7.3. Систематические коды

Систематические коды относятся к блочным раздели­мым кодам, т. е. к кодам, где операция кодирования осуще­ствляется независимо в пределах каждой комбинации, состо­ящей из информационных и контрольных символов.

Остановимся кратко на общих принципах построения си­стематических кодов. Если обозначить информационные сим­волы буквами с, контрольные — буквами е, то любую кодо­вую комбинацию, содержащую k информационных и r конт­рольных символов, можно представить последовательностью:

где c и e в двоичном коде принимают значения 0 или 1.

Процесс кодирования на передающем конце сводится к образованию контрольных символов, которые выражаются в виде линейной функции информационных символов:

(7.9)

Здесь — коэффициенты, равные 0 или 1, и — знаки суммирования по модулю два. Значения выбираются по определенным правилам, установленным для данного вида кода. Иными словами, символы е представляют собой суммы по модулю два информационных символов в различных сочетаниях.

Процедура декодирования принятых комбинаций может осуществляться различными методами. Один из них, так на­зываемый метод контрольных чисел, состоит в следующем.

Из информационных символов принятой кодовой комбинации образуется по правилу (7.9) вторая группа контрольных символов:

(7.10)

Затем производится сравнение обеих групп контрольных символов путем их суммирования по модулю два:

Полученное число X называется контрольным числом или синдромом. С его помощью можно обнаружить или исправить часть ошибок. Если ошибки в принятой комбинации отсутствуют, то все суммы а следовательно, и контрольное число X будет равным нулю. При появлении ошибок некоторые значения х могут оказаться равными 1. В этом случае Х0 что и позволяет обнаруживать ошибки. Таким образом, контрольное число X определяется путем r проверок на четность.

Для исправления ошибок знание одного факта их воз­никновения является недостаточным, необходимо указать но­мер ошибочно принятых символов. С этой целью каждому со­четанию исправляемых ошибок в комбинации присваивается одно из контрольных чисел, что позволяет по известному кон­трольному числу определить местоположение ошибок и ис­править их.

Контрольное число X записывается в двоичной системе, поэтому общее количество различных контрольных чисел, от­личающихся от нуля, равно 2^r-1. Очевидно, это количество должно быть не меньше числа различных сочетаний ошибоч­ных символов, подлежащих исправлению. Например, если код предназначен для исправления одиночных ошибок, то число различных вариантов таких ошибок равно k + r. В этом слу­чае должно выполняться условие:

(7.11)

Формула (7.11) позволяет при заданном количестве ин­формационных символов k определить необходимое число кон­трольных символов r, с помощью которых исправляются все одиночные ошибки.

7.4. Код с четным числом единиц. Инверсный код

Рассмотрим некоторые простейшие систематические коды, применяемые только для обнаружения ошибок. Одним из ко­дов подобного типа является код с четным числом единиц. Каждая комбинация этого кода содержит помимо информа­ционных символов один контрольный символ, выбираемый равным 0 или 1 так, чтобы сумма единиц в комбинации все­гда была четной. Примером могут служить пятизначные ком­бинации кода Бодо, к которым добавляется шестой конт­рольный символ: 10101,1 и 01100,0. Правило вычисления контрольного символа можно выразить на основании (7.9) в следующей форме:

Отсюда вытекает, что для любой комбинации сумма всех символов по модулю два будет равна нулю (- суммирование по модулю):

(7.12)

Это позволяет в декодирующем устройстве сравнительно просто производить обнаружение ошибок путем проверки на четность. Нарушение четности имеет место при появлении однократных, трехкратных и, в общем случае, ошибок нечет­ной кратности, что и дает возможность их обнаружить. Появ­ление четных ошибок не изменяет четности суммы (7.12), по­этому такие ошибки не обнаруживаются.

На основании (7.8) вероятность необнаруженной ошибки равна:

К достоинствам кода следует отнести простоту кодирующих и декодирующих устройств, а также малую избыточность æ=1/(1+к), однако последнее определяет и его основной недостаток — сравнительно низкую корректирующую способность.

Значительно лучшими корректирующими способностями обладает инверсный код, который также применяется только для обнаружения ошибок. С принципом построе­ния такого кода удобно ознакомиться на примере двух комби­наций: 11000,11000 и 01101,10010. В каждой комбина­ции символы до запятой являются информационными, а пос­ледующие — контрольными. Если количество единиц в ин­формационных символах четное, т. е. сумма этих символов:

(7.13)

равна нулю, то контрольные символы представляют собой простое повторение информационных. В противном случае, когда число единиц нечетное и сумма (7.13) равна 1, контрольной символы получаются из информационных посредством инвертирования, т. е. путем замены всех 0 на 1, а 1 на 0. Математическая форма записи образования контрольных символов имеет вид:

При декодировании происходит сравнение принятых информационных и контрольных символов. Если сумма единиц в принятых информационных символах четная, т. е.:

то соответствующие друг другу информационные и контрольные символы суммируются по модулю два. В противном случае, когда , происходит такое же суммирование, но с инвертированными контрольными символами. Другими словами, в соответствии с (7.10) производится r проверок на четность:

Ошибка обнаруживается, если хотя бы одна проверка на четность дает 1.

Анализ показывает, что при наименьшая кратность необнаруживаемой ошибки g = 4. Причем не обнаруживаются только те ошибки четвертой кратности, которые искажают одинаковые номера информационных и контрольных символов. Например, если передана комбинация 10100,10100, а принята 10111,10111 , то такая четырехкратная ошибка обнаружена не будет, так как здесь все значения равны 0. Вероятность необнаружения ошибок четвертой кратности определяется выражением:

Для g > 4 вероятность необнаруженных ошибок еще мень­ше. Поэтому при достаточно малых вероятностях ошибочных символов P₀ можно полагать, что полная вероятность необнаруженных ошибок

Инверсный код обладает высокой обнаруживающей способностью, однако она достигается ценой сравни­тельно большой избыточности, которая, как нетрудно определить, составляет величину æ = 0,5.