называется равномерно сходящимся в D к сумме				f (z), если
0, N N( ), n N :\| rn(z)\|	n

	f (z) fk (z)		, z D.
	k 1
Справедлива

Теорема 1.6 (Вейерштрасса). Если члены ряда		fn(z) удовлетворяют
		n 1
неравенствам \| fn(z)\| an, z D,n N, где an 0,
		а ряд an		сходится, то
		n 1

ряд fn(z) сходится равномерно в D.

n 1

Комплексные равномерно сходящиеся ФР обладают следующими свойст-

вами:


1 . Если члены равномерно сходящегося в						D ряда		fn(z)		являются
								n 1
аналитическими в D функциями, то этот ряд можно почленно интегрировать
вдоль любой кривой	l D, причем
вдоль любой кривой	l D, причем			fn(z) dz		fn(z)dz.
		l	n 1			n 1l
2 . Пусть ряд	fn(z)	аналитических в D функций сходится в каждой
	n 1

точке z D, а ряд	fn(z)	сходится в			D равномерно.			Тогда ряд		fn(z)
	n 1									n 1

можно почленно дифференцировать в D									fn(z), где
можно почленно дифференцировать в D					и f (z)		fn(z)		fn(z), где
						n 1			n 1

f (z) – сумма ряда fn(z).
n 1

3 . Пустьчлены	fn(z) ряда fn(z) –аналитические в D функции иэтотряд
		n 1

сходитсяравномернов D ксумме f (z).Тогда f (z) являетсяаналитической в D. Для определения области абсолютной сходимости комплексных ФР ис-

пользуются признаки Коши или Даламбера. Так, если существует

lim	n \| fn(z)\| L(z)			(1.47)
n
или
lim		fn 1(z)	L(z),	(1.48)
		fn 1(z)
		fn(z)
n		fn(z)

то ряд fn(z) сходится абсолютно при L(z) 1 и расходится при L(z) 1.

n 1
	ei(z2 2z 3)
1.115. Исследовать на равномерную сходимость ФР		.
1.115. Исследовать на равномерную сходимость ФР	n2	.
n 1	n2

Данный ряд сходится равномерно по признаку Вейерштрасса на всей комплексной плоскости, поскольку в этой плоскости выполняется очевидное неравен-

ei(z2 2z 3)

ство

, а знакоположительный ряд

– сходящийся. ▲

n 1 n2

1.116. Найти область сходимости ряда

n 1 (z 2 i)n

Абсолютную сходимость этого ряда можно установить как по формуле (1.47), так и по формуле (1.48). Например, по формуле (1.48) находим

L(z) lim	(n 1)2 (n 1)(z 2 i)n	1	1 \| z (2 i)\|	1	.
	(z 2 i)n 1n 2 n	2\| z (2 i)\|		2
n

Итак, данный ряд сходится абсолютно во внешности круга с центром в

точке z0 2 i и радиусом 1/2. ▲

1.117. Найти области сходимости рядов:

(z 2i)n

2 5

nin2n

а)

; б)

;

в)

;

n 0 2n(n 1)

n 1 (z 2i)n

n 0 (z 2)n

n 1 (z i)n 1

(z i)

г) (n 1)in 2(z i)n;

д)

;

1) 3

(z i)

n 1

2n i

2 n

е)

;

ж)* (1 z

)

;

з)* (n 1)

1 z

n 1 4n(z 1)

n 0

n 1

Отв.: а) 1 | z 2i | 2;

б) | z 2| 1;

в) | z i | 2; г) 1 | z i | ;

д) 1/3 | z i |

з)* область сходимо-

2; е) | z 1| 1/4; ж)* | z 1|| z 1| 1;

сти определяется соотношением

1 z2

Комплексным степенным рядом называется ряд вида

(z z

)n c

c (z z

) c

(z z

... c

(z z

) ..., (1.49)

n 0

где cn an ibn, z0 x0 iy0, z x iy. При z0 0 он превращается в ряд

cnzn . Для степенных рядов (1.49) справедлива

n 0

Теорема 1.7 (Абеля). Пусть степенной ряд (1.49) сходится в некоторой

точке

z1 z0.

Тогда

этот

ряд

сходится

абсолютно в

круге

| z z0

| | z1 z0

| R и равномерно в круге

| z z0 | q R

(рис. 1.24). Если же этот ряд расходится в некоторой

точке

z2 , тогда он расходится в каждой точке z, удов-

летворяющей неравенству |

z z0

| | z2 z0 |.

Для каждого степенного ряда существует так назы-

ваемый круг сходимости ряда с центром в точке z z0 и

радиусом сходимости R 0. Радиус

сходимости

ряда

Рис. 1.24

можно вычислить по формуле

R lim

cn 0, n,

(1.50)

cn 1

или

R lim

(1.51)

n n

|cn |

если указанные пределы существуют.

Имеет место

Теорема 1.8 (о почленном дифференцировании и интегрировании сте-

пенных рядов). Пусть R 0 – радиус сходимости степенного ряда (1.49). Тогда этот ряд можно почленно дифференцировать в круге | z z0 | R любое число раз. Получаемые при этом дифференцировании ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. Кроме того, ряд можно почленно интегрировать вдоль любой гладкой кривой, расположенной в круге сходимости

| z z0 | R.

