6. Глубоко-неупругое рассеяние лептонов на адронах

1. Одним из важнейших способов исследования структуры микрообъектов – молекул, атомов, атомных ядер и адронов – является квазиупругое выбивание их составных элементов (“конституэнов”) электронами достаточно высокой энергии. Для реализации механизма квазиупругого выбивания конституэнтов, энергия электронов и передаваемые ими исследуемой мишени импульсы Q²должны быть столь велики, что мишень может быть представлена как классический “мешок с конституэнтами“, представляющий собой статистическую смесь конституэнтов с различными импульсами. В этом случае сечение столкновения высокоэнергичного электрона с мишенью можно представлять себе как сумму сечений его независимых столкновений с составными частями мишени. Соответственно, в основе квазиупругого выбивания лежит диаграмма Фейнмана:

Если бы можно было измерять импульсы конечных электронов и конституэнтов, то удалось бы измерить импульс конституэнта в мишени. При этом по отношению к импульсам начального электрона и импульсам вылетающих частиц импульс будет проявляться как “откуда – то берущийся или недостающий импульс”. Поэтому, измеряя импульсные рапределения вылетающих конституэнтов, мы могли бы измерить распределения по недостающим импульсам и просто импульсные распределения конституэнтов в мишени.

Такова концептуальная основа метода квазиупругого выбивания. Разумеется, энергии электронов и соответственно передаваемые импульсы мишени должны быть различными при исследовании методом квазиупругого выбивания молекул, атомов , атомных ядер и адронов. При изучении атомов и молекул можно ограничиться энергиями электронов в десятки киловольт; при исследовании ядер необходимы уже электроны с энергией в сотни МэВ. В этом случае электроны будут уже существенно релятивистскими. Наконец, при исследовании адронов, чтобы осуществить передаваемые импульсы Q²4 ГэВ², необходимы электроны с энергией минимум в пять-десять ГэВ. В мире адронов ситуацию квазиупруго выбивания кварков, т.е. ситуацию большой передачи импульса, можно реализовать также с помощью реакции (_,).

Квазиупругие реакции в мире адронов носят специальное название глубоко - неупругого рассеяния лептонов. Своебразие реакций глубоко – неупругого рассеяния состоит в сложности регистрации выбиваемых кварков( кварки в свободном состоянии

не существуют в нашем вакууме!). Поэтому такие реакции в физике адронов осуществляются в инклюзивной постановке эксперимента. Это значит, что измеряются только импульсы вылетающих электронов; “остатки” адронов могут быть любыми. Это обстоятельство усложняет извлечение информации об импульсном распределении кварков в адроне. Рассмотрим теперь более подробно формальные аспекты глубоко – неупругого рассеяния.

“Квазиупругость” реакции означает, что электрон взаимодействует только с одним кварком, обладающим определенным четыре-импульсом p^и выбивает его из адрона. При этом кинематика, т.е. набор импульсов и соотношеня между ними, процесса является “почти” кинематикой упругого столкновения свободного электрона со свободным кварком. Или, иными словами, при столкновении электрона с кварком влиянием всех других кваркоа и глюонов пренебрегают.

Необходимым условием протекания такого процесса с передачей кварку импульса q^=(ll)^является соотношение между импульсами q и р:

Q²2pq = 0, (4.43)

где Q²=q².

Действительно, если конечный и начальный кварки являются физическими, то

(p+q)²=m_q²=p²+2pq+q²=m_q²+2pq+q², (4.44)

или

Q²2pq = 0.

Необходимое условие (4.43) протекания квазиупругого процесса в значительной степени фиксирует импульс р участвующего в этом процессе кварка. В результате появляется возможность измерения импульсного распределения кварков в адроне: варьируя передаваемый импульс q^при фиксированном его квадрате, мы можем “прозондировать” все импульсы p^кварков.

2. Ситуация, однако, оказывается более сложной. Во – первых, соотношение (4.43) имеет только место для физических кварков, удовлетворяющих условию

p²=m_q², (4.45)

где p^– четыре-импульс кварка, m_q– его масса. В действительности кварки “спрятаны” в адронах и поэтому не могут удовлетворять формуле (4.45). Поэтому соотношение (4.43) является приближенным. Чтобы нефизичность кварков не играла существенной роли, необходимо работать в области больших Q²и 2pq (теоретический предел квазиупругости Q², 2pq, Q²/2pq=const). Практически считается, что квазиупругость (бьоркеновский скейлинг) начинается с Q²>4(Гэв/с)². Большие значения Q²необходимы также для того, чтобы электрон взаимодействовал только с одним кварком, т.е. для того, чтобы в процессе взаимодействия электрона с кварком кварк не успел провзаимодействовать с еще одним кварком.

