Операторы дифференцирования
r |
ux |
|
uy |
|
uz |
|
|
|
divu |
x |
|
|
|
z |
|
|
|
y |
|
|
r |
|||||
|
|
r |
r |
|
||||
grad |
x x0 |
y y0 |
|
z z0 |
||||
2 div ( ) |
2 |
|
2 |
|
2 |
|||
x2 |
y2 |
z2 |
||||||
Интегральные теоремы служат для установления основных физических соотношений между полями и их источниками
r r |
r |
Òu ndS div u dV |
|
S |
V |
Основная теорема Остроградского – Гаусса для векторного поля
02.07.19 |
11 |
Уравнения математической физики
•В прикладных исследованиях обычно возникает необходимость найти неизвестное распределение поля в некоторой области пространства.
•При этом моделью поля выступает дифференциальное уравнение, в общем случае, в частных производных. Например,
такое |
u |
|
2u |
|
2u |
|
2u |
|
|
|
|
|
f |
||||
|
t |
x2 |
y2 |
z2 |
||||
|
|
|
|
|
•Здесь неизвестна функция поля u(x,y,z,t)
•Проблема в том, что любое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. Приходится задавать
дополнительные условия, при которых гарантируется единственность решения полученной задачи.
02.07.19 |
12 |
Обыкновенные ДУ
•Система ОДУ первого порядка
du1 |
f (x,u ,u |
2 |
,...,u |
m |
); |
||||||||
• |
dx |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
.......................................... |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f |
m |
(x,u ,u |
2 |
,...,u |
m |
). |
||||
|
|
|
|||||||||||
dx |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
•Система ОДУ второго порядка
или коротко
du |
r |
r |
dx |
f |
(x,u). |
|
|
(g |
|
u1 ) q |
u1 |
p u |
f (x,u |
|
,...,u |
|
, u2 |
,..., |
um |
); |
|
|||||||||
|
|
2 |
m |
|
||||||||||||||||||||
1 |
x |
1 |
x |
1 |
1 |
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
..................................................................................... |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
um |
|
|
um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
um 1 |
|
||
|
|
(g |
|
|
) q |
p u |
|
f (x,u ,...,u |
m 1 |
, u1 ,..., |
). |
|||||||||||||
|
m x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
m x |
|
m |
m |
|
|
1 |
|
|
x |
x |
|||||||||||
|
r |
u1(x),...,um (x) |
a x b |
|
02.07.19 |
u |
13 |
Задача Коши
du |
r |
r |
|
dx |
f |
(x,u). |
u |
u (a) u0 |
; |
... u |
m |
(a) u0 |
|
1 |
1 |
|
|
m |
|
r |
|
r0 |
|
|
|
u |
(a) u |
|
|
u0 |
|
x
a |
b |
|
При различных u0 получаются различные решения
02.07.19 |
14 |
Краевая задача
Условия заданы на обоих концах отрезка [a,b].
Эта задача обычно ставится для ДУ второго порядка
|
|
|
(g u ) q |
u |
pu f ( x,u) |
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В общем случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a du(a) |
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dx |
|
|
|
u(aпри) x; |
a |
|
|
|
|
|
|||||
|
b du(b) |
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dx |
|
|
u(bпри) x; |
b |
|
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
02.07.19 |
15 |
ДУ в частных производных (ДУЧП)
u |
|
2u |
|
2u |
|
2u |
f |
- параболические |
|||
t |
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2u |
|
2u |
|
2u |
|
2u |
f |
- гиперболические |
||
t2 |
x2 |
y2 |
z2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
2u |
|
2u |
|
2u |
f |
|
|
|||
x2 |
y2 |
z2 |
|
- эллиптические |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
02.07.19 |
16 |
y
Граничные условия
•Общее решение ДУЧП содержит произвольные дифференцируемые функции, например
• Решением 2u |
|
2u |
является произвольная функция |
||
t |
2 |
|
x |
2 |
u f (t x) |
|
|
|
|
||
•Начальные условия
u |
|
t 0 |
U 0 |
(x, y, z) |
u |
|
U 0 |
(x, y, z) |
|
|
|||||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• Граничные условия |
|
t 0 |
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||
первого рода |
второго рода |
|
|
третьего рода |
||||
Дирихле |
Неймана |
|
|
|
Ньютона |
|||
Г
x
uГ ( |
) |
u |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|||||
r |
|
( Г ) |
|
|
|||
Г |
|
|
r uГ |
( ) |
|||
|
|
n |
|
Г |
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Г |
|
02.07.19 |
17 |
Суть метода сеток
•Суть метода сеток в том, что решение ДУ получают в виде достаточно подробной таблицы значений искомого решения в узлах сетки, покрывающей область определения решения.
•Получаемая таблица должна обладать свойством аппроксимации, т.е. возможностью восстановления всех значений искомого точного решения с заданной погрешностью.
•Будем иллюстрировать реализацию метода сеток на решении простейшей одномерной краевой задачи Дирихле
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
g(x,u) |
f |
x,u |
; u(0) ; |
u(b) . |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
x |
|
|
|
|
|
|||
• В общем случае |
Lu f ; |
uГ ( ), |
|
||
|
|
Г |
•Г - граница многомерной области , внутри которой необходимо получить
решение. В рассматриваемом частном случае представляет собой отрезок
[0,b]
02.07.19 |
18 |
Результат решения по методу сеток
u |
Искомое |
|
|
u |
|
Решение в виде |
|
|
решение |
|
|
|
ui |
таблицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
b |
x |
0 |
xi |
b |
x |
02.07.19 |
|
|
|
|
|
|
19 |
Получение конечноразностной схемы
• |
Решение u(x) ищется в виде таблицы значений в узлах |
|||||||||||
|
выбранной сетки |
|
|
h |
|
|
i |
i |
|
|||
|
u |
|
|
|
u |
u(x ) |
||||||
• |
дифференциальное уравнение Lu f , |
заменяется системой |
||||||||||
|
алгебраических уравнений, связывающих между собой значения |
|||||||||||
|
искомой функции в соседних узлах. |
|
|
|||||||||
• |
Такая система алгебраических уравнений называется конечно- |
|||||||||||
|
разностной схемой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• |
Обозначим ее так |
|
|
|
|
|
uh |
u1 |
, u2 ,..., un 1 |
|||
|
Lh |
|
h |
|
|
|
||||||
• |
u |
fh , |
|
|||||||||
Имеется много способов получения конечно-разностной схемы |
||||||||||||
02.07.19 |
20 |