Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями / Сборник задач по ВМ ч

79. Исследовать на экстремум функцию

u = 2x2 + y2 + 2z − xy − xz из

примера 77.

∆

Стационарной точкой функции u является точка M 0 = (2,1,7) . В этой точке

составим матрицу Гессе. Имеем :

∂2u

=

4 ,

∂2u

= 2 ,

∂2u

= 0 ,

∂x2

∂y2

∂z2

M0

M0

M0

∂2u

= −1,

∂2u

= −1,

∂2u

= 0 .

∂x∂y

∂x∂z

∂y∂z

M0

M0

M0

Тогда

∂2u

∂2u

∂2u

∂x2

∂x∂y

∂x∂z

4 −1 −1

H (M

)=

∂2u ∂2u ∂2u

= −

1 2

0

.

∂y∂x

∂y2

∂y∂z

0

∂2u

∂2u

∂2u

0

−1 0

∂z∂x

∂z∂y

∂z

2

Проверяем

матрицу

H

на

знакоопределенность

по

критерию

Сильвестра:

∂2u

4 −1

= 4 > 0 ,

= 7 > 0 ,

H

= −2 < 0.

∂x2

−1 2

Согласно критерию Сильвестра матрица H знаконеопределена, т.е. в точке

(2, 1, 7) функция u не имеет экстремума. ▲

80. Найти стационарные точки функций:

a)

z = x3 y2 (12 − x − y).

Отв. (0, 0); (0, 8); (12, 0); (0, 12); (9, 0); (6, 4).

б) z = xy(3 − x − y).

Отв. (0, 0); (0, 3); (3, 0); (1, 1).

в)

z = e2x (x + y2 ).

Отв. ( − 1 , 0).

2

г)

z = 1 − x2 +

1 − y2 .

Отв. (0, 0).

д)

z = (4x − x2 )(2 y − y 2 ).

Отв. (0, 0); (4, 0); (2, 1); (0, 2); (4, 2).

е) u = x2 + y2 + z2 + 2x + 4 y − 6z .

Отв. (– 1, – 2, 3).

ж) u =3ln x + 2ln y + 5ln z + ln(22 − x − y − z).

Отв. (6, 4, 10).

81. Исследовать на экстремум следующие функции:

a)

z = x4 + 4xy − 2 y2 .

Отв. Нет экстремума.

б) z = x4 + y4 − 2x2 − 4xy − 2 y2 .

Отв. zmin

в точках

( 2, 2)(, − 2,− 2 ).

в) z = x2 + xy + y2 − 2x − y .

Отв. zmin = −16 в точке (1,0).

г) z = x2 + xy + y2 + 1 +

1

;

x > 0, y > 0 .

Отв.

zmin =33 3 в точке

x

y

д)

z = e−x2 −y2 (2x2 + y2 ). Отв. zmin = 0 в точке (0,0); zmax = 2 в точках (±1,0).

z = (x2 − 2 y2 )ex−y .

e

е)

Отв.

zmax =8e−2 в точке (− 4,−2).

ж) z =1 − (x2 + y2 )38 .

Отв. zmax =1 в точке (0,0).

з)

u = x2 + y2 + z2 + 2x + 4 y − 6z .

Отв.

zmin = −14 в точке (−1,−2,3).

и)

u =3ln x + 2ln y + 5ln z + ln(22 − x − y − z).

Отв. Нет экстремума.

Для функции, заданной неявно уравнением

F(x, y, z)= 0 , стационарные

точки функции определяются системой

Fx′(x, y, z)= 0 ; Fy′(x, y, z)= 0 ; F(x, y, z)= 0 .

82.

Функция z задана неявно

равенством

5x2 +5y2 +5z2 −2xy −

2xz −

−2yz −72 = 0 . Найти ее стационарные точки.

Отв. (1, 1); (– 1, – 1).

83.

