Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями / Сборник задач по ВМ ч

.5.pdf

Скачиваний:

178

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

672.61 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Аналогично для точки (–1, 2, –2) и λ =									1	получаем
									2	2	0
2		0		−1	1		0	0					5 −2
						0 1		0		0	2
Q =		2										=	.
0				2								−2 8

					0 0			1 −1			2
Так как a11 =5 > 0 ,	Q		=36 > 0 ,				то матрица Q					положительно определена.

Таким образом, целевая функция u имеет в точке (–1, 2, –2) минимум, равный

umin = −5 . ▲

109. Определить условные экстремумы функций:

z = x3 + y3 при x + y = 2, x ≥ 0, y ≥ 0 .

Отв. zmin = 2 в точке (1, 1).

б)

z = 1 +

при

= 1 .

Отв. zmin = −1 в точке (–2, –2);

zmax =1 в точке (2, 2).

в)

u = xyz при x + y + z =5, xy + xz + yz =8 .

Отв. umin = 4 , umax =

112 .

г) u = x + y + z при 1 +

+ 1 =1.

Отв. umin =9 в точке (3, 3, 3).

д)

u = xy2 z3 при x + 2 y +3z = 6, x > 0, y > 0, z > 0.

Отв. umax =1

в точке (1, 1, 1).

е)

z = exy

при x + y =1.

в точке ( 1

, 1 ).

Отв. zmax = e

ж) u = x2 y2 z4 при 2x +3y + 4z = 0 .

Отв. umin = 0 в точке (0, 0, 0).

з)

z = x +2 y при x2 + y2 = 5.

Отв. zmin = −5 в точке (–1, –2);

zmax = 5 в точке (1, 2).

и)

z = x2 + y2 при

=1.

Отв.

zmin = 36 в точке ( 18

, 12 ).

13 13

к)

z = x − y −4 при x2 + y2

=1.

Отв.

zmin = −1−2

2 в точке ( −

, 1 );

zmax =1−2 2 в точке (

, −

Отв. zmin = −1−2

2 в точке ( − 1 ,

); zmax =1−2

2 в точке (

, −

14. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА «ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ»

Задача 1

Найти область определения функции f (x, y) , задать ее аналитически (с помощью неравенств или уравнений) и изобразить графически:

В.1.	f (x, y) = ln( y + 2x +1) +				x − 2 y .
		1 − y2
В.2.	f (x, y) =	ln(x −	2 y) + x −3y .
В.2.	f (x, y) =	sin(e− x	2 y) + x −3y .
				−1)
				−1)
В.3.	f (x, y) = arcsin(x2 + y2 ) + 4x2 + 4 y2 −1 .
		ex / y −1
В.4.	f (x, y) =	y2 + x		+1 + ln	y2 + x2 −1 .
		cose−		x
		cose−
В.5.	f (x, y) =	x −3y2			+ cos	y2	+ 4	.
В.5.	f (x, y) =	arcsin(x2 + 4 y2 )			+ cos		x	.
		arcsin(x2 + 4 y2 )					x

В.6.

В.7.

В.8.

В.9.

В.10.

В.11.

В.12.

В.13.

f (x, y) = x2 + 4 y2 −1 arccos(x2 + y2 ) + e x .

f (x, y) =

− y − 2

+ ln(x − y) .

y2 − x +

f (x, y) =

ln(x2 − y)

+ sin

− x − y2

−1 4

f (x, y) = xy −1

+ e x+1 .

x − y2

f (x, y) = cos

x2 + 2x + y2 − 2 y +

e x−y .

12x

f (x, y) = x2 + 4x + y2 + 1

sin

xy2 .

2 y − y

− x

f (x, y) = 4 − y2 + e5x+6 y2 +1 .

3 1 − x2

f (x, y) = cos(x +

y ) +

ln(x2 + y2 )

2x − y

В.14.

f (x, y) =

e2x −1 + arcsin(y2 − x) .

x2 + y2 +1

В.15.

f (x, y) =

1 ln(4x − x2 − y2 ) +

y2 − x .

Ответы к задаче 1

В.1.

D :

x > −0,4 ;

− 2x −1 < y ≤

1 x, y ≠ ±1.

> 0,

≤

В.2.

D :

< 0,

1 x.

В.3.

D :

−1 ≤ x ≤1,

x ≠ 0 .

−

1 − x2 ≤ y ≤ −

− x2 , y ≠ 0,

− x2 ≤ y ≤ 1 − x2 , y ≠ 0.

В.4.

