§3. Симметрии см.

1. Мыслители далекого прошлого интуитивно понимали, что математика, точнее математические понятия, имеют особое значение для понимания фундаментальных аспектов структуры и функционирования мира. Например, Платон считал, что мир управляется числами, как наиболее совершенными объектами. Если сделать скидку Платону на то, что он несправедливо возвел числа в ранг совершенных объектов, и что в действительности такими объектами логичнее считать симметрии , то нельзя не восхищаться его прозорливостью. Действительно, Стандартная модель в буквальном смысле кишит симметриями. Эти симметрии предопределяют не только формы, в которых должны “отливаться “ адронные структуры СМ, но даже и самое существование некоторых фундаментальных частиц – носителей взваимодействия требуются симметриями, без которых они не могут быть реализованы. Именно, опираясь на соображения симметрии, был теоретически предсказан ряд фундаментальных частиц, которые затем были обнаружены экспериментально.

2. Говорят, что объект - физический или математический –симметричен по отношению к какому– либо преобразованию, если при этом преобразовании он переходит сам в себя. Когда говорят о симметрии теории, то подразумевают, что при определенных преобразованиях динамических переменных уравнения теории не меняются и, следовательно, не меняется ее физическое содержание. Это значит, что после таких преобразований переменных нельзя экспериментально выяснить, работаем ли мы в рамках теории с преобразованными или непреобразованными переменными ( разумеется, если поставлены соответствующие граничные условия). В Стандартной модели динамическими переменными являются поля и появляющиеся при их квантовании частицы. Поэтому основные уравнения записываются в конечном счете в терминах частиц, и любая симметрия связана с преобразованием частиц.

Каждая частица обладает кинематическими характеристиками – импульсом, спином и т.д. и системой нетривиальных квантовых чисел, качественно отличающих ее от других частиц. Соответственно, различают симметрии, связанные, во – первых, с преобразованием кинематических переменных частиц, например, преобразованиями поворота в трехмерном пространстве и преобразованиями Лоренца в пространстве Минковского, при которых изменяются кинематические переменные и, во-вторых, внутренние симметрии, при которых частицы преобразуются друг через друга при неизменных кинематических величинах.

Инвариантность теории, т.е. неизменность уравнений, относительно симметрий автоматически означает, что в теории возникают сохраняющиеся величины. Эти сохраняющиеся величины носят разный характер. Пожалуй, наиболее просто связь симметрии и законов сохранения можно проиллюстрировать на примере хорошо знакомой нам симметрии по отношению к поворотам в трехмерном пространстве – изотропии пространства. Эта симметрия приводит, как мы знаем из курсов общей физики, к закону сохранения момента количества движения ( в единицах), который может быть записан в виде:

, (1.68)

где - суть векторы моментов количества движения в начальном (i) и конечном (f) состояниях. В квантовой теории из трех проекций момента определенное значение может иметь только одна, скажем, проекция J_Z на ось Z, а также полный момент количества движения ² =J(J+1), где J – максимальное возможное значение проекции J_Z. Поэтому в квантовом мире сохраняются J_Z и J.

Это основное следствие вращательной симметрии может быть истолковано и с другой точки зрения. В квантовой теории состояния и частиц , и сложных систем конкретизируются набором квантовых чисел, принимающих, вообще говоря, дискретные значения. Однако каждое квантовое число, имеющее смысл, должно удовлетворять одному необходимому условию. Именно, у свободной частицы или системы это квантовое число не должно меняться с течением времени, т.е. должно сохраняться. Поэтому сохраняющиеся величины J,J_Z могут играть роль квантовых чисел, отличающих одну частицу или систему от другой. Для одной и той же системы квантовые числа J,J_Z могут принимать различные значения. . Если, однако, мы перейдем на уровень отдельной фундаментальной частицы, то квантовое число J становится спином частицы, а J_Z – прекцией спина на ось квантования. Поэтому квантовое число J становится идентификатором частицы, имеющим для нее строго фиксированное значение. Теперь мы видим, что легко прослеживается логическая последовательность:

симметрия  законы сохранения  квантовые числа.

И такая последовательность заключений справедлива для любой симметрии. Из уже знакомых нам симметрий отметим трансляционную инвариантность в пространстве Минковского, т.е. симметрию относительно сдвигов во времени и обычном трехмерном пространстве. Трансляционная инвариантность приводит к сохранению энергии и импульса и предопределяет задание импульсов и энергий для каждой свободной частицы. В заключение подчеркнем, что как мы уже знаем, элементарные частицы обладают многими квантовыми числами, и одной симметрии поворотов недостаточно для их идентификациии – нужны другие симметрии.

