Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями / Сборник задач по ВМ ч

.5.pdf

Скачиваний:

178

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

672.61 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

В.5.

В.7.

В.9.

В.11.

В.13.

В.15.

∂z

∂f

∂ϕ

∂f .

В.6.

∂x

∂u

∂x

∂z

∂f

dψ

∂f .

В.8.

∂x

∂v

∂x

∂z

∂f

∂ϕ

∂f

∂ψ

В.10.

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂z

∂f

∂ϕ

В.12.

∂x

∂u

∂x

∂z

∂f

∂ϕ

∂f .

В.14.

∂x

∂u

∂x

∂z

∂f

∂ϕ

∂f

∂ψ

∂f

∂η .

∂x

∂v

∂x

∂w

∂u

∂x

∂z

∂f

∂ϕ

∂f .

∂x

∂u

∂x

∂z

∂f

∂ϕ

∂f

∂ψ

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂z

∂f

dϕ

∂x

∂u

∂z

∂f

∂ϕ

∂f .

∂x

∂u

∂x

∂z

∂f

∂ψ

∂f

dη

∂x

∂v

∂x

∂w

Найти В.1.

В.2.

В.3.

В.4.

В.5.

В.6.

В.7.

В.8.

В.9.

В.10.

В.11.

∂z

Задача 7

, если :

∂x

∂y

z =

u =

x sin y, v = ch(x − y) .

−1

z = ctgu2 + 2v ,

u = x y+1,

v =

−3

z =sin(u +

u − v) ,

u = cos

v = ln(x + y2 ) .

z = (11u +

u v) v5 ,

u = y x−2 ,

v = ln

1 .

z = ln(uv + cos2 u) ,

u =

x y,

v = cos

− y

u = x2 y, v = ln

z =tg ln u

u ,

z = arccos

2 −u v ,

u = 7 xy ,

=sin

z =u v2 + sin

u =

v =

y − 2

z = v

cos2 x

+ u − 6v ,

u = sh x y, v = 6x − 2 .

y + 3

z = lnsin

u cosv ,

u = 6x,

x −1

z =uv+1 + v lnu ,

u = x + 3y,

v =sin

В.12. z = arcsin(u − v) + 6u,

В.13. z = arctg(u2 + v) ,

В.14. z = 1 + u2 + u v ,

В.15. z = cos u2 + v ,

u =	1 + x			, v = 2 y+1.
	sin2 y

u = 6x−y ,				v = ln		1		.
						x − 2

u = sh		x	,	v =	xy		.
					x + y
		y

u = x y+2 , v = y5 −10 .

В.1.

В.2.

В.3.

∂z ∂y

Ответы к задаче 7

∂z

sin y

−

sh(x − y) ;

∂x

−1

xsin y

(v −1)2

∂z

xcos y

sh(x − y) .

∂y

−1

xsin y

(v −1)2

∂z

= −

( y +1)x y +

;

∂x

sin2 u2

y −

∂z

= −

x y+1 ln x −

∂y

sin2 u2

( y

−3)2

∂z

−sin

= cos(u +

+cos(u +

∂x

u −v) 1+

u −v

xsin

= cos(u +

+cos(u + u

−

u −v) 1+

u −v

u −v) 2 −u1−v x +1y2 ;

	−1	y	.
v)			.
	u −v x + y2

В.4.

В.5.

В.6.

∂z

5 (ln y) y x−2 −

u v

5 (11u +

;

u v)

∂x

2 u v

∂z

5 (x −2) y x−3.

∂y

2 u v

∂z

v −sin 2u

sin

x−y

;

∂x

uv +cos2 u

(x − y)2

+cos2 u

∂z

v −sin 2u

−sin

x−y

∂y

uv +cos2 u

+cos2 u

(x − y)2

∂z

∂x

2xy 1+

−

;

x v

cos2 ln u

u u +

В.7.

∂z ∂y

В.8.

В.9.

