Тема 9. Метод конечных элементов
Связь метода сеток и метода конечных элементов
Пример решения одномерной задачи
Решение двухмерной задачи на треугольной сетке
07/02/19 |
1 |
Связь метода сеток (МС) и метода конечных элементов (МКЭ)
МКЭ в настоящее время является одним из наиболее востребованных и универсальных методов решения задач математической физики
МКЭ представляет собой синтез метода сеток и проекционного метода Галеркина с выбором базиса из финитных функций, носители которых (конечные элементы) покрывают каждый узел сетки
МКЭ – это тот же классический метод сеток, в котором конечно- разностная схема получается в результате применения проекционной процедуры к базису из финитных функций, привязанных к каждому узлу сетки.
Такой способ получения конечно-разностной схемы позволил избавиться от основного недостатка классического метода сеток
– привязки узлов сетки к координатным линиям, что позволило в случае многомерных задач гибко адаптировать сетку к произвольной форме границ и особенностям искомого решения
07/02/19 |
2 |
Пример решения одномерной задачи
Задача Дирихле
|
|
|
u |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
g( x) |
x |
q( x) |
x |
p( x)u |
f |
|
x |
|
; |
u(0) |
; |
u(b) . |
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Выбираем равномерную сетку |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
h |
|
x |
k |
(k 1)h; |
h b / n; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k 1... N n 1 |
|
|
|||||||||
Решение ищем в виде
N |
|
|
|
|
|
uN ( x) uk k ( x) |
u |
, |
u |
N |
|
k 1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
07/02/19 |
3 |
Базис из финитных функций- крышек
u(x)
uk k 
|
1 |
k |
|
N |
|
|
|
|
x |
xk |
xk+1 |
b |
0 |
k-1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
N |
N |
1 |
x x |
|
|
||
|
( x) uk k ( x), |
k |
||||||
u |
|
k 1 |
|
|
|
|
||
|
|
h |
|
|||||
07/02/19 |
k 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4 |
||
Стандартная финитная функция- крышка
|
0, |
|
x |
|
1, |
1 |
|
0, |
|
x |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11 |
|
|
|
|
1, |
1 x 0, |
|||||||
1 x 0, |
|||||||||||||
(x) x 1, |
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
0 x 1. |
||||
|
0 x 1. |
|
1, |
||||||||||
|
1 x, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
07/02/19 |
5 |
Функции базиса
|
0, |
|
x xk |
|
h, |
|
|
||||
|
( x xk 1 ) / h, |
xk 1 x xk , |
|||
k |
|||||
|
|
|
xk x xk 1. |
||
( xk 1 x) / h, |
|
||||
k |
|
0, |
|
x xk |
|
1, |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
1/ h, |
x |
|
x x |
k |
, |
|
|||||
x |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
x x |
|
|
|
. |
|||
|
1/ h, |
|
k |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
||
07/02/19 |
6 |
проекционные уравнения
b |
|
g( x) |
||
|
|
|||
|
||||
|
|
|
||
x |
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
.i 1..N
u |
N |
|
u |
N |
p( x)uN |
|
( x)dx |
b |
f |
|
x |
|
|
( x)dx; |
|
q( x) |
|
|
|
||||||||||
x |
|
x |
|
i |
|
|
|
i |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
N
uN ( x) uk k ( x)
k 1
Вычислим каждый интеграл по отдельности для i=2..N-1 |
|
07/02/19 |
7 |
|
Смежные базисные функции |
|
|
|
|
|||||||
|
i-1 |
|
i |
i+1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
xi-1 |
|
|
xi |
|
xi+1 |
|
|
|
|
|
|
uN ( x) u ( x) ... u |
|
i 1 |
( x) u |
( x) u |
i 1 |
( x) ... u |
N |
|
N |
( x) |
||
1 1 |
i |
1 |
|
i i |
i 1 |
|
|
|
||||
07/02/19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
1) Правая часть
b |
|
xi 1 |
f dx fˆ |
; h |
f ( xi 1/ 2 ) f ( xi 1/ 2 ) |
; hf (x ) |
||
|
f dx |
|
||||||
2 |
||||||||
i |
i |
i |
|
i |
||||
|
|
|
|
|||||
0 |
|
xi 1 |
|
|
|
|
|
|
07/02/19 |
9 |
2) Первый член дифференциального оператора
b
0 x
b x 0
g( x) uN |
|
|
x |
|
|
|
|
|
N |
|
k |
g( x) |
u |
|
k 1 |
( x)dxi
|
|
|
|
N b |
|
|
|
|
k |
|
i |
|
k |
|
k |
i dx |
|
|
|
|
||||||
|
|
( x)dx |
|
u |
g( x) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
07/02/19 |
10 |