D :

x R ,

y ≤ −

− x −1,

y ≥

− x −1,

y < −

1 − x

y >

1 − x

В.5.

D :

0 < x ≤1,

− x2

≤ y ≤

1 − x2 ,

−

≤ y ≤

−

В.6.

D :

0 ≤ x ≤1,

1 − x2 ≤ y ≤ 1 − x2 ,

− x2

≤ y ≤ −1

1 − x2 .

−

D :

В.7.

x ≤ −1,

y < x;

−1 < x < 2, y ≤ x2 − 2;

y < x,

x ≥ 2,

y >

x − 2,

x − 2.

y < −

В.8.

D :

≤ −1,

y > − − x,

− x,

y ≠ ± 1

−1

< x < 0,

y < x2 ,

− x,

y > −

y ≠ ±

В.9.

D :

≤ x < 0,

y ≤

−1

x > 0,

≥

y ≠

В.10.

D :

x R,

x ≠ 0,

y ≤ x.

В.11.

D :

0 ≤ x <1,

− 1 − x2 +1 < y < 1 − x2 +1.

В.12.

D :

x R, x ≠ ±1,

y [−2; 2].

В.13.

D :

0 < y < 2x,

1 − x2 .

y ≠

В.14.	D :
		x ≥ 0,
		x −1 ≤ y ≤		x +1,

	− x +1 ≤ y ≤ − x −1.
В.15.	D :	0 < x <3,
		x ≤ y < 4 − (x − 2)2 ,
			2
		4 − (x − 2)	2	< y ≤ − x.
	−	4 − (x − 2)		< y ≤ − x.

Задача 2

Исследовать методом сечений и построить поверхности:

В.1.	а)	z =			4		;
			1 + x2 + y2
В.2.	а)	z = e		x2 +y2 ;
В.3.	а)	z =			1		;
			4 − x2 − y2
В.4.	а)	z = ln(x2 + y2 ) ;
В.5.	а)	z =			1				;
			ln(4 + x2 + y2 )
В.6.	а)	z =sin			x2 + y2 ,
		x2 + y2 ≤π 2;
В.7.	а)	z =		1		;
			x	2 + y2

В.8.	а)	z = ln(4x2 + y2 );
В.9.	а)	z = −			2			;
				4 + x2 + y2
В.10.	а)	z = 2		1+ x2 +y2
							;

б)

x −3 =	(z − 2)2							−		( y +			1)	2
x −3 =				4				−				2		.
				4								2
(x +1)2			−	( y + 3)					2		=1.
2			−			9					=1.
2						9
(x −1)2		+		( y + 2)					2 =			(z +1)2 .
4													9
(x −3)2				(z −1)2								y	2
			−							=				.
4			−			2				=		9		.
4						2						9
( y + 2)2			+ z2 = (x −3)2 +1.
9			+ z2 = (x −3)2 +1.
9
(x − 2)2		+			y2		−	(z + 2)2						= −1.
4		+		4			−			9				= −1.
4				4						9

(x −1)2 + (z + 2)2 = ( y −1)2 .

x2			( y −3)2		z2	=1.
		−		+
10		−	25	+	4
10			25		4
(x − 4)2				( y + 2)2			z2	=1.
			−			−
	9		−	25		−	4
	9			25			4
x2			( y − 4)2
		+		= z −3 .
25		+	16	= z −3 .
25			16


В.11.	а)	z = arcsin		x2 + y2 ;		б) (z −3)2 −		(x + 2)2	= 4 .

							4
В.12.	а)	z = arccos		x2 + y2 ;		б) ( y − 3)2	+ 4(z −1)2 =1 − y 2 .
В.13.	а)	z = arctg		x2 + y2 ;		б) x2 = 4( y −1)2 + 9(z −1)2 .
В.14.	а)	z =	ln(x2 + y2 )		;	б) ( y − 3)2	= (x + 2)2 + 4z 2 .

В.15.	а)	z = 2 x2 + y2 − x2 − y2 ;					б) (x −1)2 = 4(z −1) .
							4

Ответы к задаче 2 (п.б)

В.1. Гиперболический параболоид. В.2. Гиперболический цилиндр. В.3. Конус.

В.4. Конус.

В.5. Однополостный гиперболоид. В.6. Двуполостный гиперболоид. В.7. Конус.

В.8. Однополостный гиперболоид. В.9. Двуполостный гиперболоид. В.10. Эллиптический параболоид. В.11. Гиперболический цилиндр. В.12. Эллипсоид.

В.13. Конус. В.14. Конус.

