Курс Основы информационных технологий
Раздел
Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики
(установочная лекция)
Професcор Синицын
Анатолий Константинович
02.07.19 Кафедра ВМиП (а. 412 – 5к) |
1 |
Литература
1.Калиткин Н.Н. Численные методы. – М: Наука, 1978.
2.Болсун А.И., Гронский В.К., Бейда А.А. Методы математической физики. – Мн.: Выш. Шк., 1988.
3.Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. – М.: Наука, 1981.
4.Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. – М.: Радио и связь, 1988.
5.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: - Наука, 1980.
6.Синицын А.К. Современные информационные технологии. Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики. Конспект лекций для аспирантов и магистрантов Мн.: БГУИР, 2004.
7.Синицын А.К. ,Навроцкий А.А. Алгоритмы вычислительной математики. Учебно-методическое пособие. Мн.: БГУИР, 2007
02.07.19 |
2 |
Как оценивается погрешность вычислений?
•Погрешность обычно оценивают одним числом , характеризующим близость между точным и приближенным значениями некоторой величины. Близость мы привыкли оценивать расстоянием между объектами.
a a%
А как оценить близость между
двумя функциями f(x) и g(x) (векторами ,
матрицами A, B)?
02.07.19 |
3 |
Нормированное пространство
- это множество элементов, на котором
• |
введены обычные операции + - и умножение * на число |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
• |
при этом каждому элементу поставлено в соответствие число |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
║X║ (норма X), удовлетворяющее следующим аксиомам: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
- норма (положительное число). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
0 |
|
|
|
только при X = ( - нулевой элемент). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, - число |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. |
|
|
|
|
|
|
X1 X 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X1 |
|
|
|
|
|
|
|
X 2 |
|
|
|
- неравенство треугольника. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
•В качестве элементов рассматриваются функции, векторы или матрицы.
•Расстояние между элементами:
02.07.19 |
( X1, |
X2 ) |
|
|
|
X1 X2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Пространство непрерывных функций С[ab]
Множество непрерывных функций {f(x), g(x), h(x), …}, определенных на интервале [a, b].
Норма и расстояние в C[a, b] определяются по формулам:
f |
|
|
|
c |
max |
|
f (x) |
|
; C |
( f , g) max |
|
f (x) g(x) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x [a, b] |
|
|
x [a, b] |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
02.07.19 |
5 |
Пространство Лебега L2[a, b] интегрируемых с квадратом функций
|
Множество функций, для которых |
b |
|
f 2 (x)dx |
|||
|
|
||
|
|
a |
|
|
|
В L2[a, b] имеются и разрывные функции, т.е. C[a, b] L2[a, b].
Норма и расстояние:
|
|
|
|
|
|
b |
b |
f |
|
|
|
L2 |
|
f 2 (x)dx ; L2 ( f , g) |
( f (x) g(x))2 dx . |
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
a |
a |
02.07.19 |
6 |
Откуда возникают погрешности расчетов?
•Есть четыре источника погрешности результата, о которых следует помнить при выполнении расчетов
•1. Неточность математической модели
•2. Погрешность исходных данных
•3. Погрешность метода
•4. Ошибки округлений
02.07.19 |
7 |
Метод и его погрешность
•При построении вычислительного алгоритма обычно точное решение некоторой задачи
• A(Y)=b |
Y=F(x) |
•представляется в виде бесконечного предела последовательности арифметических и логических действий:
• |
Yh=Mh(x) |
•Mh – метод, h – параметр метода
•(обычно при h 0 получается точное решение)
•При ограничении лишь конечным числом вычислений вносится
контролируемая параметром h метода погрешность
• |
(h)=Y-Yh |
• |
Получение зависимости погрешности решения (h) от параметров |
|
вычислительного метода является одной из основных задач |
|
вычислительной математики |
02.07.19 |
8 |
Порядок погрешности метода (продолжение)
•Обычно при уменьшении параметра h метода погрешность решения h стремится к нулю, т.е.
• при |
h 0 |
|
h 0
•В этом случае, если удается получить оценку вида
h Ch p
•где С - const и не зависит от h, считается, что
порядок погрешности равен p и обозначается
коротко
h o(h p )
02.07.19 |
9 |
Из математической физики
•Одной из важных технических задач является исследование физических полей
•(поле температуры, поле скорости,…).
•Математической моделью полей являются функции нескольких переменных, обычно
( x, y, z,t) u( x, y, z,t)
Для их исследования служат операторы дифференцирования
|
divu, |
v rotu, |
|
|
|
r |
, |
2 |
|
02.07.19 |
v |
|
10 |
|
|
|
|
||