7.6. Циклические коды

Важное место среди систематических кодов занимают цик­лические коды. Свойство цикличности состоит в том, что циклическая перестановка всех символов кодовой комбинации A_i дает другую кодовую комбинацию A_j, также принадлежащую этому коду. При такой перестанов­ке символы кодовой комбинации перемещаются слева направо на одну позицию, причем крайний правый символ переносится на место крайнего левого символа. Например, = 101100, = 010110 или = 011101 и = 111010.

Комбинации циклического кода, выражаемые двоичными числами, для удобства преобразований обычно определяют в виде полиномов, коэффициенты которых равны 0 или 1. Примером этого может служить следующая запись:

Помимо цикличности кодовые комбинации обладают другим важным свойством. Если их представить в виде полиномов, то все они делятся без остатка на так называемый порождающий полином G(z) степени r = n - k,где k —знач-ность первичного кода без избыточности, а n — значность циклического кода.

Построение комбинаций циклических кодов возможно путем умножения комбинации первичного кода на порождающий полином :

Умножение производится по модулю и в данном случае сводится к умножению по обычным правилам с приведением подобных членов по модулю два.

В полученной таким способом комбинации A(z) в явном виде не содержатся информационные символы, однако они всегда могут быть выделены в результате обратной операции: деления A(z) на G(z).

Другой способ кодирования, позволяющий представить кодовую комбинацию в виде информационных и контрольных символов, заключается в следующем. К комбинации первичного кода дописывается справа r нулей, что эквивалентно повышению полинома A*(z)на r разрядов, т. е. умножению его на z^r. Затем произведение делится на порождающий полином. В общем случае результат деления состоит из целого числа Q(z) и остатка R(z) Отсюда:

Вычисленный остаток и используется для образования комбинации циклического кода в виде суммы:

Так как сложение и вычитание по модулю два дают один и тот же результат, то нетрудно заметить, что т. е. полученная комбинация удовлетворяет требованию делимости на порождающий полином. Степень полинома не превышает r -1, поэтому он замещает нули в комбинации .

Для примера рассмотрим циклический код с n=7, k = 4, r = 3 и Необходимо закодировать комбинацию

Тогда Для определения остатка делим на .

Окончательно получаем:

В высшие четыре разряда занимают информационные символы, а остальные три — контрольные.

Контрольные символы в циклическом коде могут быть вычислены и по общим формулам (7.9), однако здесь определение коэффициентов затрудняется необходимостью выполнять требование делимости на порождающий полином .

Процедура декодирования принятых комбинаций также основана на использовании полиномов . Если ошибок в процессе передачи не было, то деление принятой комбинации на дает целое число. При наличии корректируемых ошибок в результате деления образуется остаток, кото­рый и позволяет обнаружить или исправить ошибки.

Кодирующие и декодирующие устройства цикличес­ких кодов в большинстве случаев обладают сравнитель­ной простотой, что следует считать одним из основ­ных их преимуществ. Другим важным достоинством этих кодов является их способность корректировать пачки ошибок, возникающие в реальных каналах, где дей­ствуют импульсные и сосредоточенные помехи или на­блюдаются замирания сигналов.