Убедиться, что при x = 5, y = 6

функция z = x3 + y2 −6xy −39x +18y +

+20

имеет минимум.

большее и наименьшее значения (глобальный экстремум), т.е.

f (M1 )= max f (M ),

f (M 2 )= min f (M ).

M D

M D

ри области D или среди точек, принадлежащих границе Г.

Экстремум функции z = f (x, y), найденный при условии ϕ(x, y)= 0 , назы-

вается условным.

ϕ(x, y)= 0

найти y = y(x) и подставить в функцию

Если из уравнения

z = f (x, y),

то задача отыскания условного экстремума сводится к нахождению

экстремума

функции

одной

переменной

z = f (x, y(x)).

Найдем

стационарные

точки функции,

лежащие

внутри треугольника

(x > 0, y > 0)

:

′

= 4xy −3x

2

y −2xy

2

4

−3x −2 y = 0,

zx

= xy(4 −3x −2 y)= 0,

z′

= 2x2 − x3

−3xy2 = x2 (2 − x −2 y)= 0

2

− x −2 y = 0.

y

Решив систему, находим единственную стационарную точку P

1

D .

1,

2

0

6].

Имеем z(0)= z(6)= 0 . Найдем стационарные точки:

′

2

z (x)= −48x +12x

= 0 x0 = 4 (0,6) (x = 0 – граничная точка отрезка [0, 6]).

В точке x0 = 4

значение z(4)=16(−4)(6 −4)= −128 . Таким образом, гло-

85.

Найти наименьшее

и наибольшее значения функции z = x2 +2xy −

−4x +8y в прямоугольнике,

ограниченном прямыми x = 0 , y = 0,

x =1, y = 2 .

86.

Отв. zmax =17 в точке (1, 2); zmin = −3 в точке (1, 0).

Найти

наименьшее

и

наибольшее

значения

функции

z = e−x 2 −y 2 (2x2 +3y2 )в круге x2 + y2 ≤ 4 .

Отв. z

max

= 3

e

в точках (0, ±1);

z

min

= 0 в точке (0, 0).

87.

Найти

наименьшее

и

наибольшее

значения

функции

z = sin x +sin y +sin(x + y) в прямоугольнике 0 ≤ x ≤ π

, 0 ≤ y ≤

π .

2

2

Отв. zmax =

3

3 в точке ( π ,

π );

zmin = 0 в точке (0, 0).

2

3

3

Отв. zmax =1 в точке (1, 1);

zmin = 0 в точках границы.

89. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z =1+ x + 2 y в тре-

угольнике x ≥ 0 , y ≥ 0 ,

x + y ≤1.

Отв. zmax = 3 в точке (0, 1); zmin =1 в точке (0, 0).

90.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 y

в круге

x2 + y2 ≤1.

Отв. zmax =

3

2

в точках ( ±

2

, 1

); zmin = −

2

3

в точках ( ±

2 ,−

1

).

3

3

3

3

3

3

91.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = ex (x + y2 )

в

круге x2 + y2 ≤1.

Отв. zmax = e в точке (1, 0);

zmin = −

1

в точке (-1, 0).

e

92.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = x3 + y3 −3xy

в

прямоугольнике 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 2 .

Отв. zmax =13 в точке (2, -1); zmin = −1 в точках (1, 1) и (0, -1).

93.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x + y

в круге

x2 + y2 ≤1.

Отв. zmax

= 2 в точке (

2 ,

2 ); zmin = −

2 в точке ( −

2 ,−

2 ).

94.

2

2

2

2

Найти

наименьшее

и

наибольшее

значения

функции

z = x2 −2 y2 +4xy −6x −1 в треугольнике,

ограниченном прямыми

x = 0 , y = 0 ,

x + y =3.

Отв. zmax = −1 в точке (0, 0);

zmin

= −19 в точке (0, 3).

имела наименьший радиус.

Отв. ((3,

39 , 0),(3, – 39 , 0)).