В.15. Параболический цилиндр.

Задача 3

Вычислить частные производные первого порядка от следующих функций:

В.1.

В.3.

В.5.

В.7.

В.9.

z =	x	ln y .
	y2

z = xsin(x + y) .

z =sin2 (3x + y) . z = arcsin xy ++21 .

z =tg x2 . y

В.2. z =	x
	x2 + y2 .

В.4. z = cos x2 . y

В.6. z = ln(ex + e3y ) .

В.8. z = arctg 43yx ++12 .

В.10. z = x y .

В.11.

В.13.

В.1.

В.2.

В.3.

В.4.

В.5.

В.6.

В.7.

В.8.

В.9.

В.10.

В.11.

В.12.

В.13.

В.14.

z = ln(x +

x2 + y2 ) .

В.12.

z = yln x .

z =

1 cos y2

В.14.

z = exe y . В.15.

z = ln(e3x + e2 y ) .

Ответы к задаче 3

ln y

z′x

z′y =

1 .

z′x =

z′y =

− xy

(x2

+ y2 )3

(x2 + y2 )3

z′x =sin(x + y) + xcos(x + y),

z′y = xcos(x + y) .

z′x

− 2xsin x

z′y

= −

cos x2

z′x =3sin 2(3x + y),

z′y =sin 2(3x + y) .

z′x

z′y =

3e3y

ex + e3y

− (x + 2)

z′x =

z′y =

x +

( y +1) 1 −

( y +1)2

1 −

x +

y +

y +1

z′x

−3(4 y + 2)

z′y

4(3x +1)

(3x +1)2 + (4 y + 2)2

(3x +1)2 + (4 y +

2)2

z′x =

z′y =

− x2

y cos2

y2 cos2

z′x = yx y−1, z′y = x y ln x .

z′x =

x2 + y2 + x

z′y =

x x2 + y2 + x2

+ y2

2 + y2 + x2

x x

+ y2

z′x

ln x

, z′y =

ln x / e

ln x .

− 2 ysin y2

z′x

= −

cos y

z′y =

z′x = exe y +y ,

z′y = xexe y +y .

В.15.

z′x =

3e3x

z′y =

2e2 y

e3x + e2 y

Задача 4

Найти полный дифференциал функции z = f (x, y) :

В.1.

z = xarctg

В.2.

z =3

+ yx3

В.3.

z = yex / y .

В.4.

z = xln cos(x

y) .

В.5.

В.7.

В.9.

В.11.

В.13.

В.15.

z = xarctgy .

1 + x2

z= y2 cos x .

z =	xy3	+ x	.
	y2

z= y arcsin x .

y z =sin+ yex / y .

z = cos yex / y .

В.6.		x
В.6.	z = 2x arctg	x	.

		y

В.8.	z = y arccos(x y) .
В.10.	z =3y / x cos2 y .

В.12.	z = ln cos	x	.


	y
В.14.	z = y 2x / y .

В.1.

В.2.

В.3.

В.4.

В.5.

Ответы к задаче 4

dz =

arctg

−

dy .

+ y

dz =

dy .

1 + y dx −

dz = ex / ydx + ex / y 1

−

dy .

dz =[ln cos(x

y) − x

ytg(x

y)]dx −

tg(x y)dy .

2 y

dz =

(1 − x2 )arctgy

dx +

dy .

(1 + x2 )2

(1 + x2 )(1 + y2 )

В.6.

В.7.

В.8.

В.9.

В.10.

В.11.

В.12.

В.13.

В.14.

В.15.

dz =

(ln 2)arctg

−

x2x−1

dy .

y + x

y ( y + x

)

dz = −ysin

dx +

2 y cos

+ xsin

dy .

−

dz =

dx +

y) −

1 − x

arccos(x

2 1 − x

dy .

dz =

y3 +1

dx +

x( y

3 − 2)

dy .

2 y2 xy +

2 y3 xy +

dz = − ln3 3y / x y cos2 y dx −3y / x sin 2 ydy .

dz =

arcsin x

−

dy .

1 −

y 1 −

dz = −

dx +

dy .

dz = (cos x + ex / y )dx + ex / y 1

−

dy .

dz =

ln 2

x / y

dx +

2x / y ( y − xln 4)

dy .

dz =

cos yex / y 1 dx −

1 tgy +

cos yex / y

dy .