3. Рассмотрим теперь внутренние симметрии, связанные с преобразованиями частиц друг в друга при неизменных кинематических характеристиках. Пожалуй, наиболее простой из таких симметрий является изотопическая, которая относится к u и d - кваркам и сводится к следующему их преобразованию друг через друга:

u  u +d, (1.69)

d  , ,

где через обозначены антикварки, коэффициенты,  удовлетворяют условию

,

а в остальном являются произвольными. В матричном виде эти преобразования записываются в более компактном виде:

; , (1.70)

где матрица U = является унитарной и унимодулярной, т.е. удовлетворяет соотношениям:

UU⁺ =1, det (U)=1 , (1.71)

и знак + означает эрмитовское сопряжение. Тяжелые кварки c,s,b,t и глюоны остаются при этих преобразованиях неизменными. Симметрией (1.70) обладает Квантовая хромодинамика и, соответственно, физика сильных взаимодействий. Наиболее полезной эта симметрия оказывается в мире адронов и атомных ядер.

С математической точки зрения преобразование (1.70) эквивалентно повороту в обычном трехмерном пространстве. Это значит, что между параметрами трехмерного поворота, задаваемого, например, тремя углами Эйлера, и параметрами преобразования (1.70) можно установить взаимно – однозначное соответствие. Поэтому сохраняющиеся квантовые числа, свойственные изотопической симметрии, должны формально совпадать с введенными ранее квантовыми числами момента количества движения J, J_Z. Соответствующие изотопической симметрии квантовые числа называются изотопическим спином I и его проекцией I₃. Чтобы завершить аналогию, можно ввести формальное трехмерное изотопическое пространство, по своим свойствам полностью аналогичное нашему трехмерному, и заставить частицы в нем “ вращаться“. Тогда I – изотопический спин частицы, т.е. ее “вращательный момент“ и I₃ – его проекция на ось квантования в этом формальном пространстве. Само же преобразование (1.70) будет выглядеть как поворот в этом пространстве всех u и d – кварков. Соответственно симметрия (1.70) может быть сформулирована как свойство изотропии изотопического пространства.

Так же, как и обычный момент количества движения, изотопический спин I и его проекция I₃ могут принимать значения:

I = 0,1/2,1, 3/2,2….., I₃ =I, I +1,…,I (1.72)

Концепция изотопического спина, доведенная до уровня элементарной частицы, позволяет идентифицировать ее с помощью нового квантового числа - изотопического спина I. На фундаментальном уровне мы уже видели это, когда вводили u и d-кварки, на уровне адронов мы увидим это позднее.

Симметрия (1.70) с физической точки зрения означает, что при замене u и d – кварков их суперпозициями u , d из (1.70) свойства физических систем не изменяются. С другой стороны, мы отождествили преобразование (1.70) с поворотом системы в изотопическом пространстве. Отсюда следует, что свойства любых u,d-кварковых систем не зависят от ее ориентации в этом пространстве и потому не зависят от ориентации изотопического спина, т.е. от его проекции I₃. Это значит, в частности, что массы частиц, характеризующихся одной и той же совокупностью квантовых чисел, например, спином, не зависят от проекции изоспина:

(1.73)

Теперь мы можем решить общий вопрос о том, какой изотопический спин следует приписывать элементарной частице. Именно, все кварковые системы, обладающие одинаковой массой, должны принадлежать одному и тому же значению изотопического спина. Поскольку число проекций изоспина равняется 2I +1, то при числе частиц с одинаковой массой n изотопический спин эквивалентных частиц должен равняться I = (n-1)/2. В частном случае кварков это означает, что u и d –кварки обладают изоспином 1/2 . Что касается проекции I₃ их изоспина, то обычно u – кварку приписывают значение + ½ , а d – кварку –1/2. Правда, можно было бы поступить и наоборот – приписать u –кварку проекцию –1/2 , а d- кварку -- +1/2.