3. Во – вторых, импульс ркварка и, следовательно, импульсное распределение кварков можно измерить только в эксклюзивных экспериментах, в которых наряду с импульсом вылетающего электрона измеряется импульс вылетающего кварка. Поскольку, однако, свободные кварки не вылетают, то имеются серьезные сложности в определении импульса вылетающего кварка. Поэтому обычная схема постановки эксперимента – инклюзивная, т.е. измеряется только импульс конечного электрона или, что то же, передаваемый импульс q^. В этой ситуации только одно соотношение (4.51) не позволяет определить импульс кварка. Тем не менее, даже в инклюзивных экспериментах был найден способ извлечь информацию об импульсе выбиваемого кварка. Оказывается для этого нужно перейти в систему отсчета, в которой импульс р_Тпротона - мишени стремится к бесконечностир_Т. В этой системе отсчета продольный импульс кварка является очень большим и его поперечными компонентами, возникающими за счет квантовых эффектов можно пренебречь. В результате соотношение (4.43) является соотношением для определения продольного импульса кварка и, следовательно, варьируя кинематические условия, можно определить распределение кварков по продольному импульсу.

4. Проследим теперь, как приведенные соображения реализуются в глубоко-неупругом рассеянии лептонов на нуклонах на формульном уровне. Прежде всего, приведем формулу для инвариантных сечений процессов (е, е) и (_,) на кварках. Эти неполучаемые здесь сечения даются непосредственно квантовой электродинамикой и теорией слабых взаимодействий и имеют вид:

(eqeq) =(pl){1+(1y)²}(1x) (4.46)

dxdy

(_qq) = (G_F²/)(pl){1+(1y)²y(1y/2)}(1x) (4.48)

Знак + в (4.48) выбирается тогда, когда_(_) рассеивается на q(q); знаксоответствует рассеянию_(_) наq(q). В качестве инвариантных переменных х и у выбраны следующие:

x = Q²/2pq, y = (pq)/(pl), (4.49)

Z_q– заряд кварка.

Подчеркнем, что формулы (4.47) и (4.48) справедливы в любой системе отсчета.

Найдем теперь дифференциальное сечение квазиупругого выбивания кварков из нуклона в системе отсчета, в которой импульс протона является бесконечно большим, т.е. в системе, в которой р_Т. Пусть

x_T= Q²/2p_Tq, y_T= (p_Tq)/(p_Tl), (4.50)

p^= zp_T^

и f(z) – распределение кварков по z в нуклоне. Естественно, что область изменения zоганичено условиями

0z1 (4.50a)

Подчеркнем, что соотношение (4.50) справедливо только в системе с р_Т, поскольку только в этом случае можно пренебречь поперечными компонентами импульса р^. Тогда сечение d(p_Tl)/dx_Tdy_Tквазиупругого выбивания кварков должно записываться следующим образом:

₌ (4.51)

Из (4.50) следует, что

x_T==(4.52)

y_T==

Поэтому

==

= {1+(1y)²}(1x) (4.53)

= {1+(1y_T)²}(1x_T/z)

Подставив (4.53 ) в (4.51 ), находим, что

=(p_Tl){1+(1y_T)²}f(z)(1x_T/z)dz (4.54)

= {1+(1y_T)²}x_Tf(x_T)

Обычно формулу (4.54) записывают через структурные функции_,2(x_T), определяемые соотношениями:

F₂(x_T) = x_Tf(x_T)Z_q², (4.55)

F₁(x_T) = 1/2 Z_q² f(x_T).

С учетом некогерентности, т.е. независимости вкладов отдельных кварков, вкладов:

F₂^eN(x_T) = x_T_qf_q(x_T)Z_q²= 2x_TF₁(x_T) (4.56)

и

={F₁^eN(x_T)x_Ty_T²/2 + (1y_T)F₂^eN(x_T)}. (4.57)

Аналогичным образом для сечения d(_p_T)/dx­_Tdy_Tполучается следующее выражение:

={F₁^N(x_T)x_Ty_T²

(4.58)

+ (1y_T)F₂^N(x_T)  x_Ty_T(1y_T/2) F₃^N(x_T)}

Введем импульсные распределения u(x), d(x), s(x)... кварков u, d, s... а также соответствующие u,d,s...для антикварков. Обычно вкладом странных кварков пренебрегают. Вэтом случае из смысла функцииf(z) и определения (4.56) следует, что

F₂^eN(x) = 4/9( u(x) +u(x)) + 1/9( d(x)+d(x))

F₁^(x) = {d(x) +u(x)},

F₂^N(x)=2x {d(x) +

F₃^(x) = 2x{d(x) u(x)}. (4.59)

Отметим, что как и в случае электронных структурных функций,

F₂^(x) = 2x F₁^(x).