Почленное дифференцирование и интегрирование комплексных степенных рядов, как и в действительном анализе, позволяет иногда найти их сумму.

n 1

1.118. Найти радиус сходимости и сумму ряда: а)

( 1)

; б)

n 1

а) имеем cn

( 1)n 1 /n. По формуле (1.51) находим радиус сходимо-

сти R lim n

т. е. ряд сходится абсолютно в круге | z | 1 к некоторой

сумме S(z):

n 1 z

S(z) ( 1)

(1.52)

n 1

Продифференцировав

равенство

(1.52)

почленно,

получим

S (z) 1 z z2 z3 ...

| z | 1, откуда

1 z

S(z)

Ln(1 z) C.

(1.53)

1 z

Из равенства (1.52) следует, что S(0) 0. Тогда, согласно (1.53),

получа-

ем C 0. Взяв главную ветвь логарифма, из соотношения (1.53) будем иметь

S (z) ln(1 z) z

n 1 zn

... ( 1)

...,

(1.54)

где | z| 1;

б) Имеем cn n. По формуле (1.50) солютно в круге | z | 1 к некоторой сумме


S (z) nzn z nzn 1
n 1	n 1

S(z) z

1, т.е. данный ряд сходится аб-

nzn 1, z 0.

n 1

Интегрируя это равенство почленно, будем иметь

z S(t)

n 1

dt nt

dt z

, | z | 1.

0 t

n 1

n 1 0

n 1

1 z

Отсюда дифференцированием по z находим

S(z)

. ▲

(1 z)2

1.119. Найти круг сходимости ряда:

(1 i)n(z 2)n

(z 1)n

а)

;

б)

;

в)

;

г)

;

(n 1)(n 2)

n 1 nn

n 1 2n

n 1

			3n(z 1)n
д)									;


	n 1				(3n 2)2n
		5n(z 1)n
з)							;

				3n 12n
	n 1			3n 12n
						zn
л)								;
л)								;
	n 1 sinn					(1 in)
Отв.:					а)	\| z \| e;

n!(z i)n

(1 i)n(z 1)n

е)

;

ж)

;

n 1

n 0

(n 1)(n 2)

и)

;

к)

cos

;

n 0

n 1

м)

cosin zn.

n 0

б)

| z | 2;

в)

| z 2| 1/

2; г) | z 1| 1;

д) \| z 1\|	2 /3; е) \| z i \| e; ж) \| z 1\| 1/	2; з) \| z 1\| 2/5; и) \| z \| 1;
к) \| z \| 1; л) R ; м) \| z \| 1/e.

1.120.	Радиус сходимости R ряда cnzn	таков, что R 0. Определить

n 0

радиус сходимости ряда:


а) nkcnzn; б)		(2n 1) cnzn;
n 0		n 0

д) Cnk zn;	е)* (1 z0n) cnzn.
n 0	n 0

	cn		n			n		n
в)		z		;	г) n		cnz		;
в)	n!	z		;	г) n		cnz		;
n 0	n!				n 1

Отв.: а)

R; б)

R/2;

в)

; г) 0; д)

Rk; е)* R, если | z0 | 1, и

, если

| z0 | 1.

| z0 |

z2n 1

1.121. Найти сумму ряда: а)

; б)

n 1

1 z

n 1 2n 1

Отв.: а)

ln(1 z), | z | 1;

б)

, | z | 1.

Теорема

1.9.

f (z),

1 z

Функция

однозначная

и аналитическая

в точке

z z0 , разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд Тейлора:

f (z) cn(z z0)n ,

(1.55)

n 0

коэффициенты cn которого вычисляются по формулам

f (z)dz

f (n)(z

)

n 0,1, 2,...,

(1.56)

(z z0)n 1

2 i

где – окружность с центром в точке

z0 , целиком лежащая в окрестности

точки z0 , в которой

f (z) аналитическая.

Эта окружность проходит через особую точку z* функции

f (z), бли-

жайшую к точке

z0 , т. е. радиус сходимости ряда Тейлора (1.55)

равен рас-

стоянию от точки z0

(центра разложения) до ближайшей особой точки z*

функции f (z).

Приведем разложения в ряд Тейлора основных элементарных функций,

называемые основными тейлоровскими разложениями.

1 . ez 1

...

..., z C.

(1.57)

1! 2!

z2n 1

2 . sin z z

... ( 1)

..., z C.

(1.58)

(2n 1)!

z2n

3 . cos z 1

... ( 1)

..., z C.

(1.59)

(2n)!

z2n 1

z2n

4 . sh z

;

ch z

, z C.

(1.60)

n 0(2n 1)!

n 0

(2n)!

5 . Ранее в (1.54) получено разложение

ln(1 z) z

n 1

| z | 1.

... ( 1)

...,

6 . Для главной ветви функции

(1 z) имеет место разложение

( 1)

( 1)( 2)

(1 z)

1 z

...

( 1)( 2) ( n 1)

zn ...,

| z | 1.

В частности,

7 .

1 z z2

... zn ...,

| z | 1.

1 z

8 .

1 z z2

... ( 1)n zn ...,

| z | 1.