∂z

∂y

y v

cos2 ln u

u u +

∂z

v y 7 xy ln 7

;

∂x

2 u v −1 2 −u v

u cos

vx 7 xy ln 7 −

−uv

2 uv −1 2

∂z

v cos

y sin 2x

2 − y

cos(

)

−

2uv +

;

∂x

cos4 x

∂z =

v cos

cos

−

2uv +

∂y

cos2 x

∂z

y ch xy

−

6 ;

−

∂x

2 u −

2 xy

u −6v

∂z

x ch xy

−

∂y

2 u −

2 xy

u −6v

В.10.

В.11.

В.12.

В.13.

В.14.

∂∂xz = 12 (ctg u cosv )

cosu v (6 −utgv); ∂∂yz =

utgv

∂z

+ln u(uv+1 +1)

cos

(v +1)uv +

;

∂x

∂z

(v +1)uv +

−ln u(uv+1 +1)

x cos

∂y

∂z

;

∂x

+ 6

1 − (u − v)

sin

∂z

+ x)sin 2 y

−(1

−

∂y

1−(u −v)2

sin

1−(u −v)

∂z

(2u 6x−y ln 6 + x −2);

∂x

1+(u2 +v)2

∂z

−2u 6x−y ln 6

∂y

1+(u2 +v)2

(2u +v) ch

∂z

;

∂x

2 1+u2 +uv

(x + y)2

sin v ctg u cos v . 2(1− x)

2 2 y+1 ln 2.

			− x(2u +v) ch	x			2

∂z		1		y		ux
	=				+			.
∂y		2 1+u2 +uv				(x + y)2
			y2

В.15.

∂z

−sin

u2 +v u( y + 2)x y+1

∂x

;

∂z

−sin

u2 +v

(2ux y+2 ln x +5y4 ).

∂y

Задача 8

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к данной поверхности

в указанной точке А.

В.1.

4x3 + y3 − z 2 + 3xyz = 0,

A(1,0,2) .

В.2.

x y + y z −3xyz = 2,

A(1,2,0) .

В.3.

3z 2 = 4e x+y −3xy2 z3 + 2,

A(1,−1,1) .

В.4.

x2 yz3 + 4 y 2 = e z

+15,

A(1,2,0) .

В.5.

4z2 = x2 y3 +cos(x + y2 ) +14,

A(−1,1, 2) .

В.6.

4 yz3 −

= 2z 2 ,

A(2,3,1) .

2 − y

В.7.

3x4 − 4 y3 z + 4z 2 xy − 4xz3 +1 = 0, A(1,1,1) .

В.8.

x2 + y3 + z2 + x − y + z2 = 0,

A(−1,2,0) .

В.9.

x2 + y 2 + z 2 = x + y + z − 4,

A(2,3,6) .

В.10.

x +

y +

z = xyz,

A(1,4,1) .

В.11.

arctgzx +

= xy +

A(3,2, 1) .

В.12.

x3 + 4 y2 =tg( y2 + z),

A(1,0,

π ) .

z 2 = x ln(1 + x + y + z 2 ) + 2z,

В.13.

A(−1,−3,2) .

В.14.

5y3 − xyz2 = e z + x2 ,

A(−2,1,0) .

В.15.

sin 2 (x2 + y 2 + z 2 ) = xy2 + yz

2 +1,

A(0,

π ,0) .

Ответы к задаче 8

В.1.

12(x −1) + 6 y − 4(z − 2) = 0 ;

x −1

z − 2

− 4

В.2.

2(x −1) + (ln 2 − 6)z = 0

;

x −1

y − 2

ln 2 − 6

В.3.

−1(x −1) −10( y +1) +15(z −1) = 0 ;

x −1

y +1

z −1

−10

−1

В.4.

16( y − 2) − z = 0;

x −1

y − 2

−1

x +1

y −1

z − 2

В.5.

2(x +1) − 3( y −1) +16(z − 2) = 0

;

−3

В.6.

