Конечно-разностная схема
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
g(x,u) |
f |
x,u |
; u(0) ; |
u(b) . |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
x |
|
|
|
|
|
|||
g |
i 1/ 2 |
|
|
|
|
g |
i 1/ 2 |
g |
i 1/ 2 |
|
|
|
g |
i 1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
, |
i 2...n. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
u |
u |
|
u |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
h |
2 |
|
i 1 |
|
|
h |
|
i |
|
|
h |
2 |
|
i 1 |
|
i |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
aiui 1 biui ciui 1 |
|
, |
i 2...n. |
||
fi |
|||||
u1 , |
u |
n 1 , |
|
||
02.07.19 |
21 |
система конечно-разностных уравнений
•Стандартная система с трехдиагональной матрицей:
b |
c |
0 |
0 ... |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
b2 |
c2 |
0 ... |
0 |
0 |
a2 |
|||||
0 |
a3 |
b3 |
c3 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... ... ... ... |
|||||
0 |
0 |
0 |
0 ... |
a |
b |
0 |
|
|
|
n |
n |
0 |
0 |
0 ... |
0 |
a |
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
0
0
0
...
cn bn1
u1 u
2u3
...
unun1
d1d2d3
...
dndn1
n1 n 1; b1 1; c1 0; d1 ; an1 0; bn1 1; dn1 ;
ai gi 1/ 2 ; |
ci gi 1/ 2 |
; b |
a |
c ; |
d |
|
h2 |
|
; |
i 2...n. |
i |
f |
|||||||||
02.07.19 |
|
i |
i |
i |
|
|
i |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Погрешность аппроксимации
•При замене дифференциального уравнения системой алгебраических уравнений вносится так называемая погрешность аппроксимации
конечно-разностной схемой дифференциального уравнения
•подставим в конечно-разностную схему Lhuh fh , вместо значения uh точного решения uh .
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ввиду того, что uh uh , после такой подстановки получается невязка |
||||||||||||||
|
||||||||||||||
• |
Погрешность аппроксимации |
|
|
h |
Lhuh fh |
0 |
||||||||
• |
Основное требование: при |
h 0 |
h 0 |
|
||||||||||
• |
Ассимптотическая оценка |
|
|
|
h |
|
|
|
C h p |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Порядок погрешности аппроксимации = p
02.07.19 |
23 |
Оценка погрешности решения Понятие устойчивости
• |
Погрешность решения : |
h uh uh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h 0 при |
h 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
• |
Для сходимости к точному решению |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
• |
кроме |
|
h |
0 |
необходима |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f% |
|
|
|||||||||||
• |
|
u% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
устойчивость к ошибкам округления |
|
|
u |
h |
|
C |
|
f |
h |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
0 |
|
|
h |
|
|
|
|||||
• |
|
|
|
|
|
Основная теорема: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
• |
Lhuh |
fh |
|
|
|
если схема устойчива, то порядок |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f% |
погрешности |
|
|
решения совпадает с |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
L u |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
h |
h |
порядком погрешности аппроксимации |
||||||||||||||||||||||||||||
|
h h |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Lh (uh uh ) Lh h h |
|
|
h |
|
|
|
C0 |
|
h |
|
C0C h |
p |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
02.07.19 |
24 |
Проекционные методы решения краевых задач
Lu f ; |
uГ ( ) |
- Краевая задача |
|
Г |
|
1(x), 2 (x),..., N (x) |
- базис из функций |
|
N |
|
|
uN (x) ak k (x). |
- Представление решения |
|
k 1 |
|
|
N |
|
|
ak L k , i f , i ; |
i 1..N |
- Проекционное уравнение |
k 1
02.07.19 |
25 |
Решение одномерной краевой задачи методом Галеркина
•Найти решение
|
|
u |
|
|
0 u |
0 |
|
|
|
0 |
|
1 u |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
g |
|
f ; |
q |
|
|
u |
|
|
|
; |
q |
|
u |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
x |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
x 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
•Ищем решение в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uN (x) 0 (x) ak k (x) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
• |
Проекционное уравнение |
1 |
|
|
|
|
u |
N |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
dx |
|
f |
dx; |
i 1... N. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
i |
|
|
|
i |
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
• |
преобразуем |
g |
uN |
i |
|
1 |
|
1 |
g |
uN |
i dx |
|
1 |
f idx |
|
||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||
02.07.19 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
26 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение одномерной краевой задачи (продолжение1)
• Подставляем uN
|
uN |
|
|
1 |
|
1 |
|
0 ak k i |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
g |
|
i |
|
|
|
|
g |
|
|
dx |
|
f idx |
x |
|
|
x |
x |
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
•Преобразуем и получаем
•систему основных проекционных уравнений
n |
1 |
k |
|
|
|
||
ak g |
|
||
x |
|||
k 1 |
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
ix
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
f |
i |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
i |
|
uN |
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
||||||
g |
|
|
dx g |
|
i |
; i 1..N |
||
x |
|
x |
||||||
|
x |
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
•В зависимости от постановки граничных условий выбираем
соответствующую систему базисных функций
02.07.19 |
27 |
Базис из финитных функций
Финитной называется функция k (x) , определенная для всех
• x ( ) , но отличная от нуля лишь на некоторой конечной области k , называемой конечным носителем
0, |
x k , |
|
k ( x) |
x |
. |
( x), |
||
|
k |
|
1 |
|
0 
02.07.19 |
28 |
Базис из финитных функций- крышек
u(x)
uk k 
|
1 |
k |
|
N |
|
|
|
|
x |
xk |
xk+1 |
b |
0 |
k-1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
N |
N |
1 |
x x |
|
|
||
|
( x) uk k ( x), |
k |
||||||
u |
|
k 1 |
|
|
|
|
||
|
|
h |
|
|||||
02.07.19 |
|
k 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
Финитная функция на треугольных конечных элементах
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kij (xy) |
|
|
|
|
|
|
1 |
x x |
|
y y j |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
j |
x |
y |
y |
j |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ij |
|
|
i |
|
|
i |
|
1 |
ij (x x |
k |
) ij ( y y |
k |
). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
k |
x |
|
x |
|
|
yk y j |
k |
k |
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
k |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
j |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
||||||
02.07.19 |
30 |