Приложение к главе I Система единиц

В микрофизике, особенно в релятивистской, удобно работать с такой системой единиц, в которой мировые постояннные  (постоян­ная Планка) и с (скорость света в вакууме) были безразмерны и равнялись единице:

=с=1. (I.1)

Основой такого выборяа является то обстоятельство, что  имеет размерность эргсек, а скорость света см/cек. Это значит, что эрг и сек также как и см и сек жестко связаны друг с другом через и с . Выбор (I.1) конкретизирует эту связь:

1 эрг = 1/ сек^–1 =1/c см^–1, (I.2)

1 см = 1/c сек.

Выбор (I.1) является наиболее простым, но можно его и не делать, а договориться измерять энергии, импульсы и т.д. в единицах с. Результат будет, естественно, один и тот же. Связь между энергией Е, импульсрм р, массой m в “обычной” (величины будут с индексом 0) и естественной системе единиц является следующей:

(I.3)

“Переводной” множитель

с = 1.9710^–11 Мэвсм. (I.4)

В системе единиц (I.1) мы избавляемся от необходимости много раз писать в формулах константы  и с. Рассмотрим несколько примеров.

Квадрат заряда протона (электрона) е² имеет размерность

[e²]=эргсм. (I.5)

Поскольку в системе (I.1) 1 эрг=1/с см^–1, то величина е² в этой системе является безразмерной:

. (I.6)

Массы m_N, m_ нуклона и пиона равняются:

(I.7)

Для компактности записи мы ввели здесь внесистемную единицу “ферми”:

1 фм=10^–13см. (I.8)

Аналогичным образом фермиевская константа G_F четырех-фермионного слабого взаимодействия равняется

G_F=1.1710^–5 (Гэв)^–2 = (1.17/ 25 )10^-5 фм² , (I.9)

а гравитационная постоянная

(I.10)

Характерная размерность G_N [см²] позволяет высказать гипотезу об элементарной гравитационной массе m_p (“планкион”) и элементарной длинне r_p:

(I.11)

Эффективные сечения

Очевидно, что при представлении результатов измерений или расчетов характеристик различных реакций физики должны как - то сравнивать свои результаты. Это сравнение осуществляется путем нормировки их результатов к величинам, называемым эффективными сечениями.

Для определения эффективного сечения, введем вероятность w числа процессов в единице объема. Если нормировка выбрана таким образом, что в единице объема имеется n₁ частиц снарядов (т.е налетающих частиц) и n₂ частицмишений, то число событий в единице объема будет равняться:

w = n₁ n₂ w₀ , (II.1)

где w₀ есть вероятность события в единицу времени в единице объема, нормированная на единичную плотность частиц в единице объема. Величина w по размерности есть 1/см³ с и определяет число интересующих нас процессов в единице объема. Очевидно, что вероятность w₀ имеет размерность см³/сек. Определенная таким образом вероятность w₀ не учитывает, однако, постоянного прибывания частиц снарядов в объем, где находится частица мишень. Общепринятая нормированная величина, которая характеризует элементарный акт столкновения получится, если разделить w₀ на поток v частиц, влетающих в единичный объем, содержащий частицу -мишень. В результате получаем величину

 = w₀/v, (II.2)

которая называется эффективным сечением. Оно имеет размерность см² и допускает образную интерпретацию как величину площадки, которой можно заменить частицу мишень и при попадании в которую налетающая частица производит реакцию. Разумеется, можно вводить сечения различных процессов.

Можно дать и более развернутое определение эффективного сечения. Эффективное сечение – дифференциальное d, или полное _total ==_t – является характеристикой элементарного акта столкновения

a+b1+2+..., (II.3)

где а – налетающая частица, b – частица-мишень, 1,2,... – продукты реакции, т.е. частицы, появляющиеся в результате взаимодействия а и b. Рассмотрим сначала полное сечение _t.

Пусть N – полное число реакций, возникающих за время t при прохождении потока частиц а через мишень, состоящую из частиц b. Пусть, далее, поток налетающих частиц заметно не уменьшается при прохождении мишени. Тогда полное сечение _t определяется следующим выражением:

(II.4)

где V – объем мишени, j_a – плотность потока частиц а:

j_a=n₁v₁

где v₁ - скорость налетающих частиц и n₂ – плотность частиц в мишени.

Из (II.4) видно, что _t имеет размерность см² и может быть истолковано как площадь элементарной площадки, сопоставляемой каждой частице-мишени, попадая в которую налетающая частица обязательно вызывает реакцию. Используя то обстоятельство, что величина n/p₀ является Лоренц-инвариантом, мы можем записать стоящее в знаменателе (II.4) произведение в виде:

(II.5)

где Лоренц-инвариант I имеет вид:

. (II.6)

Величины n₁, n₂, p₁₀, p₂₀ – плотности и энергии сталкивающихся частиц в произвольной системе отсчета; р₁, р₂ – четыре-вектор частиц а и b:

. (II.7)

Соответственно, _t примет вид:

. (II.8)

Поскольку tv есть элемент четырехмерного объема и является, следовательно, инвариантом, а число N также есть инвариант, то формула (II.8) представляет собой релятивистско-инвариантную запись сечения.

Формула (II.8) может быть записана через полную квантово-механическую вероятность реакций w. Пусть w есть сумма плотностей вероятностей протекания всех реакций, возникающих при столкновениях а и b, отнесенных к условиям, когда в единице объема имеется одна частица а и одна b. Тогда

и

(II.9)

Здесь w_л – указанная вероятность в лабораторной системе, w – в произвольной системе отсчета.

Запись (II.9) позволяет, например, легко найти число N реакций, возникающих при столкновении встречных пучков. В этом случае

, (II.10)

где L=обычно называется светимостью системы встречных пучков. При этом n₁, n₂ – плотности пучков, р₁₀, р₂₀ – их энергии, v – объем области столкновения.

Элемент сечения d возникает в том случае, когда определяется плотность вероятности конкретной реакции с попаданием конечных частиц в элемент “фазового объема”. Элемент фазового объема d определяется как число квантовых состояний конечных частиц в малых интервалах импульсов частиц dp_i i=1,2...

Из квантовой теории известно, что у одной частицы в фазовом пространстве dpV имеется

(II.11)

квантовых состояний, где V – объем, в котором заключена частица. Полагая V1 (так определяется вероятность w) и =1, получаем, что

(II.12)