4. Следующей внутренней симметрией является киральная симметрия. Эта симметрия является обобщением изотопической и связана также с преобразованием u и d – кварков и относится к КХД. Киральная симметрия –это симметрия КХД относительно двух независимых изотопических симметрий “левых” и “правых” кварков. В общем случае понятие левых и правых кварков требует знание свойств уже упоминавшегося нами уравнения Дирака. Однако для случая кварков с малой массой

( строго говоря, для безмассовых кварков) понятие левых и правых кварков тождественно квркам слевой и правой спиральностью. Спиральностью  частицы называют проекцию спина на направление ее распространения. Частица со спином ½ может иметь два значения спиральности  = 1/2. Киральная симметрия суть симметрия относительно двух независимых преобразований (1.70), примененных к кваркам с различными спиральностями:

u₊₁ u₊₁ +  d₊₁ , d₊₁ –* u₊₁ +* d₊₁

u_-1  u_-1 + d_-1 , d_-1 –* u_-1 +* d_-1 (1.74)

где , и , – два независимых набора параметров типа (1.70), u_1 и d_1 – состояния u и d кварков со спиральностями 1/2. Независимость преобразования кварков с разными спиральностями означает, что левые и правые кварки образуют независимые подсистемы, и потому при киральной симметрии должны формироваться две независимые группы адронов с попарно совпадающими массами. Действительно, предположение о независимости преобразований (1.74) немедленно ведет к тому, что левые кварки, т.е. кварки с отрицательной спиральностью, формируют свои “ левые адроны”, а правые, т.е. с положительной спиральностью, - еще один тип “правых” адронов. Как мы увидим далее, при пространственной инверсии левые частицы переходят в правые и наоборот. Поэтому, если четность частиц является хорошим, т.е сохраняющимся квантовым числом, то из правых и левых частиц должны сформироваться четные и нечетные состояния. Поэтому существование киральной симметрии должно прояляться в форме удвоения частиц по четности. Между тем, в следующем параграфе мы увидим, что спектр адронов (барионов) ни в коем случае не может считаться “удвоенным”. Например, гипотетический киральный двойник нуклона - резонанс S₁₁ с характеристикой J=1/2^ находится при энергии 1535 МэВ, в то время как масса нуклона равняется 940 МэВ. Расщепление масс почти в 600 МэВ не позволяет говорить о существовании киральной симметрии.

Таким образом, либо исходные положения СМ являются неправильными, либо мы в своих рассуждениях не учитываем какого -то очень важного свойства СМ.

Решение этого неприятного парадокса было найдено с помощью новой физической концепции  спонтанного нарушения киральной симметрии, при которой, с одной стороны, уравнения теории остаются кирально-инвариантными, а с другой - имеет место нарушение этой симметрии. Мы уже встречались с этим явлением при рассмотрении вопроса о происхождении масс фундаментальных частиц. Там спонтанное нарушение симметрии было обусловлено конденсатом хиггсовского поля ₀ , которое, с одной стороны, создает массу у частиц, а сдругой, как мы увидим чуть- чуть далее, своеобразным образом нарушает фундаментальную симметрию электрослабой теории и, как следствие, расщепляет электрослабую теорию на квантовую электродинамику и теорию слабого взаимодействия.

В данном случае спонтанное нарушение симметрии состоит в следующем. Исходные уравнения СМ обладают двумя независмыми симметриями (1.74). В силу, однако, игры взаимодействий виртуальных частиц реализуется такая ситуация, когда основное состояние не обладает симметрией исходных уравнений. Это значит, что основное состояние обладает не симметрией (1.74), а только более узкой изотопической симметрией (1.70). Поскольку спектр состояний адронов “строится “ над основным состоянием, а оно уже не обладает киральной симметрией, то среди адронов киральная симметрия также не должна проявляться.

Спонтанное нарушение симметрии, как правило, происходит в силу того, что в основном состоянии создается специфический “параметр порядка”, нарушающий симметрию основного состояния. Например, при спонтанном нарушении изотропии ферромагнетика в нем возникает параметр порядка в виде намагниченности в определенном направлении. В физике атомного ядра спонтанное нарушение симметрии происходит при возникновении несферичности ядер и т.д.

Спонтанное нарушение киральной симметрии обусловлено тем, что в основном состояниии накапливается большое число кварк – антикварковых пар с нулевым суммарным импульсом. Эти кварк – антикварковые пары формируют объект, который с одной стороны является квантовым ( все частицы тождественны и находятся в одном и том же состоянии), а с другой – из-за большого числа тождественных частиц-допускает трактовку как некоторое классическое неквантовое поле. По сложившейся традиции такие объекты называют конденсатами. В данном случае, как показывается в теории этого явления, кварк – антикварковый конденсат является кирально - неинвариантным объектом, и под его влиянием кварк-глюонная система, по-прежнему описываемая кирально – симметричными уравнениями, теряет эту симметрию.