5. Рассмотрим теперь физические результаты, полученные в рамках обсужденной параметризации глубоко неупругого рассеяния. На Рис. приведены измеренные распределения кварков в нуклонах. На этом рисунке приведены две кривые. Верхняя кривая относится к валентным кваркам, т.е. к кваркам, определяющим квантовые числа нуклона. Мы видим, что эти кварки характеризуются максимумом в области x= 1/3, что отвечает образному представлению о том, что нуклон состоит из трех кварков. Нижняя кривая относится к “морским “ кваркам. Прежде всего о концепции морских кварков. Разумеется, кварки могут испускать глюоны, глюоны могут превращаться в кварк – антикварковые пары. Поэтому кварк - антикварковый “фон” неизбежно должен присутствовать в нуклонах. Возникает только один вопрос, как идентифицировать эти фоновые или морские кварки. Представляется очевидным, что в “накачанных” взаимодействием кварк –антикварковых парах продольные импульсы кварков и антикварков

совпадают. Поэтому вполне естественным считать, что и идентефицировать распределениеq_s(x) морских кварков с распределением антикварков. Интересной особенностью распределения морских кварков является рост плотности числа морских кварков растет в области малыхx. Аналитические формулы для кварковых распределений имеют вид:

6. На Рис. приведены кривые зависимости от xдля структурных функцийF_1,2.

Анализ структурных функций позволяет сделать ряд важных о свойствах кварковых степеней свободы. Прежде всего экспериментальные данные свидетельствуют, что между электронными функциями F_1,2имеет место соотношение

F₂(x) =2xF₁(x). (4.60)

Как можно заключить из характера вывода формулы (4.55), соотношение между

F₁и F₂должно следовать из (4.46). Оказывается, что соотношение (4.49) имеет место только в том случае, если спин принимающего импульс конституэнта равняется 1/2.

Отсюда следует, что непосредственно на опыте мы видим, что спин кварка равняется 1/2.

Далее, из формулы (4.59) следует, что

=

=5/9, (4.61)

где - суммарный импульс кварков.

Современное значение этого интеграла равняется 0.3. Отсюда следует, что

= 0.54, (4.62)

т.е. на долю кварков в действительности приходится только около половины полного импульса нуклона. Вторая половина полного импульса приходится на глюоны.

Сравнение структурных функций F^eN и F^ позволяет прямо на опыте подтвердить дробность заряда кварка. Действительно, имеем из формул (4.59):

F₂^ep(x) + F₂^ep(x) = 5/9x[u(x) + ],

= 2x (4.63)

Соответственно, их отношение раняется:

= 5/18 (4.64)

Соотношение (4.64) является следствием дробности заряда кварков, и его экспериментальное подтверждение можно считать ппрямым подтверждением дробности кваркового заряда.

Наконец, укажем, что структурные функции F_1,2(x) не зависят от передаваемого импульса Q². Как мы видели ранее, сечения упругого рассеяния электронов на нуклонах сильно зависят от Q². Такая зависимость отражает конечные размеры рассеивающей системы.

Поэтому то обстоятельство, что структурные функции не зависят от Q², должно быть интерпретировано как свидетельство о точечности объектов, принимающих на себя передаваемый импульс Q², т.е. о точечности кварков.

7. Рассмотренный комплекс вопросов относится к глубоко- неупругому рассеянияю на нуклонах неполяризованных электронов. Оказывается, что рассеяние электрона на кварке зависит от поляризации электрона и кварка. Стандартная модель (квантовая электродинамика) дают следующую формулу для рассеяния поляризованных кварков и электронов:

, (4.65)

где h_e , h_q – спиральности электрона и кварка, ()_unp – написанное ранее сечение (4.46) для глубоко - неупругого рассеяния неполяризованного электрона. Вводя импульсные распределения кварков и проводя выкладки, аналогичные предыдущим,

найдем следующее выражение для сечения глубоко – неупругого рассеяния поляризованных электронов на поляризованных нуклонах:

(4.65)

С помощью этой базисной формулы получим:

, (4.66)

где

g₁(x) = 1/2[ 4/9u(x)+ 1/9d(x) +..], (4.67)

и

q(x) =q^+1/2(x) –q^-1/2(x). (4.68)

Измеренная на опыте функция g₁(x) представлена на Рис.