Задача 5

Вычислить приближенно:						1
В.1.	3 0,953 + 0,174 0,792 .	В.2.			3	1	3		.
			0,98		3	+ 0,12	3		2
	ln(0,973 − 0,212 0,923 ).		0,98			+ 0,12		0,81
В.3.	ln(0,973 − 0,212 0,923 ).	В.4.	arctg(0,792 + 0,113 0,923 ) .
В.5.	sin(0,052 + 0,17 0,873) .	В.6.				1			.
В.5.	sin(0,052 + 0,17 0,873) .	В.6.		0,973 0,122			0,872		.
				0,973 0,122			0,872
В.7.	sin 0,153 − 0,21 0,782 .	В.8.	arctg(0,883 − 0,122 0,943) .

В.9.	0,952 − 0,173 0,792 .				В.10. arccos(0,123 − 0,11 0,923) .
В.11.	sin2 (0,123 − 0,7 0,892 ) .				В.12. sin2 (0,153 − 0,21 0,78) .
В.13.	0,982 − 0,123 0,87 .				В.14. ln(0,845 + 0,113 0,93) .
В.15.	cos2 (0,092 − 0,12 0,872 ) .
			Ответы к задаче 5
В.1.	0,95	В.2.	1,03		В.3.		–0,09	В.4.	0,55
В.5.	0,17	В.6.	93,42		В.7.		–0,13	В.8.	0,60
В.9.	0,95	В.10. 1,66			В.11. 0,24			В.12. 0,00
В.13.	0,98	В.14. –0,80			В.15. 1,00.
			Задача 6
Написать формулу для вычисления ∂z						, если :
				∂x
В.1.	z = f (u, v, w) ,		u =ϕ(x,	y),		v =ψ(x),		w =η(x, y) .
В.2.	z = f (u, v, w, x) ,		u =ϕ(x,	y),		v =ψ(x, y),		w =η( y) .
В.3.	z = f (u, v, w) ,		u =ϕ(x),	v =ψ( y), w =η(x, y) .
В.4.	z = f (u, v, x, y) ,		u =ϕ(x,	y),		v =ψ(x, y) .
В.5.	z = f (u, t, x, y) ,		u =ϕ(x,	y,t) .
В.6.	z = f (u, v, t, x) ,		u =ϕ(x, t),		v =ψ( y,t) .
В.7.	z = f (u, v, t, x) ,		u =ϕ( y,t),		v =ψ(x) .
В.8.	z = f (u, v, t, y) ,		u =ϕ( y, x),			v =ψ(x, y) .
В.9.	z = f (u, v, t, y) ,		u =ϕ( y, t, x),			v =ψ(x,t) .
В.10.	z = f (u, v, t, y) ,		u =ϕ(x),	v =ψ(t, y) .
В.11.	z = f (u, t, y) ,		u =ϕ(x,	y,t) .
В.12.	z = f (u, t, x) ,		u =ϕ(x, t) .
В.13.	z = f (u, v, x, y) ,		u =ϕ(x, y),		v =ψ( y) .
В.14.	z = f (u, v, w, y) ,		u =ϕ( y, t),		v =ψ(x,t),			w =η(x) .
В.15.	z = f (u, v, w, t) ,		u =ϕ(x, t),		v =ψ(x,t) .

Ответы к задаче 6

В.1.

В.2.

В.3.

∂z

∂f

∂ϕ

∂f

dψ

∂f

∂η

∂x

∂u

∂x

∂w

∂v dx

∂x

∂z

∂f

∂ϕ

∂f

∂ψ

∂f .

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂z

∂f

dϕ

∂f

∂η

В.4.

∂z

∂f

∂ϕ

∂f

∂ψ

∂f .

∂x

∂u dx

∂w

∂x

∂u

∂v

∂x

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями

#
11.05.20153.35 Mб183Сборник задач по ВМ ч.1.pdf
#
11.05.20151.73 Mб131Сборник задач по ВМ ч.10.pdf
#
11.05.20153.42 Mб115Сборник задач по ВМ ч.2.pdf
#
11.05.20152.99 Mб239Сборник задач по ВМ ч.3.pdf
#
11.05.20151.26 Mб120Сборник задач по ВМ ч.4.pdf
#
11.05.2015672.61 Кб178Сборник задач по ВМ ч.5.pdf
#
11.05.20151.41 Mб105Сборник задач по ВМ ч.6.pdf
#
11.05.20151.29 Mб140Сборник задач по ВМ ч.7.pdf
#
11.05.20151.03 Mб102Сборник задач по ВМ ч.8.pdf
#
11.05.20151.88 Mб107Сборник задач по ВМ ч.9.pdf