1 z

Далее,

(1.61)

(1.62)

(1.63)

(1.64)

			tg z z					2	z	3			16		z	5		... .
																							(1.65)
																							(1.65)
								3!					5!						является точка z* /2. По-
Ближайшей особой точкой к точке z0 0																			является точка z* /2. По-
этому радиус сходимости ряда (1.65) R /2.
9 . arctgz z	z3			z5							n			z2n 1						\| z \| 1.
					... ( 1)												...,						(1.66)
			5		... ( 1)												...,						(1.66)
3			5											2n 1
10 . arcsin z z			2!				z3							(2n)! z2n 1								\| z \| 1.
								...													...,		(1.67)
		22	(1!)2			3		...				22n(n!)2									...,		(1.67)
		22	(1!)2			3						22n(n!)2							2n 1

Основные тейлоровские разложения применяются для разложения в ряд Тейлора других функций.

1.122. Разложить в ряд Тейлора функцию																																													f (z) в окрестности точки																		z0 :
а) f (z)											z						,			z0 0;												б)					f (z) ln(2 5z), z0																					3.
а) f (z)																	,			z0 0;												б)					f (z) ln(2 5z), z0																					3.
						z2 2z 3
Разлагаем f (z)														на простейшие дроби:
										z											1				1							3				1										1					1				1				1		.
																																																													.
					z2 2z 3																4 z 1											4 z 3														4 z 1									4 1 z /3
Отсюда согласно разложениям (1.63) и (1.64) получаем
								1	1 z z2													z3 ...												1									z				z	2				z	3

		f (z)																																			1																	...
		f (z)																																			1																	...
				4																													4								3					9					27
				4																													4								3					9					27												(1.68)
															1							4						8								28																											(1.68)
															1							4		z				8	z		2					28			z		3
																																												... .
																						3						9								27								... .
															4							3						9								27																			f (z) является точка
Ближайшей к точке z0																							0 особой точкой функции																																f (z) является точка
z* 1. Поэтому радиус сходимости полученного ряда (1.68)																																																	R 1;
б)		Введем замену z 3. Тогда
						f (z) ln(2 5z) ln(2 5( 3)) ln(17 5 )
																			5																											5
							ln17							1												ln17 ln 1																								( ).
							ln17							1					17							ln17 ln 1																				17				( ).
																			17																											17
Отсюда следует, что разложение функции																																						f (z)							по степеням z 3 равносильно
разложению функции ( )																			по степеням . Используя стандартное разложение
(1.61) при			z				5		, получаем
(1.61) при			z						, получаем
				17																																2														3
																																				2														3
																		5									5 /17													5 /17																5
		( ) ln17																5									5 /17													5 /17																5				1.
		( ) ln17																																																										1.
																17														2															3											17


Поскольку z 3, то отсюда имеем разложение заданной функции
																		f (z) ln(2 5z) ln17
		5									1		5			2															1				5				3																		5
		5	(z 3)								1		5						(z 3)									2			1				5					(z					3)				3								5		\| z 3\| 1,

	17									2																					3																				... ,					17
	17									2		17																			3		17																							17
				17																																								5						n (z 3)n												17
т.е. \| z 3\|					, или кратко,																ln(2 5z) ln17																																					,\| z 3\|					. ▲
т.е. \| z 3\|				5	, или кратко,																ln(2 5z) ln17																																n					,\| z 3\|				5	. ▲
				5																																						n 1 17											n									5

1.123. Используя основные разложения, а также возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов, разложить функции в ряд по степеням z и указать области сходимости полученных рядов:

а) 3		; б)	3z 1	; в)	sin2z cos2z;	г) ln(z2 3z 2);
	27 z
			(z 2)2

2 /2 d ;

sin

д) ln(z

1 z2 );

d ;

е )

ж)

zcosz sin z

sin z

zsin z 1 cosz

з)*

;

и)

7n 1

2 5 8 (3n 4)

Отв.: а) 3

z | 27; б)

,| z | 2.

4n 1

n 2

n!3

n 0 2

3z 1

(3z

n 2

4n 1

2n 1

( 1)

z | ;

●

; в)

(z 2)

z 2

n 0

(2n 1)!

n 1

n (2n 1)!!

2n 1

г) ln2

( 1)

(1 2

)

,| z | 1; д)

( 1)

z | 1;

2n n!

n 1

2n 1

4n 2

е) ( 1)n

,| z | ;

ж) ( 1)n

,| z | ;

n 0

2n n!(2n 1)

n 0

2(2n 1)!(2n 1)

n 1 2n z

2n 1

n 1

(2n 1) z

2n 2

з) ( 1)

,| z | ;

и) ( 1)

,| z | .

(2n)!

n 1

(2n 1)!

n 1

zsin z 1 cosz

1 cosz

●

1.124. Разложить функции в ряд по степеням z z0 и определить области

сходимости рядов:

а)

, z0 3i; б)

, z0 3;

в)*

, z0 2;

1 z

z2 6z 5

г) ez2 4z 1, z0

д) sin(z2

4z), z0

е) ln(z2 6z 12), z0

(z 3i)n

(z 3)2n

Отв.: а)

,| z 3i| |1 3i| 10; б)

,| z 3| 2;

4n 1

n 0(1 3i)n 1

n 0

n 1

(z 2)

в) ( 1)

,| z 2| 2; г) e

,| z | ;

2n 1

n 1

n 0

sin4

cos4

д) ( 1)n

(z 4)4n

4)4n 2 ,|

z | ;

n 0

(2n)!

(2n 1)!

n 1 (z 3)

е) ln4 ( 1)

,| z 3| 2.

n 4n

n 1

Обобщением ряда Тейлора является ряд Лорана, в который разлагается аналитическая функция в некотором кольце комплексной плоскости. Имеет место

Теорема 1.10. Функция f (z), аналитическая и однозначная в кольце

| z z0 | R, разлагается внутри его в сходящийся ряд

f (z) cn(z z0)n

cn(z z0)n .