Естественно возникает вопрос, зачем принимать во внимание эту“несостоявшуюся” симметрию? Оказывается, что ситуация: исходные уравнения КХД кирально- инвариантны, а основное состояние, из – за существования кваркового конденсата, не обладает такой симметрией - глубочайшим образом сказывается на всей низкоэнергетической (т.е. при энергиях, меньших 1ГэВ) физике сильных взаимодействий. Укажем несколько следствий спонтанного нарушения киральной симметрии. Пожалуй, первым по значению из этих следствий является превращение токовых кварков в конституэнтные. Возникновение массы у конституэнтных кварков обусловлено отталкиванием токовых кварков от кварк - антикваркового конденсата. Вторым следствием игры отмеченных факторов является появление среди адронов частиц с аномально малыми массами, которые называют “гольдстоуновскими” частицами. Считается, что такой частицей является пион. Наконец, спонтанное нарушение киральной симметрии и связанная с ней приблизительно нулевая масса пиона является основой теории анализа свойств адронов небольшой энергии, называемой киральной теорией возмущений.

5. Изотопическая и киральная симметрии играют, как мы увидим далее, ведущую роль в физике адронов. Вместе с тем необходимо отметить, что эти симметрии являются не абсолютными, а приближенными. Во- первых, в рамках КХД, т.е. физики сильного взаимодействия, изотопическая симметрия была бы точной только при равенстве масс u и d – кварков. Во- вторых, изотопическая симметрия в принципе отсутствует в электромагнитном и слабом взаимодействиях. Поучительным является краткое обсуждение вопроса о том, почему же при явном наравенстве масс u и d – кварков степень нарушения изотопической симметрии не превышает нескольких процентов. Столь малое нарушение изотопической инвариантности обусловлено следующим обстоятельством. Дело в том, что физика сильных взаимодействий имеет дело не непосредственно с кварками, а с адронами. Кварки же, образно говоря, “растворены “ в адронах. Поэтому, различие масс u и d - кварков следует сравнивать не с токовыми массами кварков, а с минимальной массой, которая может быть создана сильным взаимодействием. Минимальной массой среди адронов, равной примерно 140 МэВ, обладает пион. По сравнению с этой массой различие в массах u и d – кварков, составляющее всего лишь несколько МэВ, является ничтожно малым, и именно поэтому нарушение изотопической симметрии оказывается незначительным.

Аналогичной выглядит ситуация с киральной симметрией. В рамках КХД киральная симметрия была бы точной только при нулевых массах u и d – кварков. Поскольку эти массы отличны от нуля, то киральная симметрия является нарушенной с “самого начала”. Степень нарушения симметрии, связанная с этим обстоятельством, однако, невелика по сравнению с эффектами нарушения симметрии за счет конденсата в основном состоянии. Именно поэтому явления спонанного нарушения киральной симметрии играют важную роль в низкоэнергетической физике адронов.

6. Рассмотренные симметрии являются до некоторой степени “случайными” в том смысле, что КХД могла бы существовать и без этих симметрий. Значительно более фундаментальную роль играет цветная симметрия, которая связана с определеннми преобразованиями цветов кварков.

Цветная симметрия преобразует одновременно цвета кварков всех ароматов и глюонов и мы проиллюстрируем ее на примере u – кварков. Именно, цветная симметрия означает, что система уравнений квантовой хромодинамики не меняется при следующем преобразовании цветов u – кварков:

(1.75)

с матрицей U, удовлетворяющей условию

det(U)=1,U⁺ U=1

и в остальном произвольной. Антикварки преобразуются с матрицей, комплексно сопряженной матрице U. Преобразование (1.75) цветов кварков должно быть дополнено определенным образом согласованным с ним преобразованием глюонов:

g_a  g_a =U_a,a g_{a ,} (1.76)

где U_a,a – некоторая матрица, которую мы здесь уточнять не будем.

Таким образом, физика СМ не зависит от того, работаем ли мы с кварками u_1,2,3 и глюонами g_a или с суперпозициями кварков u_1,2,3 и глюонов g_a. Разумеется, симметриям (1.75,1.76) отвечают свои сохраняющиеся квантовые числа, которые из-за их сложности мы также здесь обсуждать не будем.

