4. Генезис квантовой электродинамики и теории слабых взаимодействий

1. Этот небольшой параграф будет посвящен качественному обсуждению электрослабой теории и ее расщеплению на квантовую электродинамику и теорию слабого взаимодействия. В настоящее время является общепризнанным, что это происходит в результате вакуумного фазового перехода.

Электрослабая теория является калибровочной теорией с локальной калибровочной группой SU₂  U₁. О главных концепциях локальной симметрии, лежащей в основе СМ мы уже говорили в Гл. I §3. Здесь мы рассмотрим конструкцию такой теории несколько подробнее (в той мере, в какой это можно сделать без явного привлечения специального математического аппарата).

2. Начнем с калибровочной симметрии нерелятивистской квантовой механики. Как известно, электромагнитное поле входит в уравнение Шредингера не через напряженности электрического и магнитного полей, а через векторный потенциал А^, который определяется с точностью до калибровочного преобразования

А^ А^ = А^ + ^(x), (3.89)

где (x)– произвольная функция четырех координат t,. Очевидно, что при изменении калибровки вид уравнения Шредингера изменяется, поскольку появляется дополнительный член с ^(x). Очевидно также, что калибровочная неоднозначность уравнения Шредингера, возникающая при замене

А^ А^

должна каким-то “безобидным” способом компенсироваться. Это делается изменением зависящей от пространственной точки х фазы волновой функции ( смысл имеет ||² !):

(x) (x) = e(x). (3.90)

В результате исходное уравнение и уравнение с измененным потенциалом и волновой функцией принимают вид:

, (3.91а)

, (3.91б)

где Н(А) – гамильтониан частицы в электромагнитном поле. Эти уравнения являются эквивалентными. Свойство (3.91) составляет содержание понятия “калибровоч­ная инвариантность квантовой теории”.

Свойство калибровочной инвариантности может быть реализовано только при определенном спосбе вхождения электромагнитного поля в гамильтониан. Наиболее простой способ введения поля –это следующая замена обобщенного импульса:

, (3.92)

или,что то же, замена:

. (3.93)

Замену (3.93) можно вольно проинтерпретировать и следующим образом: требование свободы выбора локальной фазы приводит к изменению понятия производной—к замене обычной производной “ковариантной”производной; без таких производных вообще нельзя написать ни одного дифференциального соотношения, в котором имеет место инвариантность относительно преобразования (3.90).

В релятивистской теории поля свойство калибровочной инвариантности формулируется как свобода выбора локальной фазы у полевой функции (x). Именно, калибровочно – инвариантная теория должна быть инвариантной относительно следующего преобразования полей:

(x) (x) = e(x). (3.94)

Точно также как и ранее, это требование влечет введение ковариантной производной :

^ (^ +iеA^) . (3.95)

и, следовательно, векторного поля A^, преобразующегося при преобразовании (3.92) следующим образом:

А^  А^ = А^ + ^(x). (3.96)

Таким образом, главным уроком требования калибровочной инвариантности относительно фазовых преобразований (3.90) является необходимость введения ковариантных производных и векторного поля.

Интересно отметить, что необходимость изменения аппарата производных возникает и при переходе к криволинейным координатам. Соответственно, в теории гравитации появляются ковариантные производные и “связности “, являющиеся аналогами векторных полей.

Концепция фазовых преобразований (3.90) может быть обобщена, и это является вторым и важнейшим уроком из анализа природы калибровочной инвариантности в Квантовой электродинамике. Это обобщение связано с гипотезой о локальной природе основных симметрий СМ. Пусть в пространстве фундаментальных частиц действует некоторая группа. Это значит, как мы уже знаем, что при преобразованиях типа

, (3.97)

где q – матрица (столбец) кварков или лептонов и U() – матрица группового преобразования, зависящая от параметров  = ₁ , ₂….. группы.

Представляется почти очевидным, что на фундаментальном уровне преобразование (3.97) должно быть локальным. Действительно, пусть в нашей области пространства мы выбрали какой-то тип преобразования (3.97). Спрашивается, каким должно быть аналогичное преобразование у существ в туманности Андромеды, удаленной от Земли на два с лишним миллиона световых лет? И как они узнают о нашем выборе? Отсюда следует, что наиболее естественно строить локально симметричную теорию, т.е теорию, допускающую свободу выбора фазы у фермионов в каждой пространственно- временной точке, или, что то же, с зависящей от точки матрицей U:

U  U(x). (3.98)

По тем же самым причина, что и в элетродинамике, отсюда почти автоматически следует, что теорию следует строить, во- первых, в терминах ковариантных производных, в которые должны входить векторные поля.

