Гл.III. Электромагнитные и слабые взаимодействия адронов

Из этой огромной темы мы рассмотрим только два вопроса – формфакторы адронов и явление глубоко-неупругого рассеяния лептонов на адронах.

Слабые и электромагнитные процессы между лептонами с хорошей точностью могут быть рассчитаны, опираясь на первые принципы стандартной модели. Ситуация с адронами является намного более сложной, поскольку адроны, вообще говоря, представляют собой весьма сложные и не до конца понятные образования из кварков и глюонов. Поэтому анализ электромагнитных и слабых процессов с участием адронов в большинстве случаев основывается на введении феноменологических функций – формфакторов, отражающих их структуру.

5. Электромагнитные формфакторы адронов

1. Для иллюстрации природы и роли формфакторов рассмотрим сначала рассеяние нерелятивистских электронов на системе зарядов с плотностью распределения (r).

Как известно из квантовой механики, амплитуда f рассеяния электронов на системе зарядов с потенциалом (r) в борновском приближении дается следующей формулой

e^{il r}[(r)]e^ilrd³r (4.1)

 e^iqr(r)d³r,

где  = m_eM_T/(m_e+M_T)  m_e – приведенная масса, l, l – импульсы электрона до и после рассеяния, (q) – Фурье-образ потенциала. Потенциал (r) системы зарядов удовлетворяет уравнению Пуассона:

(r) = Ze(r). (4.2)

В терминах Фурье-образов (q), (q) уравнение (4.2) примет вид:

q²(q) = Ze (q). (4.3)

Отсюда следует, что

(-q) = (4.4)

и что

(4.5)

Соответственно, дифференциальное сечение d/d рассеяния электрона на системе зарядов с плотностью распределения (r) имеет вид:

_{= f}² _{= R(q)}², (4.6)

где

_{R =} (4.7)

есть сечения рассеяния электрона на точечном заряде Ze ( резерфордовское рассеяние ).

Таким образом, сечение d/d факторизуется, распадаясь на два множителя – _R, сечение рассеяния электрона на точечном заряде, и (q)², Фурье-образ распределения заряда в мишени. Последний множитель обычно называется формфактором и обозначается через F(q):

F(q) = (q) = e^iqr(r)d³r. (4.8)

2. Отметим несколько общих свойств формфакторов. Прежде всего, легко видеть, что

F(0) = (0) = (r)d³r = 1, (4.9)

т.е. что формфактор при q=0 равняется единице, точнее нормированному на единицу полному заряду рассеивающей системы. Например, для протона F_p(0)=1, а для нейтрона F_n(0)=0.

Далее, разложим F(q) в ряд Тейлора в области малых q.

F(q) = 1 + iqr(r)d³r  1/2q_iq_jx_ix_j(r)d³r ... (4.10)

Второй член в этом разложении обращается в нуль ( (r) – четная функция, r – нечетная). Для третьего члена учтем, что

x_ix_j(r)d³r = _ijx_i²(r)d³r = 1/3_ijr²(r)d³r. (4.11)

Окончательно получаем, что

F(q) = 1  1/6q²<r²>, (4.12)

где <r²> = r²(r)d³r представляет собой среднеквадратичный радиус распределения заряда.

Из определения (4.8) формфактора следует, что он имеет порядок единицы в области q1/R, где R – размер области локализации заряда и быстро (за счет осцилляций – множителя e^iqr) стремится к нулю при q.

Отметим также, что детали распределения заряда, имеющие пространственный масштаб R отражаются на поведении формфактора только в области значений q1/R.

3. Рассмотренный иллюстративный пример рассеяния нерелятивистских электронов не пригоден для анализа структуры ядерных и субъядерных частиц. Это связано с тем, что объекты ядерного и субъядерного мира являются столь компактными (R10^13см), что при необходимых для анализа передаваемых импульсах q1фм^1=200Мэв/с электроны являются ультрарелятивистскими. Более того, при больших передаваемых импульсах q релятивистски должны трактоваться и конституэнты, принимающие этот импульс.

Чтобы сделать более прозрачным переход от нерелятивистской формулы (4.6) к релятивистской, проследим за этим переходом на примере точечных мишеней со спином J=0 и 1/2 и конечной массой. Для точечной мишени со спином J=0 отличие релятивистской формулы от нерелятивистской сводится, во-первых, к замене

_R = = _M = Cos²/2 (4.13)

где _М – “моттовское сечение”, отличающееся от _R множителем cos²/2, возникающем за счет спина электрона, Q² = q² = 4llsin²/2 и q_²=q₀²q² – релятивистский квадрат импульса, передаваемого от электрона к мишени. Во-вторых, в формуле для d/d должен появиться множитель f_rec, обусловленный отдачей мишени

f_rec = _{(1  ), (4.14)}

где М – масса мишени.