4(x − 2) + 4( y −1) = 0;

x − 2

x −3

y −1

В.7.

12(x −1) −8( y −1) −8(z −1) = 0;

x −1

y −1

z −1

−8

В.8.

(x +1) + (x − 2) = 0 ;

x +1

x − 2

2 / 3

y −3

В.9.

−

(x − 2) −

( y −3) −

(z − 6) = 0 ;

x − 2

z − 6

−5 / 7

− 4 / 7

−1/ 7

В.10.

−

(x −1) −

( y −

4) −

(z −1) = 0 ;

x −1

y − 4

z −1

− 7 / 2

− 3 / 4

− 7 / 2

В.11.

−

(x −3) −

(z −1/ 3)

= 0;

x − 3

y − 2

z −1/ 3

−11/ 6

− 33 / 2

В.12.

3(x −1) − 2(z −π / 4) = 0 ;

x −1

z −π / 4

−2

В.13.

(x +1) +( y +3) +6(z −2) = 0 ;

x +1

y +3

z −2

В.14.

4(x + 2) +15( y −1) − z = 0 ;

x + 2

y −1

−1

В.15.

−

x = 0 ;

= y − π / 2

= z .

−π / 2

Задача 9

Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции z = f (x, y) в окрестности точки M 0 (x0 , y0 ) .


В.1.	z = x3 − y3 +2xy 2 +3x2 y +2x 2 − y −3, M 0 (1, 2) .
В.2.	z = x3 −3xy 2 − x 2 y + y 2 − x +1, M 0 (2, 1) .
В.3.	z = y3 +3xy 2 + x 2 y + x 2 + x −2,	M 0 (1, 2) .
В.4.	z = 2x3 + y3 − x 2 y − x 2 − y 2 +2 y +3,		M 0 (−1, 2) .
В.5.	z = x3 + y3 + xy2 − 2 y 2 + 2x + y,	M 0 (2,−1) .
В.6.	z = x3 − y3 + x2 y + 2x2 + 3y 2 + 3,	M 0 (−1,−1) .
В.7.	z = −x3 −3xy2 + x2 y + 2 y 2 + y −3,		M 0 (−1,−2) .
В.8.	z = −y3 +3xy 2 +3x2 y + x2 + x −3,	M 0 (−2, 1) .
В.9.	z = x3 + y3 +2xy 2 −2x 2 y + x 2 − y 2 + x + y −2, M 0 (0, 1) .
В.10.	z = x3 +2xy 2 − x 2 y + x 2 +2x − y +5,		M 0 (1, 0) .