(1.69)

n 0

n 1(z z0)n

Коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам

f (z)

dz;

c n

f (z)(z z0)n 1 dz,

(1.70)

2 i

(z z0)n 1

2 i

где

–

окружность | z z0 | r, r R. Это разложение единственно.

Ряд (1.69) с коэффициентами (1.70) называется рядом Лорана

функции

| z z0 | R. Совокупность

f (z)

в кольце

cn(z z0)n

с неотрицатель-

z z0

n 0

ными степенями

называется правильной,

или регулярной частью ряда

Лорана, а совокупность

c n(z z0) n

n 1(z z0)n

n 1

с отрицательными степенями

z z0

– главной частью ряда Лорана.

Формулы (1.70) для коэффициентов ряда Лорана на практике применяют-

ся редко, поскольку, как правило, приводят

к громоздким вычислениям. Обычно по воз-

можности используются тейлоровские раз-

ложения элементарных функций.

1.125. Разложить в ряд Лорана по сте-

пеням

функцию

f (z) z2

3z 2

-5

0 D

кольце

1 | z | 2.

данном

кольце

| z /2| 1

|1/ z | 1. Тогда

Рис. 1.25

z2 3z 2

z 2

z 1

(z 1)(z 2)

z n

1 n

. ▲

2 1 z/2

z 1 1/ z

2 n 0 2

z n 0 z

n 02n 1

n 0 zn 1

1.126. Найти все лорановские разложения функции f(z)

5z 100

в кольце по степеням

50z2 5z3

f (z)

Особыми

точками

функции

являются

корни

знаменателя

50z2 5z3 z4	z2(z 10)(z 5), т. е.					z		0	0, z			10 и	z	2	5. Пусть D –
										1								1
кольцо 0 \| z \| 5, D2 – кольцо 5 \| z \| 10,										D3 – внешность круга \| z \| 10
(рис. 1.25). Разложим функцию		f (z)		на простейшие дроби:
f (z)	5z 100		1		1			2			1	1		1		1	.	(1.71)
	50z2 5z3 z4						z2
		10 z								10 z 10				5		z 5

В кольце D1 :0 \| z \| 5 \| z \| /5 1	и \| z \| /10 1, поэтому из равенства
(1.71) получим

1		z n

	10
100n 0

f (z)				1		1		2			1				1				1
f (z)								z2
	10					z		z2	10					10			1 z /10
		1	1			1						1				1		2
																		z2
		5 5 1 z/5									10 z							z2
	1				n z n						2					1				1		( 1)n		n

		( 1)											2								n 2
		( 1)											2							10	n 2	5	n 2 z .
	25n 0						5			z						10z			n 0	10		5

Итак, в кольце 0 | z | 5 главная часть ряда Лорана содержит два сла-

гаемых		2	и				1			.
гаемых		z2	и							.
		z2				10z																													и \| z \| /10 1. Тогда из равенства
	В кольце D2 :5 \| z \| 10 \|5/ z \| 1																																		и \| z \| /10 1. Тогда из равенства
(1.71) получим													1				1						2					1		1					1					1						1
			f (z)										1				1						2					1		1					1					1						1
			f (z)																				z2									1 z /10
											10						z						z2				10		10			1 z /10						5					z(1 5/ z)
						1 1 2																			1					z			n		1									n 5 n
																																						( 1)																		(1.72)
																	z2																					( 1)																		(1.72)
						10							z				z2							100 n 0						10							5z n 0								z
											2											1								zn											n	5n 1
																																		( 1)												.
														z2																				( 1)									zn 1			.
														z2					10z								n 0 10n 2								n 0								zn 1
	Заметим, что в кольце 5 \| z \| 10																																главная часть ряда Лорана (1.72) со-
держит бесконечное множество слагаемых.																																			5/ z \| 1. Тогда
	В кольце D3 :\| z \| 10 \|10/ z \| 1																															и \|			5/ z \| 1. Тогда
	f (z)				1			1							2						1						1								1			1											1			1			2
	f (z)														z2
				10 z											z2					10 z(1 10/ z)															5 z(1 5/ z)													10 z z2
1			10			n					1														n		5 n		2						1				10n 1															n 5n 1
																( 1)																																( 1)
																( 1)																																( 1)							zn
10z n 0 z											5z n 0															z					z2			10z				n 0 zn 1										n 0							zn	1
												2						1																								1
												2						1								10n 1 ( 1)n 15n 1																1				.
																										10n 1 ( 1)n 15n 1																				.
													z2				10z									n 0																	zn 1
	Итак, в D3								лорановское разложение																										функции								f (z)							содержит							только
главную часть. ▲																																																					2z
	1.127. Найти все лорановские разложения функции																																					f (z)									по сте-						2z
	1.127. Найти все лорановские разложения функции																																					f (z)						z2 4
пеням z 1 3i z ( 1 3i).																																												z2 4
пеням z 1 3i z ( 1 3i).
	Особыми точками функции																												f (z)							2z			являются z												2 и						z	2	2
	Особыми точками функции																												f (z)										являются z												2 и						z		2
																																			z2 4													1
(рис. 1.26), а центром разложения – точка																																	z0 1 3i.