Таким образом, для сечения d/d рассеяния электрона на частице со спином нуль имеем в системе ее покоя:

_{M (1  ). (4.15)}

Для точечной частицы со спином J=1/2, помимо указанных выше изменений, появляется дополнительный множитель (1+(Q²/2M²)tg²/2), обусловленный спином частицы. В результате для J=1/2 имеем:

) (4.16)

Отметим, что множитель (Q²/2M²)tg²/2 происходит от магнитного момента точечной частицы со спином 1/2 (“дираковского магнитного момента”).

Теперь мы можем ввести в формулы (4.15) и (4.16) факторы распределения заряда, магнитного момента и т.д. Для мишени со спинами J=0 и 1/2 формфакторы вводятся следующим образом:

F(Q²) (J=0) (4.17)

(J=1/2) (4.18)

здесь F(Q²), G_E(Q²) = G_E, G_M(Q²) = G_M – формфакторы. В случае J=0 F(Q²) – формфактор распределения заряда; для J=1/2 G_M – формфактор распределения магнитного момента, G_E – заряда.

4. Ясно, что измерение d/d позволяет, в принципе, найти F(Q²) и G_E,M(Q²). Поэтому, отвлекаясь от, вообще говоря, чрезвычайно важных вопросов о том, как реально можно найти формфакторы (например пионные мишени отсутствуют в природе), обсудим экспериментальные данные об электромагнитных формфакторах пиона и нуклона.

Формфактор заряженного пиона с хорошей точностью описывается формулой:

F_(Q²) = [1+Q²/0.51]^1, (4.19)

где Q измеряется в Гэв.

Формфакторы протона и нейтрона в первом приближении могут быть представлены формулами:

G_M^p(Q²)/_p = G_Mⁿ(Q²)/_n = [1+Q²/0.71]^2,

G_E^p = G_M^p/_p (4.20)

G_Eⁿ = _n(Q²/4M²) G_E^p[1+Q²/²]^1,

² = 0.63(Гэв/c)².

Из вида этих формфакторов по формуле (4.12) легко найти среднеквадратичные радиусы распределений заряда в пионе, протоне, нейтроне:

<r_²> = 0.7 фм,

<r_p²> = 0.8 фм, (4.21)

<r_n²> = 0.119фм²,

Отрицательность знака <r_n²> означает, что отрицательный заряд в нейтроне (в целом нейтральном!) распределен дальше от центра, чем положительный.

На качественном уровне такая картина распределения заряда хорошо согласуется с виртуальным механизмом

n  p + ^,

создающим распределение заряда в нейтроне.

На рис... представлено распределение заряда в протоне и нейтроне, найденное посредством Фурье-преобразования

G_E(Q²)(q)(r).

Заметим, что это распределение заряда носит скорее образный характер, чем содержательно физически, поскольку оно, вообще говоря, зависит от системы отсчета.

Для общего анализа ситуации в адронах полезно сформулировать концепцию формфактора в терминах изотопических переменных или, что то же самое, в терминах изотопического спина нуклона. Формфактор G_N нуклона ( а не протона и не нейтрона) определяется соотношением

G_N = G^s + ₃G^v, (4.22)

где

а G^v = 1/2(G^p  Gⁿ), G^s = 1/2(G^p + Gⁿ) представляют собой изовекторный и изоскалярный формфакторы нуклона. Масштабы величин G^s,v можно увидеть, сравнив G_M^s и G_М^v при Q²=0:

G_M^s = 1/2(_p + _n) = 1/2(2.981.91)₀ = 0.44₀, (4.23)

G_M^v = 1/2(_p  _n) = 1/2(2.98+1.91)₀ = 2.35₀, (4.23a)

где ₀=eh/2Mc – ядерный магнитон.

Мы видим, что при Q²=0 G_M^v >> G_M^s. Этот факт является существенным при анализе магнитных переходов в ядрах.

Введение изоскалярного и изовекторного формфакторов предполагает существование “изовекторного” фотона, способного изменить либо изотопический спин, либо его проекцию. Разумеется, реальный фотон не может изменить проекцию изоспина (из-за сохранения заряда). Мы увидим, однако, что формфактор G^v_N характеризует свойства нуклона по отношению к лептонным процессам.

