7.5. Коды Хемминга

К этому типу кодов обычно относят систематические коды с расстоянием d=З, которые позволяют исправить все оди­ночные ошибки (7.3).

Рассмотрим построение семизначного кода Хемминга, каж­дая комбинация которого содержит четыре информационных и три контрольных символа. Такой код удовлетворяет нера­венству (7.11) и имеет избыточность:

æ

Если информационные символы занимают в комбинации первые четыре места, то последующие три контрольных сим­вола образуются по общему правилу (7.9) как суммы:

(7.14)

Декодирование осуществляется путем трех проверок на четность (7.10):

(7.15)

Так как х равно 0 или 7, то всего может быть восемь контрольных чисел Х = Х;Х2х3 : 000,100,010,001,011,101,110 и 111. Первое из них имеет место в случае правильного приема, а остальные семь появляются при наличии искажений и должны использоваться для определения местоположения одиночной ошибки в семизначной комбинации. Выясним, каким образом устанавливается взаимосвязь между контрольными числами и искаженными символами. Если искажен один из контрольных символов е₁,е'₂ или е3, то, как следует из (7.15), контрольное число примет соответственно одно из трех значений: 100, 010 или 001. Остальные четыре контрольных числа используются для выявления ошибок в информационных символах. Порядок присвоения контрольных чисел ошибочным информационным символам может устанавливаться любой, например, как показано в табл. 7.1.

Нетрудно показать, что этому распределению контрольных чисел соответствуют коэффициенты , приведённые в табл.7.2.

Если подставить коэффициенты в выражение(7.15), то получим

(7.16)

При искажении одного из информационных символов ста­новятся равными единице те суммы х, в которые входит этот символ. Легко проверить, Что получающееся в этом случае контрольное число Х=х₁х₂х₃ согласуется с табл. 7.1. Нетруд­но заметить, что первые четыре контрольные числа табл. 7.1. совпадают со столбцами табл. 7.2. Это свойство дает возмож­ность при выбранном распределении контрольных чисел со­ставить таблицу коэффициентов a_ji. Таким образом, при оди­ночной ошибке можно вычислить контрольное число, позво­ляющее по табл. 7.1. определить тот символ кодовой комбина­ции, который претерпел искажения. Исправление искажен­ного символа двоичной системы состоит в простой замене 0 на 1 или 1 на 0. В качестве примера рассмотрим передачу комбинации, в которой информационными символами явля­ются с₁с₂с₃с₄ -1011. Используя формулу (7.14) и табл. 7.2., вы­числим контрольные символы:

Передаваемая комбинация при этом будет с₁с₂с₃с₄ e₁e₂e₃e₄ -1011, 010. Предположим, Что принята комбинация 1001,010 (искажён символ с₃). Подставляя соответствующее значение в (7.16), получим:

Вычисленное таким образом контрольное число X = x₁x₂x₃ =110 позволяет, согласно табл. 7.1, исправить ошиб­ку в символе.

Здесь был рассмотрен простейший способ построения и декодирования кодовых комбинаций, в которых первые места отводились информационным символам, а соответствие меж­ду контрольными числами и ошибками определялось табли­цей. Вместе с тем существует более простой метод отыскания одиночных ошибок, предложенный впервые самим Хеммингом. При этом методе код строится так, что контрольное число в двоичной системе счисления сразу указывает номер иска­женного символа. Правда, в этом случае контрольные симво­лы необходимо располагать среди информационных, что ус­ложняет процесс кодирования. Символы в комбинациях должны размещаться в следующем порядке: , а контрольное число вычисляться по формулам:

(7.17)

Так, если произошла ошибка в информационном символе ,то контрольное число что соответствует числу 5 в двоичной системе.

В заключение отметим, что при появлении многократных ошибок контрольное число также может отличаться от нуля. Однако декодирование в этом случае будет проведено непра­вильно, так как оно рассчитано на исправление лишь одиноч­ных ошибок.