7.До сих пор мы молчаливо предполагали, что рассматриваемые симметрии являются глобальными. Это значит, что фундаментальные частицы преобразуются друг через друга одинаковым образом во всем пространстве. Между тем на фундаментальном уровне требование одинаковости преобразования во всех точках пространства является нелогичным. В самом деле, откуда мы знаем о том, какие преобразования выбраны для фиксации цветов кварков и глюонов, например, в туманности Андромеда? Фундаментальный уровень требует скорее локальных симметрий– неизменности теории при “своем” выборе параметров преобразования кварков и глюонов в каждой точке пространства – времени. Концепция локальных симметрий позволяет выдвинуть эвристический принцип построения теорий, который позволяет предсказать, при каком типе носителей взаимодействия может быть реализована та или иная симметрия. Действительно, забудем на момент о том, что мы уже знаем о существовании глюонов. Пусть известно только, что имеются цветные u –кварки и что теория должна быть симметрична относительно преобразований (1.75) в каждой пространственно – временной точке, т.е относительно преобразований :

= U(x) , (1.77)

где u_1,2,3 = u_1,2,3(x) – волновые функции u- кварков, U(x) –матрица из (1.77), но теперь зависящая от пространственно- временных координат x. Нетрудно видеть, что система дифференциальных уравнений для u будет обладать симметрией (1.77). только при обобщении понятия производной - заменой обычной производной так называемой ковариантной. Действительно, при преобразованиях (1.77) производные _u преобразуются следующим образом:

_u _ u = (_ +i_ U(x)) u , (1.78)

и, чтобы уравнения были инвариантны относительно симметрии (1.77), необходимо найти способ компенсации члена _ U(x). Оказывается, что практически единственный способ компенсировать член _ U(x) состоит в переходе от обычных производных _ к упомянутым выше ковариантным производным __+ iА_ с законом преобразования матричнозначимой векторной величины (векторного поля):

A_ A_ = U(x)A_ U(x)^-1 +i(_U(x)) U(x)^-1. (1.79)

Вследствие этого при преобразования (1.78) множитель U(x), как читатель может лего убедиться сам, факторизуется:

( +i A)(x) = U(x) ( +i A ) (x), (1.80)

и возникает инвариантность относительно (1.77). Матричнозначимая векторная функция A_ может быть разложена по системе t_a восьми независимых матриц 3x3, удовлетворяющих условиям det(U)=1,U⁺ U=1:

A_ =  t_a A_a , (1.81)

где A_a - восемь векторных полей, которые должны быть отождествлены с векторными (т.е. со спином единица) носителями взаимодействия, в данном случае с полями глюонов.

Таким образом, требование локальной цветной симметрии фермионов почти автоматически приводит к необходимости введения векторных носителей взаимодействия. Это и есть фундаментальный принцип построения современных теорий поля, в частности Квантовой хромодинамики.

Электрослабая теория строится на основе двух локальных независимых симметрий. Одна из этих симметрий аналогична изотопической симметрии и предполагает следующее преобразования двух фермионных волновых функций , объединенных в дублет,

, (1.82)

где U₁₁,… - суть матричные элементы локальной, т.е. зависящей от x матрицы. Эта матрица подчиняется условию

det(U)= U⁺U = 1.

Еще одна симметрия сводятся к умножению каждого из _i на произвольный фазовый множитель:

_i_i =e^i_i. (1.83)

Отсюда следует, что требование локальности с необходимостью приводит к включению в симметрийную игру четырех векторных полей и, соответственно, четырех частиц. Какие фемионы объединяются в дублеты, а какие остаются синглетами, определяется конкретной моделью строения электрослабой теории. Мы не будем рассматривать здесь эти более тонкие детали построения теории.

8. Таким образом, требование локальной симметрии автоматически приводит к необходимости введения в теорию новых частиц. Их обычно называют калибровочными бозонами. Для справедливости симметрии (1.77) или (1.82) эти частицы, однако, должны быть безмассовыми. В квантовой хромодинамике это не приводит ни к каким сложностям – глюоны суть безмассовые частицы. В электрослабой теории носители слабого взаимодействия должны обладать массой, и необходимо каким - то образом, не нарушая локальной симметрии уравнений, “заставить” теорию создать массу у носителей слабого взаимодействия. Это делается в рамках уже знакомой нам концепции спонтанного нарушения симметрии. Это нарушение симметрии возникает за счет хиггсовского поля, о котором мы уже говорили. Хиггсовское поле, с одной стороны, расщепляет единую электрослабую теорию на квантовую электродинамику и теорию слабого взаимодействия, и с другой - заставляет носители слабого взаимодействия иметь массу.