Наиболее интересные дискуссии возникли вокруг интегральных значений g₁(x):

= =0.126

= = -0.022, (4.69)

где

. (4.70)

Интересный момент состоит в следующем. Дело в том, что если спин нуклона целиком обусловлен кварками, то должно быть:

1/2 = 1/2(u + d +s), (4.71)

и, следовательно, должно быть

(u + d +s) =1. (4.72)

Между тем, значения (4.69) вместе с разностями, определяемые по другим данным

u - d = 1.25 ( - распад нейтронов)

s- d = 0.284 ( - распад странных адронов) (4.73)

приводят к значениям :

u =0.75, d= -0.51, s =-0.22, (4.74)

что в сумме дает

(u + d +s) =0.02. (4.75)

Отсюда следует, что вклад кварков в спин протона должен быть ничтожно малым!

Сложившаяся ситуация получила наименование “спиновый кризис”.

8. До сих пор мы говорили о кварковой структуре нуклаонов. Разумеется, точно так же можно обсуждать кварковую структуру других адронов и атомных ядер. В настоящее время имеются скудные данные о структурных функциях пиона. Напротив, весьма обширная информация имеется об атомных ядрах. Разумеется, общая формула для дифференциального инвариантного сечения будет даваться теми же формулами (4.57,4.58).

Точно так же, как и ранее, глубоко - неупругое рассеяние на ядрах определяется структурной функцией F_2,A(x), аналогичной структурной функции нуклона. На Рис. представлена зависимость этой структурной функции от x. Если бы ядро состояло просто из независимых нуклонов, то должно было бы быть:

F_2,A(x) = AF_2,N(x). (4.76)

Между тем, мы видим, что у функции F_2,A(x) имеются спады при x0.1 и x 0.4; при x 0.8 у функции F_2,A(x) начинается резкий подъем.

Между тем реально, мы видим, что у функции F_2,A(x) имеются спады при x0.1 и x 0.4; при x 0.8 у функции F_2,A(x) начинается резкий подъем. Рассмотрим подробнее особенности этой кривой. Наиболее простым выглядит крутой рост кривой в области x 0.8. Он связан с тем, что структурная функция нуклона должна обращаться в нуль при x1, поскольку конфигурация, при которой весь импульс нуклона состредоточен в кварке характеризуется нулевой вероятностью. Напротив, в ядре кварк может в принципе нести импульс, больший чем импульс нуклона, поскольку граничным для него является импульс всего ядра. Поэтому вблизи x1 по чисто кинематическим причинам возникает деление на нуль, с чем и связан резкий рост структурной функции. Наиболее интересным является уменьшение структурной функции в области x 0.4. Одна из интерпретаций этого явления состоит в следующем. Поскольку нуклоны в ядре являются связанными, то масса нуклона в ядре должна быть меньше массы М свободного нуклона:

=M -  (3.77)

Соответственно, передаваемый импульс q^ будет поглощен не кварком с импульсом

x= , (3.78)

как это имеет место в свободном нуклоне, а кварком с импульсом

>x . (3.79)

Здесь мы представили скалярное произведение в системе покоя нуклона в ядре и ввели часто используемую величину, являющуюся предаваемой энергией в системе покоя ядерного нуклона. Отсюда следует, что если мы находимся в области x, в которой структурная функция F_2N уменьшается, то отношение должно быть меньше единицы. Таким образом, рассматриваемое уменьшение может носить также чисто кинематический характер, обусловленный тем, что масса нуклона в ядре за счет его энергии связи меньше, чем масса свободног нуклона.

Уменьшение структурной функции ядра в области x 0.1 скорее всего обусловлено экранировкой взаимодействия с виртуальными фотонами кварков, расположенных внутри ядра. В сущности, аргумент в пользу такой версии этого явления носит чисто кинематический характер и сводится к тому, что при x0.1 виртуальный фотон может проходить в ядре расстояние, большее расстояния между нуклонами. Действительно, согласно соотношению энергия- время, время жизни t виртуального фотона имеет порядок:

t =, (3.80)

где q₀ – энергия виртуального фотона, а - энергия физического фотона. Умножив числитель и знаменатель формулы (3.66) наq₀ +, получаем, что

t =. (3.81)

Мы воспользовались здесь тем,что q₀  в области больших передаваемых импульсов. Действительно, поскольку, где =q₀ является конечным, то при Q² = , q₀ , величины имеют один и тот же порядок величины. Отсюда следует, что рассматриваемый фотон пройдет расстояние порядка

l =t =. (3.82)

Положив l =2фм, равному расстоянию между центрами нуклонов в ядре, получаем, что х=0.1, т.е как раз то значение x, начиная с которого имеет место уменьшение структурной функции.

36