В.11.		z =3x3 − y3 + 3xy2 − x2 y + 3y 2 − x −3,				M 0 (−2,−2) .
В.12.		z = −3y3 −3x 2 y − x 2 +3y 2 −2x + y −5,				M 0 (1, 1) .
В.13.		z = 2x3 + y3 + 2xy2 − x2 + y 2 − y,			M 0 (0,−1) .
В.14.		z = −x3 − 2 y3 + xy2 − 2 y 2 − 2 y + 2,			M 0 (3,−1) .
В.15.		z = 2x3 − y3 + xy2 − x2 y + 2x2 −3y − 2,				M 0 (1,−3) .
				Ответы к задаче 9
В.1.		z(x, y) = 4 + 27(x −1) − 2( y − 2) +
+	1	(22(x −1)2 + 28 (x −1)( y −2) −8( y −2)2 )+
+		(22(x −1)2 + 28 (x −1)( y −2) −8( y −2)2 )+
2!			1	(6(x −1)3 +18(x −1)2 ( y − 2) +12(x −1)( y − 2)2 − 6( y − 2)3 ).
		+	1
		+	3!
			3!
В.2.		z(x, y) = −2 + (4(x − 2) −14( y −1)) +
		+	1	(10(x − 2)2 − 20(x − 2)( y −1) −10( y −1)2 )+
		+	2!	(10(x − 2)2 − 20(x − 2)( y −1) −10( y −1)2 )+
			2!	(6(x − 2)3 − 6(x − 2)2 ( y −1) −18(x − 2)( y −1)2 ).
		+	1
		+	3!
			3!
В.3.		z(x, y) = 22 + (19(x −1) + 25( y − 2)) +
		+	1	(6(x −1)2 + 28(x −1)( y − 2) +18( y − 2)2 )+
		+	2!	(6(x −1)2 + 28(x −1)( y − 2) +18( y − 2)2 )+
			2!	(6( y − 2)3 + 6(x −1)2 ( y − 2) +18(x −1)( y − 2)2 ).
		+	1
		+	3!
			3!
В.4.		z(x, y) = 6 + (12(x +1) +9( y − 2)) +
		+	1	(18(x +1)2 + 4(x +1)( y − 2) +10( y − 2)2 )+
		+	2!	(18(x +1)2 + 4(x +1)( y − 2) +10( y − 2)2 )+
			2!	(12(x +1)3 − 6(x +1)2 ( y − 2) + 6( y − 2)3 ).
		+	1
		+	3!
			3!
В.5.		z(x, y) =10 +15(x − 2) + 4( y +1) +
		+	1	(12(x − 2)2 − 4(x − 2)( y +1) −6( y +1)2 )+
		+	2!	(12(x − 2)2 − 4(x − 2)( y +1) −6( y +1)2 )+
			2!	(6(x − 2)3 + 6(x − 2)( y +1)2 + 6( y +1)3 ).
		+	1
		+	3!
			3!
В.6.		z(x, y) = 7 + (x +1) −8( y +1) +

+21!(− 4(x +1)2 − 4(x +1)( y +1) +12( y +1)2 )+

+31!(6(x +1)3 + 6(x +1)2 ( y +1) −6( y +1)3 ).

В.7.

z(x, y) =14 + (−11(x +1) −18( y + 2)) +

(2(x +1)2 + 20(x +1)( y + 2) +10( y + 2)2 )+

(−6(x +1)3 + 6(x +1)2 ( y + 2) −18(x +1)( y + 2)2 ).

В.8.

z(x, y) = 4 + (−12(x + 2) −3( y −1)) +

(8(x + 2)2 −12(x + 2)( y −1) −18( y −1)2 )+

(18(x + 2)2 ( y −1) +18(x + 2)( y −1)2 −6( y −1)3 ).

−1)2 )

(− 2x2 +8x( y −1) + 4( y

В.9.

z(x, y) = −1 + (3x + 2( y −1)) +

(6x3 −12x2 ( y −1) +12x( y −1)2 + 6( y −1)3 ).

В.10.

z(x, y) = 9 + (7(x −1) − 2 y) +

(8(x −1)2 − 4(x −1) y + 4 y2 )+

(6(x −1)3 −6(x −1)2 y +12(x −1) y2 ).

В.11.

z(x, y) = −21 + (39(x + 2) − 4( y + 2)) +

(−32(x + 2)2 −16(x + 2)( y + 2) + 6( y + 2)2 )+

(18(x + 2)3 −6(x + 2)2 ( y + 2) +18(x + 2)( y + 2)2 −6( y + 2)3 ).

В.12.

z(x, y) = −10 + (−10(x −1) −5( y −1)) +

(−8(x

−1)2 −12(x −1)( y −1) −12( y −1)2 )+

(3(x −1)2 ( y −1) −18( y −1)3 ).

В.13.

z(x, y) =1 + 2x +

(− 2x2 −8x( y +1) − 4( y +1)2 )+

	+	1	(12x3 +12x( y +1)2 + 6( y +1)3 ).
		3!

В.14.	z(x, y) = −36 + (− 26(x −3) −10( y +1))+
	+	1	(−18(x −3)2 − 4(x −3)( y +1) +14( y +1)2 )+
		2!
			(−6(x −3)3 + 6(x −3)( y +1)2 −12( y +1)3 ).
	+	1
		3!