Радиусы

R колец разложения находятся как расстояния от

до

особых точек функции f (z). Из рис. 1.26 имеем

| z

( 1 2)2

10,

R | z

(1 2)2

1 .

Разложим

функцию

f (z)

на

простейшие

дроби:

В круге D1 :| z 1 3i |

имеем | z 1 3i|/

z2 4

z 2

10 1.

В этом круге функ-

ция f (z) аналитическая. Представим ее в виде

1 1

z 2

(z 1 3i) (1 3i)

(z 1 3i) (3 3i)

1 3i

1 z 1 3i

1 3i

3 3i 1 z 1 3i

3 3i

Так как в круге D1

выполняются нера-

венства

z 1 3i

| z 1 3i | 1

-1+3i

1 3i

-1

z 1 3i | z 1 3i| 1,

-4

-2

3 3i

то, согласно формуле суммы бесконечно убы-

Рис. 1.26

вающей геометрической прогрессии, получим

f (z)

n z 1 3i n

z 1 3i

( 1)

1 3i

3 3i

1 3i n 0

3 3i n 0

( 1)

n 1

(z 1 3i) .

n 0 (1 3i)

(3 3i)

В кольце D2 :

10 | z 1 3i| 3

2 | z 1 3i|/3

2 1 и

10/ | z 1 3i | 1.

Тогда

z 2

(z 1 3i) (1 3i)

(z 1 3i) (3 3i)

(z 1 3i) 1

1 3i

3 3i

1 z 1 3i

z 1 3i

3 3i

(1 3i)n

(z 1 3i)n

( 1)

(z 1 3i)n 1

В области

n 0

n 0 (3 3i)n

D3 :| z 1 3i| 32 32/ | z 1 3i | 1 и 10 / | z 1 3i| 1.

Тогда	1	1	1	1
f (z)
			(z 1 3i) (1 3i)	(z 1 3i) (3 3i)
	z 2	z 2

(z 1 3i)

1 3i

(z 1 3i)

3 3i

(z 1 3i)

z 1 3i

(1 3i)

(3 3i)

( 1)

(1 3i)

(3 3i)

( 1)

n 1

. ▲

(z 1 3i)

n 0

n 0(z 1 3i)

n 0

1.128. Функцию

f (z) zsin

z2 2z

разложить в ряд Лорана в окрестно-

(z 1)2

z0 1.

сти точки

f (z) к виду

Преобразуем функцию

(z 1)sin

f (z) ((z 1) 1)sin 1

(1.73)

(z 1)

cos1 sin

sin 1

sin1 cos

(z 1)

sin1cos(z 1)2 cos1 sin (z 1)2 .

Используя разложения (1.58) и (1.59) для sint и cost																																	при			t 1/(z 1)2,
будем иметь								1									1										1
			cos					1		1							1										1				...,
			cos		(z 1)2					1					2!(z 1)4										4!(z 1)8						...,
					(z 1)2										2!(z 1)4										4!(z 1)8
	sin	1									1									1							1							....
	sin		(z 1)					2					2					3!(z 1)						6							10			....
			(z 1)						(z 1)									3!(z 1)										5!(z 1)
Отсюда с учетом (1.73) окончательно получаем
								1									1																	1		1
f (z) sin1 (z 1)																							... cos1
f (z) sin1 (z 1)												3										7	... cos1															5
							2!(z		1)			3				4!(z 1)						7															3!(z 1)	5
							2!(z		1)							4!(z 1)															z 1						3!(z 1)
		1																			1									1
						... sin1 1																													...
				9		... sin1 1																				4						8			...
	5!(z		1)	9															2!(z 1)							4			4!(z 1)			8
	5!(z		1)																2!(z 1)										4!(z 1)
								1							1												1
	cos1																													... . ▲
	cos1									2										6							10			... . ▲
							(z 1)			2				3!(z			1)			6			5!(z				10
							(z 1)							3!(z			1)						5!(z				1)

1.129. Разложить в ряд Лорана функцию					f (z) в окрестности точки z0 :
а) f (z)	z	, z0	1.		1		1		.
				Отв.:
	(1 z)2					(z 1)2		z 1

б) f (z) 1 z2 , z0 i.

в) f (z) z2 3iz 2, z0 2i.

г) f (z) (z 1)2(z 2), z0 1.

д)* f (z) (z 1)2(z2 1), z0 i.

( 1)n(z i)n

Отв.:

2(z i)

(2i)n

4 n 0

(z 2i)n

Отв.:

z 2i

n 0

(z 1)n

1/3

2/9 2

Отв.:

(z 1)

n 1

z 1

9 n 0 3

1 i

Отв.:

z i

4(1 i)

n 0

е)* f (z)

, z0 2.

(z 1)(z 2)2

Отв.:

1/9

z 2

3/2		n 1	(z 2)	n
	( 1)				.
(z 2)2			3n 3
	n 0

1.130. Функцию f (z) разложить в ряд Лорана в указанном кольце D:

а) f (z)			z 2		, D:\| z 1\| 2.
	z	2 4z 3

б) f (z)	z2		z 3		, D:1 \| z \| 2.
	z	3	3z 2

в) f (z)			z5	, D:\| z \| 2.
	(z2		4)2

2n 2

Отв.:

z 1

n 2(z 1)n

( 1)n zn

Отв.:

n 1zn 1

n 0

(n 2)4n 1

Отв.: z

z2n 1

n 0

г)

д)

е)

f (z)

, D:1 | z | 2.