9. Рассмотрев в общих терминах проявление симметрий в квантовой теории, переведем теперь все это на язык теории групп.

Множество матриц (1.70,1.75) образуют множества, которыеназываются в математике группами, в данном случае группы SU₂ и SU₃-специальные унитарные группы. Группой называют множество G элементов g, удовлетворяющих условиям:

g₁*g₂ =g₁₂,

g*g^-1=e, (1.84)

g*e=g,

где все g₁, g₂, g₁₂ G, e- единичный элемент, g^-1 – элемент, обратный g. Элементы g суть указанные выше элементы симметрии или, еще конкретнее, матрицы (1.70) и (1.75). После введения понятия группы сказать, что объект обладает определенной симметрией, значит сказать, что он обладает определенной группой.

Группы бывают дискретные и непрерывные. Рассмотрим сначала непрерывные группы. Элементы непрерывных групп нумеруются набором параметров, пробегающих континуум значений. Пусть _i –такой набор параметров. У SU₂ – группы таких параметров три, у SU₃ – восемь. Разлагая матрицы по бесконечно малым параметрам, т.е. вблизи нулевых значений параметров,можно ввести инфинитоземальные операторы или генераторы t_i группы, определяемые формулой:

g() e –i ∑(t_k _k) . (1.85)

В группе SU₂ роль инфинитоземальных операторов могут играть изоспиновые матрицы Паули:

t_a =1/2_a,

где a=1,2,3 и

Для группы SU₃ в качестве базисных матриц t_a обычно выбирают матрицы Гелл-мана:

t_a =1/2_a,

где a=1,2,3…8 и

, ,,,,

, (1.86)

где _1,2,3 –спиновые матрицы Паули.

Поскольку элементы группы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, то генераторы должны удовлетворять некоторым коммутационным соотношениям типа:

[t_i,t_k] = ∑ c_ik^l t_l , (1.87)

где константы c_ikl носят название структурных; по дважды встречающимся индексам происходит суммирование. Структурные константы зависят от способа задания парметров ( параметризации) группы и определяются только ее структурой. Например, введенные ранее операторы момента количества движения J_i являются генераторами группы пространственных поворотов (она называется группой SO₃, специальной ортогональной группой) и удовлетворяют хорошо известным коммутационным соотношениям для операторов момента количества движения:

[J_i ,J_k] = i_iklJ_l , (1.88)

где _ikl –единичный антисимметричный тензор, ₁₂₃ =1.

Зная генераторы, можно восстановить все элементы группы:

(1.89)

Генераторы групп играют важнейшую физическую роль, поставляя в теоретическую физику, в том числе и в физику элементарных частиц, квантовые числа, в терминах которых можно обсуждать физику явлений.

10.Исходя из общей формулировки симметрии как “о совпадении предмета с самим собой”, можно было бы наивно думать, что в квантовой теории волновая функция при действии элемента группы переходит сама в себя. В действительности ситуация, вообще говоря, совсем не такая. Хотя в квантовой теории возможны ситуации, когда при действии элемента группы волновые функции переходят сами в себя, значительно более общим и интересным проявлением существования группы является усложнение преобразования волновых функций - разбиение множества этих функций на подмножества , в рамках которых функции преобразуются друг через друга при преобразованиях группы.

Наиболее просто последующие утверждения могут быть выражены на матричном языке. Будем считать функции базисными векторами в векторном пространстве. Пусть, далее, закон преобразования функций при действии элементаg имеет вид:

(1.90)

Если произведению двух групповых элементов соответствует произведение преобразований волновых функций, или точнее, если

,

, (1.91)