В.15.	z(x, y) = 50 + (25(x −1) −37( y +3))+
	+	1	(22(x −1)2 −16(x −1)( y +3) + 20( y +3)2 )+
		2!
			(12(x −1)3 −6(x −1)2 ( y +3) + 6(x −1)( y +3)2 −6( y +3)3 ).
	+	1
		3!

Задача 10

Исследовать по определению на экстремум функцию z = z(x, y) в точке

M 0 (x0 , y0 ) :


В.1.	z = (x + 3)6 − ( y +1)2 ,		M 0 (−3,−1) .
В.2.	z =1 − (x − 2)4 − ( y −3)4 ,			M 0 (2,3) .
В.3.	z = ( y + 2)4 + (cos x −1)4 ,			M 0 (0,−2) .
В.4.	z =1 + (2 x −1)4 − y4 ,		M 0 (0,0) .
В.5.	z = (x +1)4 + y 4 , M 0 (−1,0) .
В.6.	z = x4 − ln 4 y, M 0 (0,1) .
В.7.	z = arctg 4 x + y 4 −3,	M 0 (0,0) .
В.8.	z = −(cos x −1)4 +( y −2)4 −1, M 0 (0,2) .
В.9.	z =1 − (e x −1)4 − ( y − 2)4 ,			M 0 (0,2) .
В.10.	z = (cos x −1)4 + ( y − 4)4 ,			M 0 (0,4) .
В.11.	z =tg 4 x − ( y − 2)4 ,	M 0 (0,2) .
В.12.	z = (x − 2)4 + ( y −3)4 ,		M 0 (2,3) .
В.13.	z =1 −sin 4 x − ( y −3)4 ,		M 0 (0,3) .
В.14.	z = (e x − e)4 + y 2 ,	M 0 (1,0) .
В.15.	z =sin 4 y − (x −1)4 ,	M 0 (1,0) .

Ответы к задаче 10

В.1. Точка локального максимума.

В.2.	Точка локального максимума.
В.3.	Точка локального минимума.
В.4.	Не является точкой локального экстремума.
В.5.	Точка локального минимума.
В.6.	Не является точкой локального экстремума.
В.7.	Точка локального минимума.
В.8.	Не является точкой локального экстремума.
В.9.	Точка локального максимума.
В.10.	Точка локального минимума.
В.11. Не является точкой локального экстремума.
В.12.	Точка локального минимума.
В.13.	Точка локального максимума.
В.14.	Точка локального минимума.
В.15. Не является точкой локального экстремума.
	Задача 11
Найти экстремумы функций:
В.1.	z(x, y) = 2y3 + x2 + 6xy +18y2 +18x + 54 y + 54 .
В.2.	z(x, y) =3y3 − 2x2 −12xy + 27 y2 −36x +81y −15.
В.3.	z(x, y) = −2 y3 − x2 − 6xy −18y2 −12x −36 y + 9.
В.4.	z(x, y) = −3x3 +81x2 −12xy − 2 y2 −93x +32 y + 4.
В.5.	z(x, y) = −y3 −3x2 −6xy −3y2 +3y + 2 .
В.6.	z(x, y) = −2x3 + 6x2 − 6xy − y 2 +8y −1.
В.7.	z(x, y) = −2 y3 + x2 + 6xy +12 y2 −14x −30 y −3 .
В.8.	z(x, y) = y3 −3x2 − 6xy + 6y2 −6x +18y +17 .
В.9.	z(x, y) = 6 y3 + x2 + 6xy −18y2 −8x +12 y +1.
В.10.	z(x, y) =3y3 − x2 − 6xy − 2x − 6 y +1.
В.11.	z(x, y) = 2x3 −6xy −3y2 +12x +12 y +5 .
В.12.	z(x, y) = y3 + 2x2 +12xy + 6 y 2 +16x −12 y −8 .
В.13.	z(x, y) = −3x3 +9x2 −6xy − y2 −15x + 4 y −11.
В.14.	z(x, y) = −y3 + 2x2 +12xy + 4x +12 y + 2 .
В.15.	z(x, y) = 3y3 + x2 + 6xy + 9 y2 + 2x −3y −5 .
	Ответы к задаче 11
В.1.	(-9, 0) – точка локального минимума.
В.2.	(12, -7) – точка локального максимума.

