Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями / Сборник задач по ВМ ч

.5.pdf

Скачиваний:

178

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

672.61 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

27.

Найти частные производные

∂z

и ∂z

для функций:

∂x

∂y

a) z = ln(x + ln y) .

Отв. ∂z

;

∂z

x + ln y

∂y

y(x + ln y)

∂x

б) z = lntg

∂z

;

∂z

= −

Отв.

∂x

∂y

ysin(2x / y)

y2 sin(2x / y)

−

∂z

−

∂z

−

Отв.

ln 3;

= −

ln3 .

в) z = 3

x .

∂x

∂y

г) z = arctg

x y .

Отв.

∂z

y x y

;

∂z

x y ln x

∂x

)

∂y

2(1 + x

)

2x(1 + x

д) z = lnsin

x + 2

∂z

x +2

∂z

x + 2

y .

Отв. ∂x

y ctg

; ∂y = −

2 y

y ctg

y .

е) z = arccos

Отв.

∂z

;

x − 2 y

∂x

(x −2 y)2 1−(x −2 y)2

∂z

= −

∂y

(x −2 y)2 1−(x −2 y)2

ж) z =

Отв.

∂z

−

;

∂z

= −

1 .

∂y

y x

∂x y

з) z = (5x2 y − y3 + 7)3 .

Отв.

∂z

=30xy(5x2 y − y3 + 7)2 ;

∂z

∂x

= 3(5x2 y − y3 +7)2 (5x2 −3y2 ) .

∂y

и) z = x y .

Отв.

∂z

= yx

y−1

;

∂z

= x

ln x .

∂x

∂y

∂z

−

∂z

−

ln3;

= −

ln3 .

к) z =

Отв.

∂x

∂y

л) z = xy ln(x + y)

Отв.

∂z = y ln(x + y) +

;

∂z

= x ln(x + y)

x + y

∂y

x + y

∂x

м) z = (1 + xy) y

Отв. ∂z

= y2 (1 + xy) y−1;

∂z

∂x

= xy(1 + xy) y−1

+ (1 + xy) y ln(1 + xy) .

∂y

Дифференциал функции z = f (x, y) , найденный при условии, что одна из

независимых переменных изменяется, а вторая остаётся постоянной, называет-

ся частным дифференциалом, т.е.

dx z = fx' (x, y)dx ; d y z = f y' (x, y)dy .

Это справедливо и для функции трёх переменных.

28. Найти частные дифференциалы данных функций по каждой из независимых переменных:

а)	z = xy3 −3x2 y2 + 2 y4 ;				б) u = ln(z + x2 + y2 ) .
∆ Имеем по определению:
a) dx z = ( y3 − 6xy2 )dx;				d y z = (3xy2 − 6x2 y +8y3 )dy ;
	∂u			x
б) dxu =	∂x dx = (z + x2 + y2 ) x2 + y2					dx;
	∂u			y
d yu =	∂y dy = (z + x2 + y2 ) x2 + y2					dy ;
dzu =	∂u dz =	z +	1	dz .	▲
	∂z	z +	x2	+ y2

Главная часть полного приращения ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) функции z = f (x, y) , линейно зависящая от приращений независимых переменных, на-

зывается полным дифференциалом функции и обозначается dz .

Если функция имеет непрерывные частные производные, то полный дифференциал существует и равен:

dz = ∂∂xz dx + ∂∂yz dy = dx z + d y z .

Полный дифференциал часто используется для приближенных вычислений значений функций, так как ∆z ≈ dz , т.е.

f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f (x0 , y0 ) + dz(x0 , y0 ) .

29.Найти полные дифференциалы функций:

а) z =	1 ln(x2	+ y2 ) ; б) u = x	y
			z	.
	2

∆По определению имеем:

а) dz =

∂z dx +

∂z dy =

dx +

= xdx + ydy

;

x2 + y2

∂x

∂y

x2 + y2

∂u dx +

∂u dy +

∂u dz =

−1dx +

1 x

ln xdz . ▲

б) du =

ln xdy −

30.

∂x

∂y

∂z

Вычислить

приближенно

помощью

дифференциала

(4,05)2 + (2,93)2 .

