Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями / Сборник задач по ВМ ч
.5.pdf
В.2. |
max z = z (−1, −1/ 2) = 8; |
min z = z(−2,−1) = −9 . |
|
В.3. |
max z = z (1,−4) = 20 ; |
min z = z(3,0) = −4. |
|
В.4. |
max z = z (1,4) = 9 ; |
min z = z(−2,1) = −9. |
|
В.5. |
max z = z (5,0) = 42 ; |
min z = z(1,2) = −2 . |
|
В.6. |
max z = z (−5,0) = 42 ; |
min z = z(−1,−2) = −2 . |
|
В.7. |
max z = z (0,0) =1; |
min z = z(−2,1) = −10. |
|
В.8. |
max z = z (0,0) = 3 ; |
min z = z(−3,0) = −6. |
|
В.9. |
max z = z (0,−3) = z(−3,0) = 28; |
min z = z(−1,−1) = 0 . |
|
В.10. |
max z = z (0,−5) = 40 ; |
|
min z = z(2,−1) = −4 . |
В.11. |
max z = z (0,0) = −2 ; |
|
min z = z(0,−6) = −98 . |
В.12. |
max z = z (0,0) = 0; |
|
min z = z(−3,0) = −9. |
В.13. |
max z = z (1,4) = 22; |
|
min z = z(3,0) = −2 . |
В.14. |
max z = z (0,0) = −5 ; |
|
min z = z(2,1) = −16 . |
В.15. |
max z = z (0,3) = z(−3,0) = 29 ; |
min z = z(−1,1) =1. |
|
Задача 13
На заданной плоскости найти точку, сумма квадратов расстояний которой до точек А и В наименьшая.
В.1. |
3x −2z = 0; |
A (−2,1,3); |
|
B (3, −1,5) . |
В.2. |
2 y +3z = 0; |
A (−3,5, 2); |
|
B (1,1, −2) . |
В.3. |
3y + 2z = 0; |
A (−3, −5, −2); B (1,1, 2) . |
||
В.4. |
2x −3z = 0; |
A (2,−3,1); |
|
B (6,3,1) . |
В.5. |
3x −2 y = 0; |
A (2,1,3); |
B (8,1, −1) . |
|
В.6. |
2 y +3z = 0; |
A (1, −2,−3); |
B (1, −4,3) . |
|
В.7. |
3x + 2 y = 0; |
A (−2,1,−3); B (−8,1,1) . |
||
В.8. |
3y + 2z = 0; |
A (1,0,−3); |
|
B (1, 4,3) . |
В.9. |
2x −3z = 0; |
A (−1, 20,2); |
B (−7,6, −4) . |
|
В.10. |
3y + 2z = 0; |
A (2, −6,3); |
|
B (4, 2, −3) . |
В.11. |
x +3y = 0; |
A (1, −4, 2); |
B (−6,9,0) . |
|
В.12. |
x +3y = 0; |
A (2, 2,4); B (−8,0,6) . |
||
В.13. |
3y + 2z = 0; |
A (11,0,−5); |
|
B (3, −2, −8). |
В.14. |
3x −2 y = 0; |
A (0, 2,5); |
B (7, 2,1) . |
|
В.15. |
3x + 2 y = 0; |
A (0, 2,−5); |
|
B (−7, 2, −1) . |
Ответы к задаче 13
В.1. M = (1,0,3 2) . |
В.2. M = |
|
1 |
|
(−13, −18, 27) . |
|
13 |
||||||
|
|
|
||||
В.3. |
M = |
|
1 |
|
(−13, −8,12) . |
В.4. |
M = |
|
1 |
(28,0, 42) . |
|||||
|
|
|
13 |
||||||||||||
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
||||||
В.5. |
M = |
|
1 (27,9, 2) . |
В.6. |
M = |
|
1 |
(13, −27,18) . |
|||||||
|
13 |
||||||||||||||
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В.7. |
M = (−2,3, −1) . |
В.8. |
M = |
|
1 |
(13,8, −12) . |
|||||||||
13 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В.9. |
M = |
|
1 |
(−28,169, −42) . |
В.10. |
M = |
|
1 |
(39, −8,12) . |
||||||
13 |
13 |
||||||||||||||
|
|
(−3,1,1) . |
|
|
|
|
|||||||||
В.11. |
M = |
В.12. |
M = (−3,1,10) . |
|
|||||||||||
В.13. |
M = |
|
1 |
(182,70, −105) . |
В.14. |
M = (2,3,3) . |
В.15. M = (−2,3, −3) . |
||||||||
26 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 14 |
|
|
|
|
||
Найти кратчайшее расстояние между параболой y = x2 и заданной пря- |
|||||||||||||||
мой: |
3x + 4 y +3 = 0 . |
В.2. |
4x −3y −7 = 0 . |
|
|||||||||||
В.1. |
|
||||||||||||||
В.3. |
3x −4 y −5 = 0 . |
В.4. |
3x + y +5 = 0 . |
|
|||||||||||
В.5. |
5x −2 y −7 = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
На сфере |
|
|
x2 + y2 + z2 =1 найти точку M 0 , |
сумма |
квадратов расстояний |
||||||||||
от которой до заданных точек M1 и M 2 была бы наименьшей: |
|||||||||||||||
В.6. |
M1 (1, 4,7) и M 2 (2, −2,8) . |
|
|
|
|
|
|||||||||
В.7. |
M1 (4,14, −6) |
и M 2 (9,25, −20) . |
|
|
|
|
|
||||||||
В.8. |
M1 (−6, 4,17) |
и M 2 (−2,−4,15) . |
|
|
|
|
|
||||||||
В.9. |