99. Из всех треугольников данного периметра 2l найти тот, который имеет

наибольшую площадь.

Отв. Равносторонний.

материала.

Отв. Длина 20, ширина 20, высота 10.

101. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих диагональ l, най-

ти тот, объем которого наибольший.

Отв. Куб, сторона a = l .

3

102. В полушар радиусом R вписать прямоугольный параллелепипед наи-

большего объема.

Отв. Его измерения a = 2R

3 , 2R 3 ,

R

3 .

103. Найти кратчайшее

3

3

3

расстояние

между параболой

y = x2 и

прямой

x − y −2 = 0 .

Отв.

9 .

104. Найти точки эллипса

x

2

y

2

4

2

+

=1

, наиболее и наименее удаленные от

начала координат.

a 2

b2

Отв. (±a, 0), (±0, b).

105. На плоскости 3x −2z = 0 найти точку, сумма квадратов расстояний от

которой до точки A = (1, 1, 1) и B = (2, 3, 4) минимальная.

Отв. ( 21 , 2 , 63 ).

13. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

13

26

′

′

′

(x, y)= 0,

Lx

(x, y; λ)= f x

(x, y)+ λ Fx

L′y

(x, y; λ)= f y′(x, y)+ λ Fy′(x, y)= 0,

Lλ′ (x, y; λ)= F(x, y)= 0.

Lxx′′

Lxy′′

Fy′

Q = (Fy′,−Fx′) L′′

L′′

− F′

yx

yy

x

Lx′ = y +2λ x = 0,

L′y = x +2λ y = 0,

Lλ′ = x

2

+ y

2

−18 = 0.

Первые два уравнения представим в виде

x = −2λ y,

y = −2λ x.

Разделив почленно первое уравнение на второе, получим

x

=

y

y2 = x2 y = ±x .

y

x

Подставив полученное y в третье уравнение, будем иметь

2x2 =18 x2 = 9 x = ±3, y = ±3, λ = ±

1 .

2

Таким образом, точками возможного локального условного экстремума

функции u = xy при условии x2 + y2 =18 являются точки

M1 = (3, 3; − 1 ), M2 = (3, –3;

1 ), M3 = (–3, 3; 1 ), M4

= (–3, –3; −

1 ),

2

2

2

2

L

′′

(M )

L

′′

(M )

′

Fy (M )

Q(M )= (F′(M ),−F′(M ))

xx

(M )

xy

y

x

L′yx′

L′yy′

(M ) − F′(M )

x

x и y.

Вычислим значение Q в точке M1′ = (3,3). Имеем:

(F′,−F′)

M1′

= (2 y,−2x)

x=3 = (6,−6);

y

x

y =3

Lxx′′

Lxy′′

2λ 1

−1 1

′′

′′

=

=

.

Lyx

Lyy

′

1 2λ

M ′

1

−1

M1

1

Следовательно,

−1 1

6

−12

= −144 < 0 .

Q(M ′)= (6,−6)

= (6,−6)

1

1

−6

12

−1

1. Составляем функцию Лагранжа:

L(x, y, z;λ ,λ )= x2 + y2 + z2 +λ

(x +2 y +3z −10)

+λ

(x − y +2z −1).

1

2

1

2

2. Находим стационарные точки функции Лагранжа, т.е. решаем систе-

му уравнений:

L′ = 2x +λ +λ

2

=

0,

x

1

L′y = 2 y + 2λ1 −λ2 = 0,

′

= 0,

Lz = 2z +3λ1 + 2λ2

Lλ′1 = x + 2 y +3z −10 = 0,

Lλ′ = x − y + 2z −1

= 0.

2

Решив эту систему, найдем, что

x = 19 , y =

146 , z =

93 , λ = −110 , λ

2

= 72 .

59

59

59

1

59

59

Убедимся теперь в том,

что точка

M =

19

,

146

,

93

59

59

, расположенная на

59