8.6. Прием сигналов как статистическая задача

Обычно задан способ передачи (способ кодирования и модуляции) и нужно определить помехоустойчивость, которую обеспечивают различные способы приема. Эти вопросы являются предметом теории помехоустойчивости, основы которой разработаны В. А. Котельниковым.

Помехоустойчивостью системы передачи информации называется способность системы различать (восстанавливать) сигналы с заданной достоверностью.

Задача определения помехоустойчивости всей системы в целом весьма сложная. Поэтому часто определяют помехоустойчивость отдельных звеньев системы: приемника при заданном способе передачи, системы кодирования или системы модуляции при заданном способе приема и т. д.

Предельно достижимая помехоустойчивость называется, по Котельникову, потенциальной помехоустойчивостью. Сравнение потенциальной и реальной помехоустойчивости устройства позволяет дать оценку качества реального устройства и найти еще неиспользованные резервы. Зная, например, потенциальную помехоустойчивость приемника, можно судить, насколько близка к ней реальная помехоустойчивость существующих способов приема и насколько целесообразно их дальнейшее усовершенствование при заданном способе передачи.

Сведения о потенциальной помехоустойчивости приемника при различных способах передачи позволяют сравнить эти способы передачи между собой и указать, какие из них в этом отношении являются наиболее совершенными.

При отсутствии помех каждому принятому сигналу х соответствует вполне определенный сигнал s. При наличии помех это однозначное соответствие нарушается. Помеха, воздействуя на передаваемый сигнал, вносит неопределенность относительно того, какое из возможных сообщений было передано, и по принятому сигналу х только с некоторой вероятностью можно судить о том, что был передан тот или иной сигнал s'. Эта неопределенность описывается апостериорным распределением вероятностей P(s/ х).

Если известны статистические свойства сигнала s и помехи w, то можно создать приемник, который на основании анализа сигнала х будет находить апостериорное распределение P(s/х). Затем по виду этого распределения принимается решение о том, какое из возможных сообщений было передано. Решение принимается оператором или самим приемником по правилу, которое определяется заданным критерием.

Задача состоит в том, чтобы воспроизвести передаваемое сообщение наилучшим образом в смысле выбранного критерия. Такой приемник называется оптимальным, а его помехоустойчивость будет максимальной при заданном способе передачи.

Несмотря на случайный характер сигналов x, в большинстве случаев имеется возможность выделить множество наиболее вероятных сигналов {х_i}, соответствующих передаче некоторого сигнала s_i Геометрическое представление позволяет множество сигналов заменить областью многомерного пространства.

Пусть область X принимаемых сигналов разбита на непрерывающиеся области Х_j(j=1, 2, …,т), причем каждому сиг­налу s_i соответствует область X_i. Если принятый сигнал по­пал в эту область, то приемник принимает решение о том, что передавался сигнал s_i . С некоторой вероятностью сигнал X_i сможет попасть в любую другую область X_j(j≠i), и тогда принимается ошибочное решение: вместо сигнала s_i воспроизводится сигнал S_j. Вероятность того, что переданный сиг­нал принят правильно, равна P(x_j/s_i), а вероятность того,что он принят ошибочно, равна Условная вероятность зависит от способа формирования сигнала, от помех, имеющихся в канале, и от выбранной решающей схемы приемника.

Полная вероятность ошибочного приема элемента сигнала, очевидно, будет равна:

(8.20)

где P(s_i) — априорные вероятности передаваемых сигналов.

В случае двоичного канала область принимаемых сигналов разбивается на две области: Х₁ и Х₂ Если сигнал х попадает в область Х₁ , то воспроизводится сигнал s₁ а если в область Х₂, то — s₂

В канале последовательность элементов входного сообщения u(t) преобразуется в последовательность элементов выходного сообщения v(t). В геометрическом представлении это означает преобразование пространства входных сообщений U в пространство выходных сообщений . При изучении каналов иногда удобно рассматривать вместо элементов исходного сообщения последовательность кодовых символов {а_i}

Канал называется дискретным, если входные и выходные пространства (сообщения) дискретны и непрерывным, если эти пространства непрерывны. Если одно из пространств дискретно, а другое — непрерывно, то канал называется дис­кретно-непрерывным или непрерывно-дискретным.

Свойства дискретного канала определены, если заданы: алфавиты входных кодовых символов и выходных , скорость передачи символов и вероятности переходов , т. е. вероятность того, что принят символ , когда был передан символ . В общем случае m¹m’и символы могут отличаться по своей природе от символов . Например, звуки речи, составляющие входной алфавит при телефонной передаче, могут воспроизводиться на приемном конце не только в виде звука, но и в виде текста.

Если вероятности Р(а'_j / a'_i) переходов для каждой пары i, j не зависят от времени и от того, какие символы передавались и принимались ранее, то такой канал называется однородным без памяти. Если эти вероятности зависят от времени, то канал называется неоднородным, а если они зависят от того, какие символы передавались и принимались ра­нее, то канал называется каналом с памятью.

Если в однородном канале алфавиты кодовых символов на входе и выходе одинаковы и для любой пары вероятности переходов постоянны то такой канал называется симметрическим (рис. 8.8.а).

Рис. 8.8. Графическое представление однородного бинарного

канала: симметрический канал (а), канал со стиранием (б).

Среди каналов, в которых алфавиты на входе неодинаковы, представляет интерес так называемый стирающий канал, в котором т' = m+1. В таком канале выходной алфавит содержит дополнительный символ а'_т+1, обозначающий "стирание". Появление этого символа на выходе означает, что переданный символ искажен помехами и не может быть опознан. Введение такого стирающего символа облегчает возможность правильного декодирования принятой кодовой комбинации. Геометрическое представление стирающего канала дано на рис. 8.86. В канале без помех каждому входному символу а_к однозначно соответствует символ a'_k на выходе (вероятно­сти неправильных переходов равны нулю).