где g₁₂ =g₁g₂ , то множество матриц D_ik образуют представления группы. Главным в представлении является взаимно однозначное соответствие между элементами группы g и матрицами D_ik. Поэтому точно так же, как и в пространстве элементов группы, в пространстве волновых функций можно ввести инфинитоземальные операторы, которые будут удовлетворять тем же коммутационным соотношениям (1.87).Особое значение имеют представления, у которых нельзя уменьшить число волновых функций, преобразующихся друг через друга, посредством создания каких - либо их комбинаций. Такие представления носят название неприводимых. Квантово-механические состояния, входящие в состав неприводимого представления, образуют мультиплеты, отличия между компонентами которых являются с общей точки зрения несущественными. Вследствие этого вместо многих частиц или состояний, входящих в состав мультиплета, можно говорить об одной частице ( состоянии), разными реализациями которой являются компоненты мультиплета. Например, в сферически симметричном случае в силу вращательной инвариантности энергии уровней E_JM не зависят от проекции M момента количества движения на ось квантования, и можно говорить просто об энергии уровня, отвлекаясь от того, что в действительности существует 2J+1 уровней. Отсюда становится понятным роль знания неприводимых представлений различных групп  зная их, можно по числу “физически близких” состояний определить группу, лежащую в основе теории и заранее не известную.

Теперь мы можем сформулировать уже в терминах теории групп, почему их применение к квантовой теории является исключительно плодотворным:

(1). Знание группы предопределяет существование определенных законов сохранения. Эти законы сохранения означают сохранение квантовых чисел, которые являются собственными значениями коммутирующих друг с другом генераторов группы. Приведем несколько общих примеров. Однородность четырехмерного пространства, т.е. группа сдвигов координат, предполагает закон сохранения энергии и импульса, операторы которых являются генераторы группы сдвигов. Изотропия пространства, т.е. группа SO₃ вращений, предполагает введение сохраняющихся квантовых чисел J,M момента количества движения и его проекции на ось квантования. Упоминавшаяся ранее изотопическая симметрия позволяет ввести квантовое число изотопический спин I,I₃ и т.д.

(2) Существование непрерывной группы с неизбежностью приводит к существованию мультиплетов среди состояний системы. Компоненты мультиплета являются разными состояниями одной “частицы” и отличаются в определенном смысле несущественными квантовыми числами  “магнитными” квантовыми числами, аналогичными магнитному квантовому числу m в атоме водорода. То обстоятельство, что компоненты мультиплетов различаются несущественно, приводит к важным соотношениям между массами, магнитными моментами, сечениями реакций и т.д.

(3). Наконец, концепция локальных групп, т.е. групп, действующих независимо в каждой пространственно - временной точке, позволяет построить теоретические основы СМ.

11. До сих пор мы обсуждали непрерывные группы. Рассмотрим теперь коротко дискретные группы, интересные в физике частиц. Наиболее простыми дискретными группами являются группы C,P,T– зарядового сопряжения, инверсии пространства и обращения движения. Все эти группы состоят из двух элементов – единичного и одного нетривиального,определяющего главные особенности группы. На векторы состояния   нетривиальные элементы этих групп действуют следующим образом:

  _C (зарядовое сопряжение C)

  _P (прстранственная инверсия P) (1.92)

  _T ( обращение движения T)

Операция С зарядового сопряжения сводится к замене в векторе состояния всех частиц на античастицы. При этом кинематические характеристики частиц не меняются. Например, при С- преобразовании вектор состояния  частицы с импульсом превращается в вектор античастицы с тем же самым импульсом .

Операция Р инверсии пространства сводится к изменению знаков всех импульсов:

  _P , (1.93)

где _P произведение внутренных четностей частиц. Поскольку двухкратное применение нетривиального элемента должно давать единичный элеменнт, то _P² =1 и _P может принимать значение +1, либо –1.

Операция Т обращения движения производит следующее преобразование вектора состояния частицы:

(-)^s- -, (1.94)

где s–спин частицы,  – его проекция на ось квантования в системе покоя частицы.

Замена “кэт” |> на “бра” < | при T преобразовании соответствует общей концепции обращения движения, при котором начальное состояние должно переходить в конечное. Подробнее и “доказательнее “ мы рассмотрим эти три операции в конце Гл.II. Здесь же мы только укажем, что квантовая электродинамика и квнтовая хромодинамика симметричны относительно всех трех операций в отдельности. Слабое взаимодействие оказывается несимметричной относительно каждой из трех операций. Подробнее речь об этом пойдет в Гл.III. Отметим, однако, что СМ симметрична относительно произведения всех трех операций, т.е. относительно СРТ - операции. Это утверждение носит название теоремы СРТ и является фундаментально важной ограничительной теоремой.