Это утверждение принимает более ясную форму, если записать элементы U группы через операторы бесконечно малых преобразований, т.е. через генераторы группы:

U(x) = ,

где операторы (матрицы) t_a – суть операторы бесконечно малых преобразований группы, а _a –ее параметры:

U((x)) =1- i _a(x) t_a (3.99)

Теория должна быть сформулирована таким образом, чтобы она была инвариантна относительно локального фазового преобразования

(3.100)

Мы уже знаем, что это не безобидное утверждение—оно автоматически приводит к необходимости введения векторных полей. Однако более сложная симметрия, чем U₁, которой обладает квантовая электродинамика, приводит к определенному усложнению концепции векторных полей. Дело в том, что если группа характеризуется несколькими параметрами _a, то необходимо ввести несколько векторных полей A_a, каждое из которых компенсирует свободу выбора фазы по параметру _a.Возникающее при этом обобщение ковариантной производной имеет формально прежний вид:

^ (^ +iеA^),

но теперь величина A^ является матрицей – матричнозначимой функцией:

A^ = A^_a t_a, (3.101)

где A^_a - мультиплет векторных полей, пребразующихся при преобразованиях группы по особому “сопряженному” представлению (в (3.101) предполагается, разумеется, суммирование по а)

Теперь мы готовы сформулировать основные положения электрослабой теории. В основу этой теории положена локальная группа SU₂  U₁, преобразующая лептонные и кварковые поля (x). Соответствующее этой группе калибровочное преобразование имеет вид:

(x) (x) =^{+i gY/2b(x)}(x), (3.102)

где g,g - константы взаимодействия,

(x) = _a(x)t_a , (3.103)

t_a –генераторы группы SU₂ ( a=1,2,3, см. Гл.I,§3) , _a(x),b(x) – произвольные функции,

Y- “слабый гиперзаряд” – квантовое число, характеризующее лептонные и кварковые мультиплеты.

Неизменность уравнений движения для полей при таком их преобразовании требует введения трех векторных полей А_a^ и одного “максвелловского” поля B^, преобразующихся при преобразовании (3.90) по закону:

A^A^ =UA^U^-1 +i/g(^U) U^-1, (3.104)

где A^ =А_a^t_a , U = и

B^ B^ = B^ + ^b(x). (3.105)

Таким образом, в “прамире” не было уже привычных для нас электромагнитных и слабых взаимодействий, и он был заселен объектами с другим, чем наблюдаемые нами сейчас свойствами.

Обсудим теперь вопрос о том, какие мультиплеты образут фундаментальные фермионы. Стандартная модель помещает левые кварки и лептоны в дублеты, а правые в синглеты. Конечно, дублеты и синглеты – суть структуры по отношению к группе SU₂. Группа U₁ характеризует мультиплеты в целом. Итак, в нашем распоряжении имеются четыре векторных “праполя” , левые дублеты, например, и правые синглеты, например,и концепция ковариантной производной. В терминах этих структур мы должны были бы написать некоторую систему дифференциальных уравнений, инвариантную относительно исходной группыSU₂U₁.

Однако детали реального построения стандартной модели электрослабого взаимодействия являются достаточно громождкими, и мы их обсуждать здесь не будем. Ограничимся рассмотрением только основных идей превращения науки о “праполях” в квантовую электродинамику и теорию слабого взаимодействия. Прежде всего, выясним, зачем нужно это превращение. Дело в том, что векторные поля, обязательно входящие в теорию, должны быть безмассовыми, так как массовые члены полей обязательно нарушают исходную калибровочную группу. Поэтому, если мы верим в исходные принципы, эту группу каким - то образом приходится нарушать. К способу этого нарушения предъявляются серьезные требования, которые мы здесь обсуждать не можем. В конечном счете был найден такой способ нарушения симметрии, который удовлетворяет всем требованиям, соблюдение которых является обязательным. Это способ нарушения симметрии широко распространен в теоретической физике и носит название спонтанного нарушения симметрии. Исходным фактором, нарушающим симметрию, является “хиггсовский конденсат“ – гипотетическое классическое (как, например, классическое электромагнитное) скалярное поле , называемое хиггсовским, которое пронизывает все пространство. В силу нелинейного самодействия это поле приводит к тому, что пространство с таким полем обладает меньшей энергией, чем без поля. Назначение этого поля двоякое. С одной стороны, отталкивание от такого поля--конденсата создает у фундаментальных фемионов массы.

С другой стороны оно нужным способом “ломает” группу SU₂U₁. Механизм слома состоит в следующем. Хиггсовское поле  связывает между собой степени свободы (поля) В^ и А₃^ и формирует новые степени свободы Z и A_, связанные с прежними соотношением:

,

. (3.106)

При этом выясняется, что поле A_ является безмассовым и универсальным образом взаимодействует с заряженными частицами, а поле Z приобретает массу и взаимодействует с другими частицами так, как это указывалось выше. Имеющий фундаментальное значение угол _W называют углом Вайнберга или углом смешивания.

Результатом такого механизма является понижение калибровочной симметрии от SU₂U₁ до U₁. Калибровочная симметрия U₁ автоматически приводит к квантовой электродинамике. “Остатки полной теории” формируют стандартную теорию слабого взаимодействия.