∆ Рассмотрим функцию двух переменных z = x2 + y2 . Положим x = 4,05; y = 2,93; x0 = 4, y0 = 3 . Тогда имеем:

∆x = x − x0 = 4,05 − 4 = 0,05; ∆y = y − y0 = 2,93 − 3 = −0,07 .

Находим

z(x0 , y0 ) =

+ 3

∂z(x0 , y0 )

x=4 =

;

∂x

+ y 2

y=3

∂z(x0 , y0 )

x=4

∂y

x2 + y 2

y=3

Тогда приближенно

z(x, y) = z(x0 , y0 ) + ∂z(x∂0x, y0 ) ∆x + ∂z(x∂0oy, y0 ) ∆y =

=5 + 45 0,05 − 53 0,07 = 4,998 . ▲

31.Найти: а) частные дифференциалы данных функций по каждой из неза-

висимых переменных; б) полные дифференциалы:

a) z = x2 + y2 .	Отв. dx z = xdx	;d y z =	ydy .
	x2 + y2		x2 + y2

б) z = x2 xy+ y2 .

в) u = (xy)z .

г) u = (xy + xy )z .

Отв. dx z =	y( y2 − x2 )dx	;d y z =	x(x2 − y2 )dy
				.
	(x2 + y2 )2		(x2 + y2 )2

Отв. dxu = yz(xy)z−1 dx;d yu = xz(xy)z−1 dy;dzu = (xy)z ln(xy)dz .

Отв. dxu =

( y2 +1)

(xy +

)

z−1

dx;

d yu =

xz( y2 −1)

(xy +

)z−1 dy ; dzu = (xy +

)z ln(xy +

)dz .

Отв. а), б): dz = dx z +d y z =

∂z dx +

∂z dy ;

∂x

∂y

Отв. в), г): dz = dxu +d yu +dzu =

∂u dx +

∂u dy +

∂u dz .

∂x

∂y

∂z

32. С помощью дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно:

а) 5e0,02 + (2,03)2 .	Отв. 3,037 .
б) (2,01)3,03 .	Отв. 8,29 .

в) sin 28o cos61o ; (при вычислении градусы следует перевести в ра-			Отв. 0,227 .
дианы).
г) arctg(	1,97	−1) .	Отв. 0,75.

1,02
д) ln((0,09)3 +(0,99)3 ) .			Отв. − 0,03.
е) 3 (1,02)2 + (0,05)2 .			Отв. 1,013 .
ж) (1,02)3 (0,97)2 .			Отв. 1.

5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

Функция z = f (u,v) , где u =ϕ(x, y),v =ψ(x, y), называется сложной функцией переменных x и y . Для нахождения частных производных сложных

функций используются следующие формулы:

∂∂xz = ∂∂uz ∂∂ux + ∂∂vz ∂∂vx ; ∂∂yz = ∂∂uz ∂∂uy + ∂∂vz ∂∂yv .

В случае, когда u =ϕ(x), v =ψ(x), вторая из формул исчезает, а первая преобразуется к виду

dz = ∂z du + ∂z dv dx ∂u dx ∂v dx .

Если же u = x,v = y =ψ(x) , то имеем:

dxdz = ∂∂xz + ∂∂yz dydx .

Это выражение называется полной производной.

33. Для функции u = ln(ex +e y ) вычислить ∂∂ux , найтиdudx , если y = x3 .

∆По определению имеем:

∂u

;

∂u

ey 3x2

∂x

+ ey

∂x

∂y

ex + ey

3x2ex3

ex + 3x2ex3

▲

ex + ex

+ ex

ex + ex

34. Найтиdu

, если u = x2

+ y2

+ xy; x =sin t; y = et .

∆Согласно цепочному правилу имеем:

dudt = ∂∂ux dxdt + ∂∂uy dydt = (2x + y)cost + (2 y + x)et = (2sin t + et )cost +

+(2et + sin t)et =sin 2t + 2e2t + et (cost + sin t) . ▲

35.Найти∂∂uz , ∂∂vz ,dz , если z = arctg xy , x =u + v, y =u − v .