(z2 1)(z2

( 1)n

Отв.:

n 05 4n 1

, D:| z 2| 2.

(z 3)(z 2)2

Отв.:

3 ( 1)n(z 2)n.

z 2

(z 2)2

n 0

z2 2z 5

D:1 | z | 2.

(z 2)(z2

(2 i)

n 1

(2 i)

n 1

Отв.:

i ( 1)

(z 2)

при 0

| z 2|

z 2

5n 1

n 0

1.131. Данную функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки z0 :

а) z ez i ,

z0 i.

Отв.:

(z i) n.

z2 4z

n 1

(n 1)!

z0 2.

б)* cos

(z 2)2

( 1)n 142n 1 sin1

( 1)n42n cos1

Отв.: cos1

при

0 | z 2| .

(2n 1)!(z 2)4n 2

(2n)!(z 2)4n

n 1

в) z2 sin

, z0 1.

z 1

( 1)n 1(1/(2n 1)! 1/(2n 1)!)

2( 1)n

Отв.:(z 1) 2

2n 1

(z 1)

при 0 | z 1| .

n 1

(2n 1)!(z 1)

г)* sin z sin

области

| z | .

Отв.:

c2nz2n c 2nz2n,

где

n 0

c2n c 2n

( 1)n

, n 0,1, 2,... .

k 0(2k 1)!(2n 2k 1)!

sin

2 2

z0 0.

Отв.:

... .

д)

2!2z3

4!2z5

6!2z7

е)* 1 z 2z2 sin

, z0 0.

( 1)n

Отв.: 2

(2n 1)!z4n

(2n 1)!z4n 1

(2n 1)!z4n 2

n 0

1.6. Нули и изолированные особые точки аналитических функций

Нули аналитических функций. Устранимые особые точки. Полюсы. Существенно особые точки. Поведение функции в бесконечно удаленной точке.

Нулем аналитической в области D функции f (z) называется комплексное число a D, для которого f (a) 0. Разложение функции f (z) в окрестности ее нуля в степенной ряд имеет вид

f (z) c (z a) c

(z a)

(z a)n, c 0.

(1.74)

2 ... c

n 1

Привыполненииусловий (1.74) нуль aфункции f (z) называется простым.

Точка z a называется нулем порядка k аналитической в D функции

f (z), если в разложении f (z) в ряд Тейлора

f (z) c

c (z a) ... c

k 1

(z a)k 1

(z a)k ...

(1.75)

окрестности точки

a коэффициенты c0, c1, c2,...,ck 1

равны

нулю, но

0, т.е. ряд (1.75) в этом случае имеет вид

f (z) ck (z a)k ck 1(z a)k 1 ck 2(z a)k 2

...

(1.76)

(z a)k (ck ck 1(z a) ...) (z a)k

ck p(z a)p.

p 0

Если обозначить

ck p(z a)p

(z), где

(z) – аналитическая в ок-

рестности точки a

p 0

функция, то представление (1.76) аналитической функции

f (z) в окрестности ее нуля a порядка k имеет вид

f (z) (z a)k (z), (a) 0.

(1.77)

Как и в действительном анализе, имеет место

Теорема 1.11. Для того чтобы точка z a была нулем порядка k аналитической функции f (z), необходимо и достаточно выполнения соотношений

f (a) f

(k 1)

(a) 0,

(k)

(a) 0.

(1.78)

(a)

f (a) ... f

1.132. Определить порядок нуля функции:

f (z) z(1 cos z);

б) f

(z)

cosz 1 z2 /2

а)

e3z

а) разложим f (z) в ряд Тейлора по степеням z:

1 z

(z),

z(1 cos z) z 1 1

...

... z

где (z) 1/2 z2 /24 ...

– аналитическая

окрестности

z 0

функция,

(0) 0.

Согласно критерию (1.77), заключаем, что z 0 – нуль 3-го порядка дан-

ной функции;

б)

в точке z 0 обращаются в нуль и числитель, и знаменатель данной

функции. Представим их

рядами

Тейлора

по

степеням

z: f (z)

(1 z2

/2! z4 /4! z6

/6! ...) 1 z2

z4 /4! z6 /6! ...

1/4! z2 /6! ...

(1 3z 9z

/2! ...) 1

3z 9z

/2! ...

3 9z/2! ...

Так как выражение, стоящее в скобках, при

z 0 не обращается в нуль и

является, очевидно, аналитической функцией, то, согласно (1.77), точка z 0 – нуль 3-го порядка функции f (z). ▲

1.133. Определить нули	функции	f (z) z2 sinz и их порядок.
Ясно, что нулями	данной	функции являются точки z0 0 и

zn n ,n Z . Имеем последовательно:

f		2	cosz f		f
f	(z) 2zsin z z		cosz f	(0) 0;	f	(z) 2sin z

4zcosz z2 sin z f (0) 0; f (z) 6cosz 6zsin z z2 cosz

f (0) 6 0. Согласно (1.78) заключаем, что z 0 – нуль 3-го порядка

данной функции. Поскольку f ( n) ( 1)n n2 2	0, n Z, то точки zn	n –
нули 1-го порядка для f (z). ▲

1.134. Определить нули функций и их порядок. Для пунктов д) и е) определить порядок нуля z0 0.

f (z)

Отв.: z 0 –

а)

нуль 5-го порядка.

z sinz

б)

f (z) (1 sh z)2 z.