5. Рассмотрим теперь на качественном уровне вопрос о том, как в релятивистской ситуации возникает концепция формфактора. Для простоты сначала будем иметь ввиду пион – частицу со спином нуль. Почти очевидно, что в квантовой теории оператор V взаимодействия частицы с электромагнитным полем представляется в виде произведения оператора тока J^(x) на оператор векторного потенциала электромагнитного поля A^(x):

V=d³xJ^(x)A_(x). (4.24)

В диаграмме Фейнмана, изображающей процесс упругого рассеяния электрона на пионе,

нижнему блоку – акту поглощения (испускания) фотона – должен соответствовать матричный элемент от оператора (4.24). Нетривиальной частью этого матричного элемента является матричный элемент от адронного тока J^ между начальным и конечным состояниями пиона, т.е. матричный элемент

<J^(x)>, (4.25)

где индексами ,  обозначены начальный и конечный пионы.

Трансляционная инвариантность теории требует, чтобы

<J^(x)>= <J^(0)>e^i(kk)x, (4.26)

где k^, k^ – четыре-импульсы начального и конечного пионов.

Таким образом, нетривиальная информация о пионе, испытывающим упругое столкновение с электроном, содержится в матричном элементе <J^(0)>. Поскольку единственной “внешней” характеристикой пиона является его четыре-импульс, то

<J^(0)> = J^(k,k), (4.27)

т.е. матричный элемент от тока должен быть функцией импульсов k^, k^. С другой стороны, оператор тока и, следовательно, матричный элемент от тока, являются четыре-векторами. Поэтому выполняется соотношение:

J^(k, k) = ^_J^(k,k), (4.28)

где  – матрица преобразования Лоренца. Поскольку, далее, в нашем распоряжении отсутствуют какие-либо векторы, кроме k^ и k^, то представляется очевидным, что величина J^(k, k) должна быть линейной комбинацией k и k:

J^(k,k) = ak^+bk^ = F_ +B(kk)^, (4.29)

где F_, B – суть неизвестные инвариантные функции k и k, т.е. функции либо скалярного произведения kk, либо, что то же, функции квадрата передаваемого импульса q²=(kk)². Нетрудно убедиться, далее, что величина B(q²)=0. Действительно, оператор тока J^(x) должен удовлетворять условию непрерывности:

(4.30)

Подставив сюда матричный элемент (4.27), получаем, что должно быть:

q_J^(k,k)=0. (4.31)

Так как

q_(k+k)^ = (kk)_(k+k)^=k²k²=m_²m_²=0,

то член с (k+k)^ в параметризации тока автоматически удовлетворяет условию (4.31). Напротив, второй член в (4.29) не удовлетворяет этому условию. Таким образом, окончательно получаем, что

<J^(0)>=F_(q²)(k+k)^/2. (4.32)

Инвариантная функция F_(q²) называется формфактором и в нерелятивистском пределе совпадает с Фурье-образом от плотности распределения заряда.

6. Для нуклона, имеющего спин 1/2, ситуация становится более сложной. В этом случае наряду с независимыми векторами p^, p^ начального и конечного нуклона появляется четыре-вектор спина s^, который в системе покоя нуклона определяется соотношением:

s₀^ = (0,s), (4.33)

где s – трехмерный вектор обычного нерелятивистского спина. Соответственно, в произвольной системе отсчета

s^ = ^_s₀^. (4.34)

В результате матричный <NJ^(0)N> элемент может быть представлен в виде:

<NJ^(0)N> = f₁(q²)+ f₂(q²)R^, (4.35)

где

R^ = ^s_p_p_, ^ – единичный антисимметричнй тензор.

Сложная конструкция вектора R^ необходима вследствие того, что s^ есть не вектор, а псевдовектор. Псевдовектор при инверсии пространства меняется “неправильно”: у него изменяет знак нулевая компонента. В то же время у тока при инверсии изменяют знак только пространственные компоненты. Вектор R^ из (4.35) сконструирован таким образом, что он ведет себя “правильно”.

Таким образом, частица со спином 1/2 характеризуется двумя формфакторами, в качестве которых можно выбрать f_1,2 из (4.35). Этот выбор, однако, не однозначен, и можно в качестве формфакторов выбрать линейные комбинации f₁ и f₂. В частности, формфактор можно выбрать так, как это сделано в (4.19).