∆Имеем по определению:

∂z

= ∂z

∂x

∂z

∂y

1 −

1 =

∂u

y2 + x2

∂u

∂x

∂y

(u − v) − (u + v)

= −

2(u2 + v2 );

(u − v)2 + (u + v)2

∂z =

∂z

∂x +

∂z

∂y

1 −

(−1) =

∂v

y2 + x2

2 + x2

∂v

∂x

∂v

∂y

(u − v)+ (u + v)

;

(u − v)2 + (u + v)2

2 + v2

dz =

∂z

du +

∂z dv =

− v

du +

dv = udv − vdu

. ▲

u2 + v2

∂u

∂v

∂z

u2 + v2

36. Для функции z = arctg(xy)

найти

, вычислить

, если y = ex .

∂x

ex (x +1)

∂z

Отв.

∂z

∂x

1+(xy)2

(xex )2

37. Для функции z = arcsin(

)

найти

, вычислить

, если y =

x2 +1 .

∂x

Отв.

∂z

, dz

∂x

2 − x2

1+ x2

38. Найти

или

, если:

3 −12t2

z = arcsin(x − y), x =3t ,

y = 4t3 .

Отв.

1−(3t −4t3 )2

б)

u =

, x = R cost ,

y = Rsin t ,

z = c .

Отв. 0.

x2 + y

в) z =tg(3t + 2x2 − y), x =

1 ,

y = t .

Отв.

3 −

−

sec

3t +

t .

г)

z = x2 − y2 ,

x =sin t ,

y = cost .

Отв.

= 2sin 2t .

z = x2 + y2 ,

x =sin t ,

y = cost .

д)

Отв. 0.

е)

z = ln(xy), x = et , y = e−t .

Отв. 0.

39. Для функции z = arctg(x2 y)найти

∂z

, вычислить

, если y = e2x .

∂x

Отв.

∂z

2xy

(1+ x)e2 x

∂z

∂x

1+ x

4 y2

+ x4e4 x

40. Вычислить

, если:

∂u

∂v

a) z = x2 y − xy2 ,

x =u cosv ,

y =u sin v .

(sin v +cos v)(1−(32)sin 2v).

∂z

Отв.

2 u

sin 2v(cosv −sin v); ∂v

= u

∂u

y =u cosv .

∂z

б) z = arcsin

, x =u sin v ,

Отв.

0 ; ∂

∂

cosv

cos 2v

в) z = x2 ln y , x = u

, y =3u − 2v .

3u2

∂z = −2u2

2u2

Отв.

∂z

= 2

ln(3u − 2v)+

;

ln(3u −

2v)−

v2 (3u −

2v)

(3u −

2v)

∂u

∂v

41. Найти ∂z ,

∂z

, dz , если:

∂x

∂y

dz = e2 x (sin(2 y)dx +cos(2 y)dy) .

a) z =uv , u = ex cos y ,

v = ex sin y .

Отв.

б) z =u2v −uv2 ,

u = x + 2 y ,

v = x − 2 y .

Отв.

∂z

=8xy ;

∂z

= 4(x2

−12 y2 ).

∂x

∂y

в) z =uv , u = 1 ln xy , v

1 ln

Отв. dz =

+ln xy

+ ln

−ln xy

42. Показать, что функция

z = arctg

, где

x =u + v ,

y =u − v , удовлетво-

∂z

u − v

ряет соотношению

∂u

∂v

u2 + v2

6. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ

Если уравнение

F(x, y) = 0 задает некоторую функцию

y(x)

в неявном

виде и Fy′(x, y) ≠ 0 , то

= −

Fx′(x, y)

Fy′(x, y)

Если же уравнение F(x, y, z) = 0 задает функцию двух переменных z(x, y)

в неявном виде и Fz′(x, y, z) ≠ 0 , то справедливы формулы:

∂z

F′(x, y, z)

∂z

Fy′(x, y, z)

= −

∂x

Fz′(x, y, z)

∂y

Fz′(x, y, z)

43. Найти производную dy от функции y, заданной неявно:

xy − ln y = a .

∆ Первое

x, помня, что

решение.

Дифференцируем

данное

равенство

по

y = y(x) есть функция x. Имеем:

y + xy

′

y′

′

′ xy −1

−

= 0

= −y .

y + y x −

Отсюда находим

y′= −

или y′=

xy −1

1 − xy

Второе

решение.