M1 (−2,13, −2) и M 2 (20,14,−7) . |
|
|
|
|
||||||||||
В.10. |
M1 (2,3,16) |
и M 2 (10,3,5) . |
|
|
|
|
|
||||||||
В.11. Найти параллелограмм данного периметра Р, который вращением вокруг одной из своих сторон образует тело наибольшего объема.
В.12. В полушар радиусом R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
В.13. При каких размерах открытая цилиндрическая ванна с полукруглым сечением, поверхность которой равна S, имеет наибольшую вместимость?
В.14. Из всех треугольников данного периметра Р найти тот, который имеет наибольшую площадь.
В.15. Найти прямоугольный параллелепипед данной поверхности S, имеющей наибольший объем.
Ответы к задаче 14
В.1. ≈ 0,5. В.2. ≈ 0,9 . В.3. ≈ 0,9 . В.4. ≈ 2,1. В.5. ≈ 2,1.
В.6. M 0 |
|
|
1 |
, |
|
4 |
, |
7 |
|
. |
В.7. M 0 |
|
1 |
|
, |
3 |
, − |
2 |
|
||
|
|
|
|
66 |
66 |
|
|
14 |
14 |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|||||||
В.8. M |
|
|
− |
|
1 |
, 0, |
4 |
|
|
|
В.9. M |
|
|
2 |
, |
3 |
2 |
, − |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
. |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
17 |
|
|
17 |
|
|
|
|
7 |
|
2 |
7 |
|
14 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В.10. M |
0 |
|
|
4 |
, |
2 |
, |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69 |
|
69 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
69 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В.11. Прямоугольник со сторонами P 3 и |
P 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
В.12. Наибольший объем у куба с ребром |
R |
. |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
В.13. Наибольшую вместимость имеет ванна с размерами 2 |
S |
; 2 |
S . |
|||||
|
|
|
|
|
|
3π |
|
3π |
В.14. Наибольшую площадь имеет треугольник с длинами сторон P 3, |
||||||||
P 3, P 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В.15. Наибольший объем имеет куб с ребром длиной |
S |
6 |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛИТЕРАТУРА
1.Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. – М.: Наука, 1965.
–780 с.
2.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.:
Наука, 1972. – 416 с.
3.Индивидуальные домашние задания по высшей математике для студентов 1-го курса радиотехнических специальностей. Ч.III. – Мн.: МРТИ, 1990. – 58 с.
4.Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. Функции многих переменных. Интегральное исчисление. – Мн.: Выш.шк., 1993. – 412 с.
5.Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. – СПб., 1994. – 496 с.
Св.план 2003, резерв
Учебное издание
Карпук Андрей Андреевич, Жевняк Ростислав Михайлович, Цегельник Владимир Владимирович и др.
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
для студентов радиотехнических специальностей
В 10-ти частях
Часть 5
Функции многих переменных
(с решениями и комментариями)
Редактор Т.А. Лейко Корректор Е.Н. Батурчик
_____________________________________________________________________________
Подписано в печать 22.10.2004. |
Формат 60х84 1/16. |
|
Бумага офсетная. |
Печать ризографическая. |
Усл.печ.л. 3,84. |
Уч.-изд.л. 4,0. |
Тираж 500 экз. |
Заказ 82. |
_____________________________________________________________________________
Издатель и полиграфическое исполнение: Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Лицензия на осуществление издательской деятельности №02330/0056964 от 01.04.2004.
Лицензия на осуществление полиграфической деятельности №02330/0133108 от 30.04.2004.
220013, Минск, П. Бровки, 6