7. В основе взаимодействия электронов с адроном как единой частицей с формфактором лежит конечно взаимодействие электронов с фундаментальными степенями свободы – заряженными кварками. При этом формфактор адрона возникает как результат сложения (интерференции) квантовомеханических амплитуд рассеяния электронов на кварках, расположенных в разных точках адрона. Отсюда следует, что концепция адронных формфакторов является в действительности гораздо более широким понятием и не связана только с простейшими электромагнитными процессами. В частности, концепция формфактора может быть распространена на случай более сложных переходов, чем электромагнитные. Рассмотрим под этим углом зрения некоторые дополнительные аспекты формфакторов.

Прежде всего отметим, что электромагнитные формфакторы ⁰ и ⁰-мезонов должны тождественно обращаться в нуль (это не связано с их нулевым зарядом – ср. с нейтроном). Это заключение основывается на следующем рассуждении. Рассмотрим поведение матричного элемента <⁰J^⁰> под действием операции С зарядового сопряжения. Зарядовое сопряжение можно осуществить двояким образом:

либо J^  J_c^ = J^,

либо ⁰  _c⁰ = ⁰.

Оба они должны приводить к одному и тому же результату, т.е. должно быть:

<⁰J^⁰>=<⁰J^⁰>=0.

Отсюда и следует (см. (4...)), что F_0(Q²)=0.

Наряду с диагональным матричным элементом от J^, можно рассматривать недиагональные, т.е. матричные элементы, в которых начальные и конечные состояния различаются. Примером могут служить матричные элементы типа <⁺J^⁺>, <⁰J^⁰>. Интересно отметить, что в ситуации недиагональных матричных элементов зарядовая симметрия уже не обращает в нуль элемент <⁰J^⁰> и, следовательно, не зануляет переходный формфактор F_00(Q²). Как один из используемых вариантов ведения формфактора F_, укажем:

<J^> = F_(Q²)^e_k_k_, (4.36)

где e_ – единичный вектор поляризации -мезона.

Рассмотрим теперь более сложную и интересную ситуацию со слабыми формфакторами, т.е. формфакторами, возникающими, как говорят, в полулептонных распадах адронов, например, в -распаде нейтрона:

n  p + e^ +_e.

Отвечающая такому процессу диаграмма Фейнмана имеет вид:

Нетривиальным (т.е. не считаемым в рамках стандартной модели по теории возмущений) элементом этой диаграммы является испускание адроном (нейтроном) W^-частицы. Носители слабого взаимодействия являются частицами со спином J=1. В этом отношении они родственны фотону и так же, как и фотон, описываются векторным полем U^. Поэтому представляется естественным, что оператор взаимодействия, ответственный за испускание W^-частиц, должен иметь вид, аналогичный квантовоэлектродинамическому:

V=J^_em(x)A_(x)J^_W(x)W_(x), (4.37)

где J^_W – “слабый ток”, т.е. некоторый векторный оператор, являющийся источником поля W^. Поскольку в слабом взаимодействии четность, как мы видели, не сохраняется, то J^_W может быть линейной комбинацией векторного V^ и аксиально-векторного A^ токов:

J^_W = V^ + A^. (4.38)

Замечательным достижением (разумеется, нашедшим свое отражение в стандартной модели) является утверждение, что векторный ток с точностью до нормировочной константы “совпадает” с изовекторной частью электромагнитного тока J^v_em:

V^  J^v_em. (4.39)

Правда, слово “совпадает” не означает буквального равенства. Дело в том, что электромагнитный ток не меняет заряда частицы, т.е. матричные элементы от J^v_em между состояниями с разными зарядами обращаются в нуль. Между тем, слабый ток V^ имеет отличные от нуля матричные элементы между, например, протоном и нейтроном. Соотношение (4.39) становится понятным, если электромагнитный ток J^v_em записать в виде:

J^v_em = J^s + J^v₃, (4.40)

а векторную часть слабого тока V^_W в виде:

V^_W  V^₊, (4.41)

где ₊=1/2(₁+i₂)= – изотопическая матрица, превращающая

нейтрон в протон. Тогда соотношение (4.39) приобретает точный смысл:

V^ = J^v. (4.42)

Отсюда следует, что -распад нейтрона или -захват на протоне

^+ p  n + _

частично определяется изовекторными электромагнитными формфакторами G_M^v, G_E^v из (4...).

В релятивистской квантовой теории показывается, что матричные элементы от аксиального тока A^ определяются двумя аксиальными формфакторами.