В.3. (-6, 0) – точка локального максимума. В.4. (21, -55) – точка локального максимума. В.5. (-1, 1) – точка локального максимума. В.6. (4, -8) – точка локального максимума. В.7. (10, -1) – точка локального минимума. В.8. (3, -4) – точка локального максимума. В.9. (-2, 2) – точка локального минимума. В.10. (5, -2) – точка локального максимума. В.11. (-1, 3) – точка локального максимума. В.12. (-34, 10) – точка локального минимума. В.13. (3, -7) – точка локального максимума. В.14. (35, -12) – точка локального минимума. В.15. (-4, 1) – точка локального минимума.

Задача 12

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = z(x, y) в треугольнике с вершинами в точках А, В, С.


В.1.	z = x2 − 2 y 2 + 4xy − 6x −1;		A(0,0);		B(0,2); C(4,0) .
В.2.	z = 7 −4x2 y(2 + x + y) ;	A(−3,0);		B(0,−3); C(0,0) .
В.3.	z = −2x2 + y2 −4xy +6 y +14 ;		A(0,−6);		B(3,0); C(0,0) .
В.4.	z = x2 + y2 +6x −4 y + 2 ;	A(−2,1);		B(1,1); C(1,4) .
В.5.	z = 2x2 − xy + y2 −2x −3y + 2 ;		A(0,5);		B(5,0); C(0,0) .
В.6.	z = 2x2 − xy + y2 + 2x +3y + 2;		A(0,−5);		B(0,0); C(−5,0) .
В.7.	z = x2 + y2 +6x −4 y +1;	A(−3,0);		B(0,3); C(0,0) .
В.8.	z = x2 −2 y2 + 4xy +6x +3;		A(0,0);		B(−4,0); C(0,−2) .
В.9.	z =1− x3 − y3 −3xy ;	A(0,0);		B(0,−3); C(−3,0) .
В.10.	z = x2 + 2 y2 + xy −3x + 2 y ;		A(5,0);		B(0,−5); C(0,0) .
В.11.	z = −2 y2 + x2 + 4xy + 4 y −4x −2 ;			A(0,−6); B(3,0); C(0,0) .
В.12.	z = x2 −2 y2 −4xy +6x ;	A(0,0);		B(0,2); C(−4,0) .
В.13.	z = −2x2 + y2 + 4xy −6 y +16 ;		A(0,6);		B(3,0); C(0,0) .
В.14.	z = x2 + y2 −6x −4 y −5;	A(0,3);		B(3,0); C(0,0) .
В.15.	z = −x3 + y3 +3xy + 2 ;	A(0,0);		B(−3,0); C(0,3) .

Ответы к задаче 12

В.1. max z = z (0,0) = −1;

min z = z(3,0) = −10 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями

#
11.05.20153.35 Mб183Сборник задач по ВМ ч.1.pdf
#
11.05.20151.73 Mб131Сборник задач по ВМ ч.10.pdf
#
11.05.20153.42 Mб115Сборник задач по ВМ ч.2.pdf
#
11.05.20152.99 Mб239Сборник задач по ВМ ч.3.pdf
#
11.05.20151.26 Mб120Сборник задач по ВМ ч.4.pdf
#
11.05.2015672.61 Кб178Сборник задач по ВМ ч.5.pdf
#
11.05.20151.41 Mб105Сборник задач по ВМ ч.6.pdf
#
11.05.20151.29 Mб140Сборник задач по ВМ ч.7.pdf
#
11.05.20151.03 Mб102Сборник задач по ВМ ч.8.pdf
#
11.05.20151.88 Mб107Сборник задач по ВМ ч.9.pdf