Из

равенства

имеем

xy − ln y − a = 0 . Пусть

F(x, y) = xy − ln y − a . Находим

Fx′(xy) = y , Fy′(xy) = x −

Тогда по определению

Fx′(x, y)

y′x = −

= −

. ▲

Fy′(x, y)

1 − xy

x −

44. Найти производные ∂∂xz , ∂∂yz от функции z, заданной неявно: x cos y +

+y cos z + z cos x =1.

∆Перепишем заданное равенство в виде

xcos y + y cos z + z cos x −1 = 0 .

Положим

F(x, y, z) = xcos y + y cos z + z cos x −1.

Находим

Fx′ = cos y − z sin x , Fy′ = cos z − xsin y , Fz′ = cos x − ysin z .

Тогда имеем

Fy′

∂z

F′

cos y − zsin x

∂z

cos z − xsin y

= −

. ▲

∂x

cos x − ysin z

∂y

Fz′

cos x − ysin z

Fz′

49. Найти производную dy

от функций, заданных неявно:

x + y

Отв.

arctg

−

= 0 .

(x + y)2

б)

yex + e y = 0.

Отв.

−1

в) 1 + xy = ln(exy + e−xy ).

Отв.

= −

г)

y x = x y .

Отв.

ln x

−1

ln y

−1

д) xe y + yex = exy .

е) ln x2 + y2 = a arctg xy ,a ≠ 0.

ж) ex+y = x3 y2 +8 .

Отв.	dy	=	yexy − yex − e y				.
	dx		xey		+ ex	− xeyx

		Отв.			dy =	x + ay			.

					dx	ax − y
Отв.		dy	=	3x2 y2		− ex+y		.
		dx		ex+y − 2x3 y

		−	y
з)	ln x + e	−	x	= c .
з)	ln x + e		x	= c .
и) tg y = xy .
к)	x2 + y2			= carctg y .
				x
л) x3 y − y3 x = a .

м) x2 y2 − x4 − y4 = a4 .

н) yx2 = e y .

Отв.

+ e

Отв.

y cos2 y

− xcos2 y

Отв.

cy + x

x2 + y2

cx − y

x2 + y2

Отв.

3x2 y − y3

3xy2 − x3

x(y2 − 2x2 )

Отв.

dx =

y(2 y2 − x2 )

2 y

Отв.

x(y −1)

50. Для неявно заданной функции равенством x2 + y2 − 4x −10 y + 4 = 0

найти dy при: а) x = 6, y = 2; б) x = 6, y = 8. Дать геометрическое толкование

полученным результатам.

Отв. а)

; б) −

51. Найти dy

при x = y = a

для

неявно

заданной функции

равенством

Отв. −1.

x4 y + xy4 − ax2 y2 = a5 .

52.* Доказать,

что из равенства x2 y 2 + x2

+ y 2 −1 = 0 следует соотноше-

ние

dx +

= 0 .

1− x4

1− y4

53. Найти ∂z ,

∂z , dz от функций, заданных неявно:

∂x

∂y

Отв. ∂z

2 − x

∂z

2 y

x2 − 2 y2 + z2 − 4x + 2z −5 = 0.

;

z +1

∂y

∂x

z +1

б)

x3 + 3xyz = a3 .

Отв. dz = −

(ydx + xdy).

xy + z2

в) x3 + 2 y3 + z3 −3xyz − 2 y + 3 = 0 .

г)* x3 yz − x2 y2 + 2z4 = 0 . Отв.

д) ez − xyz = 0 .

∂z

x2 − yz

∂z

6 y2

−3xz − 2

Отв.

∂x

;

∂y =

3(xy − z2 )

xy − z2

dz =

− x

(y(3xz − 2 y)dx + x(xz − 2 y)dy).

x3 y +8z3

∂z

Отв. ∂x =

;

∂y

x(z −1)

y(z −1)

=1.

Отв. dz

= −

xdx

ydy

е)

xyz

= 2 .

y + z

x + z

ж)

Отв. dz = −

dx +

dy .

x + y + z

x + y

з) x + y + z = ez .

Отв. dz = −

dx +dy

1−ez

и)

z ln(x + z)− xy = 0 .