Отв.:

z 0

– нуль 3-го порядка, zn =

(4n 1) i/2, n N – нули 2-го порядка.

в)

f (z) cosz3. Отв.: zn

(2n 1) /2, n 0,1... – нули 1-го порядка.

г)

f (z) (z2 1)3.

Отв.: zn

n i, n N , –

нули 3-го порядка.

д)

f (z)

Отв.:

z 0 – нуль 2-го порядка.

(z/2)2 sin2(z/2)

f (z)

(1 cos2z)2

Отв.:

z 0 – нуль 1-го порядка.

е)

z shz

Точка z0

называется изолированной особой точкой функции

f (z), если

существует окрестность этой точки,

в которой f (z) аналитична и однозначна

всюду, кроме самой точки z0 .

f (z), если

Точка z0

называется устранимой особой точкой функции

существует конечный предел функции f (z) в точке z0 .

Так, для функций

f (z) (ez 1)/z и g(z) (sin z)/ z

особой точкой является точка z0 0. По-

скольку

lim f (z) lim g(z) 1,

то

z0 0

– устранимая

особая

точка для

z 0

функций f (z) и g(z).

для функции f (z),

Изолированная особая точка называется: 1) полюсом

если lim f (z) ; 2) существенно особой точкой (с. о. т.), если f (z) не име-

z z0

ет предела при z z0.

Тип изолированной особой точки тесно связан с характером разложения функции f (z) в ряд Лорана в круге 0 | z z0 | с выколотым центром z0 .

Имеют место следующие утверждения:

Теорема 1.12. Изолированная особая точка z0 функции f (z) является устранимой особой точкой тогдаитолько тогда,когдалорановское разложение функции f (z) вокрестности точки z0 несодержитглавнойчасти,т.е. имеет вид


	f (z) cn(z z0)n .	(1.79)
	n 0	f (z), то, со-
Следовательно,	если z0 – устранимая особая точка для	f (z), то, со-
гласно (1.79), lim f (z) c0 .
z z0	Изолированная особая точка z0 функции	f (z) является
Теорема 1.13.	Изолированная особая точка z0 функции	f (z) является

полюсом тогда и только тогда, когда главная часть лорановского разложения

функции f (z)

в окрестности точки

содержит конечное число k ,

k 1,

отличных от нуля членов, т. е. имеет вид

c k

c k 1

c 1

f (z)

...

cn(z z0)n, c k

(1.80)

(z a)k

(z a)k 1

z a

n 0

В этом случае число k называется порядком полюса. При k 1 полюс

z z0 называется простым.

Если z0

– полюс порядка k

функции f (z), то в его окрестности функ-

ция f (z) представима в виде

f (z)

(z),

(a) 0,

(1.81)

(z a)k

– аналитическая в окрестности точки z0

где (z) cn(z a)n k

функция и

(a) c k 0.

Точка z0

– полюс порядка k

функции

f (z) в том и только в том случае,

когда для функции g(z) 1/ f (z) точка z0

–

нуль порядка k .

Из теорем 1.12 и 1.13 следует, что z0

– с. о. т. функции f (z), когда глав-

ная часть лорановского разложения в проколотой окрестности точки z0

со-

держит бесконечно много отличных от нуля членов.

Теорема 1.14 (Сохоцкого). Если z0

– существенно особая точка для од-

нозначной аналитической функции

f (z), то для любого комплексного числа A,

включая

A , найдется последовательность точек {zn}, сходящаяся к

z0 ,

такая, что lim

f (zn) A.

1.135. Определить тип особой точки z0 0 для функций:

f (z)

cosz3 1

;

а)

б) f

(z) zcos

;

sin z z z3 /6

в)

f3(z)

e3z 1

cosz 1 z2

а) используя разложения в ряд Тейлора функций cos z3 и sinz, получаем

f (z)	1 z6	/2! z12	/4! ... 1	z6 /2! z12 /4! ...
	z z3 /3! z5	/5! z7	/7! ... z z3 /6
1				z5 /5! z7 /7! ...

1/2 z6 /4! ...

z 1/5! z2 /7! ... .

Так как числитель и знаменатель выражения в скобках при z 0 в нуль не обращаются, то согласно (1.77), заключаем, что z 0 – простой нуль функ-

ции f1(z);

б) поступая аналогично пункту а), имеем

....

f2(z) z 1

2!z

6!z

... z

2!z

4!z

6!z

4!z

Значит,

z 0 – с. о. т.;

в)

имеем

f3(z)

(1 3z 9z2 /2 27z3 /6 ...) 1

3 9z/2 27z2

/6 ...

(1 z2

/2 z4 /4! z6

/6! ...) 1 z2 /2

1/4! z2 /6! ...

Отсюда, согласно (1.81), следует, что z 0 – полюс третьего порядка. ▲

1.136. Доказать, что точка

является устранимой особой точкой для

функций:

а)

, z0

/2;

б)

, z0

cos2 z

(z /2)2

tg z

в)

, z0

г) ctg

, z0 0.

ez 1

sin z

1.137. Доказать, что точка z0

является полюсом для функций:

а)

, z0 0;

б)

, z0 i;

1 cosz

(z2 1)2

в)

, z0 0;

г)

, z0

(ez 1)2

ez 1

1.138. Доказать, что точка z0 – с. о. т. для функций:

а) sin			, z0 i;	б) z2 sin		, z0	0;	в) etg z, z0 /2;

	z2 1				z
г) cos	z	, z0 1;		д) (z 1) e1/(z 1), z0				1.
	z 1

1.139. Для данных функций найти особые точки и установить их характер:

а)	1		1	.	Отв.: z 0	– полюс 2-го порядка; zn in,
	e z	1
			z2

n 1, 2..., – простые полюсы.

z 0 – с. о. т.