Отв. dz =

z((y(x + z)− z2 )dx + x(x + z)dy).

z3 + 2xy(x + z)

к)

yz = arcsin xz .

Отв. dz = z(− dx +

1 − (xz)2 dy).

x − y

1 − (xz)2

54. Функция z задана параметрически в виде

x =u + v , y =u − v ,

z =u v .

Выразить z как явную функцию от x и y.

Отв. z =

x2 − y

55. Функция z задана

параметрически в

виде

x =u + v ,

y =u2 + v2 ,

z =u

+ v

. Выразить z как явную функцию от x и y.

Отв.

z = 3xy − x .

7. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Частными производными второго порядка от функции z = f (x, y) называ-

ются выражения, взятые от частных производных первого порядка:

∂2 z

∂

∂z

f ′′

(x, y);

∂2 z

∂

∂z

f ′′ (x, y);

∂x

∂y

∂2 z

∂

∂z

(x, y);

∂2 z

∂

∂z

f ′′

= f ′′ (x, y).

∂y∂x ∂y

∂x

∂x∂y ∂x

∂y

Аналогично определяются частные производные третьего и более высоких

порядков. Запись

∂n z

означает, что функция z продифференцирована k раз

∂xk ∂yn−k

по переменной x и n – k раз по переменной y.

Значения смешанных производных

′′

fxy (x, y) и

f yx (x, y) равны в тех точках,

в которых эти производные непрерывны.

56. Найти

∂2 z

от функции

z = x

+ xy

−5xy

+ y

∂x2

∂x∂y

∂y2

∆По определению имеем

∂2 z

∂

∂z

∂2 z

∂

∂z

∂2 z

∂

∂z

∂x

∂y

Находим

∂x∂y ∂x

∂y

∂z

∂z = 2xy −15xy2 + 5y4 .

=3x2

+ y2

−5y3 ,

Тогда

∂x

∂y

∂2 z

∂z′y

∂2 z

∂z′

2 ,

∂2 z

= 2x −30xy + 20 y3 .

∂x2

= 6x ,

= 2 y −15y

∂x∂y

∂x

∂y

∂x

ЗАМЕТИМ, ЧТО

∂2 z

= 2 y −15y2 =

∂2 z

. ▲

∂y∂x

∂x∂y

Полный дифференциал второго порядка

d 2 z = d(dz) функции z = f (x, y)

выражается формулой

2 z

∂2 z

2 z

z =

∂

dxdy +

∂

∂x2

∂x∂y

∂y2

или символически:

d 2 z = ∂∂x dx + ∂∂y dy 2 z .

Формула дифференциала n-го порядка:

d n z = ∂∂x dx + ∂∂y dy n z ,

где находящийся в правой части двучлен нужно раскрыть по формуле бинома Ньютона и приписать в числителях каждого слагаемого z.

57. Найти дифференциал второго порядка от функции z = xy2 − x2 y .

∆По определению

d 2 z = d(dz)=

Находим

dz = ∂∂xz dx + ∂∂yz dy ,

∂2 z		∂2 z		∂2 z		∂2 z
	2 dx +				dx +		2

∂x		∂x∂y	dy dx +	∂x∂y		∂y		dy dy =

=∂2 z dx2 + 2 ∂2 z dxdy + ∂2 z dy2 .

∂x2 ∂x∂y ∂y2

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями

#
11.05.20153.35 Mб183Сборник задач по ВМ ч.1.pdf
#
11.05.20151.73 Mб131Сборник задач по ВМ ч.10.pdf
#
11.05.20153.42 Mб115Сборник задач по ВМ ч.2.pdf
#
11.05.20152.99 Mб239Сборник задач по ВМ ч.3.pdf
#
11.05.20151.26 Mб120Сборник задач по ВМ ч.4.pdf
#
11.05.2015672.61 Кб178Сборник задач по ВМ ч.5.pdf
#
11.05.20151.41 Mб105Сборник задач по ВМ ч.6.pdf
#
11.05.20151.29 Mб140Сборник задач по ВМ ч.7.pdf
#
11.05.20151.03 Mб102Сборник задач по ВМ ч.8.pdf
#
11.05.20151.88 Mб107Сборник задач по ВМ ч.9.pdf