б)

cos

Отв.:

в)

Отв.:

z 0 – полюс 3-го порядка;

z3(2 cosz)

zn 2n iln(2

3), n Z , – простые полюсы.

г) ctg z

Отв.: z 0 – устранимая особая точка; zn

n ,

n 1, 2,..., – полюсы 1-го порядка.

д)

cos

Отв.: z 0 – устранимая особая точка;

z2 1

z 1

z 1 – с. о. т.

е)

Отв.:

z 0 – полюс 2-го порядка; zn n i,

z(1 e2z )

n 1, 2,..., – простые полюсы.

ж)		z7		. Отв.: z 2		– полюс 2-го порядка; z 2 – с. о. т.
		(z2 4)2 cos	1
			z 2			2

з)	etg(1/ z) .			Отв.: zn			, n Z , – с. о. т.
					(2n 1)

По определению окрестностью бесконечно удаленной точки z на-

зывается внешность круга | z | R достаточно большого радиуса R. При заме-

не z 1/ w окрестность точки z плоскости Cz перейдет в окрестность точки w 0 плоскости Cw и, значит, изучение поведения функции f (z) в окрестности точки z сводится к изучению поведения функции f (1/ z) в окрестности точки z 0.

Говорят, что аналитическая функция f (z) имеет полюс k -го порядка или существенную особенность в бесконечно удаленной точке z , если функция

f (1/ z) обладает аналогичным свойством в точке z 0.								Например,	функция
sin(1/ z3)	имеет в точке z	нуль		3-го	порядка,			поскольку	функция
sin z3 z3	z9 /3! z15 /5! ... z3(1 z6			/3! z12 /5! ...) имеет в точке z 0
нуль 3-го порядка.
Разложение
	a	n
	f (z)	n	anzn ,			z	R,		(1.82)
	f (z)		anzn ,			z	R,		(1.82)
	n 0 zn		n 1

называется разложением функции f (z) в ряд Лорана в окрестности бесконеч-

но удаленной точки z . Ряд anzn называется главной частью ряда Лора-

n 1

		a	n
на (1.82), а ряд			n	– его правильной частью, т.е. главная часть ряда Лора-
на (1.82), а ряд		zn		– его правильной частью, т.е. главная часть ряда Лора-
n	0	zn

на (1.82) содержит положительные степени z, а правильная – нулевую и отрицательные степени z.

Если главная часть в ряде (1.82) отсутствует, то точка z называется

устранимой особой точкой функции f (z). В этом случае lim f (z) a0 . Точка

z называется нулем порядка k функции f (z), если главная часть ее ряда Лорана (1.82) отсутствует, а для правильной части выполнено условие

a0 a 1

a 2

... a k 1 0,

a k

(1.83)

т. е. в этом случае функция

f (z) представляется рядом

a (k 1)

a (k 2)

f (z)

...

(z),

(1.84)

где (z) a k

a (k 1)

a (k 2)

... и

lim (z) a k

f (z), если ее раз-

Точка z называется полюсом порядка k

функции

ложение в окрестности z имеет вид

a n

f (z)

anz

, ak

(1.85)

n 0

n 1

т.

е. в этом случае главная часть ряда Лорана содержит k

слагаемых и равна

a z a

z2 ... a

zk ,

Если же главная часть ряда Лорана содержит бесконечное множество сла-

гаемых, то z называется существенно особой точкой (с. о. т.) функции

f (z).

1.140. Установить характер особой точки z для функций:

а)

;

б)

sinz;

в) z3e1/ z .

4 z4

а) при | z |

имеем 2/ | z |2 1. Тогда

n 2

( 1)

... .

4 z4

1 (2/ z2)2

n 0

Отсюда согласно (1.84) заключаем, что точка z – нуль 3-го порядка для

функции

;

4 z4

sin z z z3 /3! z5 /5! ...

б) из разложения

следует, что главная часть

ряда Лорана функции sinz

в окрестности точки

z содержит бесконечное

число слагаемых, т.е. z – с. о. т. функции sinz;

3 1/ z

в) так как z

...

3!z3

4!z4

z 2z

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями

#
11.05.20153.35 Mб183Сборник задач по ВМ ч.1.pdf
#
11.05.20151.73 Mб131Сборник задач по ВМ ч.10.pdf
#
11.05.20153.42 Mб115Сборник задач по ВМ ч.2.pdf
#
11.05.20152.99 Mб239Сборник задач по ВМ ч.3.pdf
#
11.05.20151.26 Mб120Сборник задач по ВМ ч.4.pdf
#
11.05.2015672.61 Кб178Сборник задач по ВМ ч.5.pdf
#
11.05.20151.41 Mб105Сборник задач по ВМ ч.6.pdf

д) \| z 1\|	2 /3; е) \| z i \| e; ж) \| z 1\| 1/	2; з) \| z 1\| 2/5; и) \| z \| 1;
к) \| z \| 1; л) R ; м) \| z \| 1/e.

1.120.	Радиус сходимости R ряда cnzn	таков, что R 0. Определить