8.5. Прием на согласованный фильтр

Существует большой класс задач, в которых требуется обнаружить сигнал, если форма его известна. К таким сигналам, в первую очередь, относятся дискретные двоичные сигналы. В этих случаях важным параметром, характеризующимкачество обнаружения, является отношение сигнала к помехе. Линейный фильтр, максимизирующий это отношение, называется оптимальным согласованным фильтром.

Пусть на входе фильтра действует сумма сигнала и помех , т. е. колебание:

Полезный сигнал рассматривается не как случайный процесс, а как функция известной формы со спектральной плотностью:

где и — амплитудный и фазовый спектры сигнала. Помеху будем считать стационарным случайным процессом типа белого шума со спектральной плотностью

Коэффициент передачи линейного фильтра запишем в виде:

Сигнал на выходе фильтра, очевидно, равен сумме полезного сигнала и :

Полезный сигнал на выходе можно записать в виде:

Пиковая мощность сигнала в некоторый момент будет равна:

мощность помехи:

Тогда превышение сигнала над помехой в момент времени t₀ будет определяться следующим выражением:

(8.14)

Необходимо найти, каким должен быть коэффициент передачи фильтра, чтобы отношение сигнала к помехе q на его выходе было максимальным. Неравенство Буняковского-Шварца имеет вид:

(8.15)

На основании этого неравенства получаем, что при любой характеристике фильтра отношение сигнала к помехе не может превосходить максимального значения:

(8.16)

Где Е — полная энергия сигнала. Указанная максимальная величина q достигается в том случае, когда коэффициент передачи фильтра имеет следующее выражение:

(8.17)

– функция, комплексного сопряжённая со спектром сигнала ; с – произвольная постоянная.

Выражение (8.17) можно записать в виде двух равенств:

(8.18)

из которых следует, что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудным спектром сигнала, а фазо-частотная характеристика определяется фазовым спектром сигнала φ(ω) и линейной функцией частоты ωt₀. Таким образом, частотная характеристика оптимального фильтра полностью определяется спектром сигнала, "согласована" с ним. Отсюда и название — согласованный фильтр.

Фаза сигнала на выходе согласованного фильтра равна:

При , т.е. в момент времени , все гармонические составляющие сигнала имеют одинаковую фазу и складываются арифметически, образуя в этот момент пик сигнала на выходе фильтра. Спектральные же составляющие помехи на выходе фильтра имеют случайную фазу. Этим и объясняется доказанное выше положение о том, что согласованный фильтр максимизирует отношение сигнала к помехе на выходе.

В качестве примера рассмотрим построение согласованного фильтра для прямоугольного видеоимпульса, заданного в виде:

Спектр такого импульса, как известно:

На основании (8.17) коэффициент передачи согласованного фильтра будет:

(8.19)

Известно, что умножение на в частотной области соответствует интегрированию в пределах от доt во временной области, а умножение на соответствует задержке сигнала на время Т.

Следовательно, фильтр с коэффициентом передачи (8.19) состоит из интегратора И, линии задержки на время Т и вычитающего устройства В (рис. 8.7а).

Рис. 8.7. Согласованный фильтр для прямоугольного видеоимпульса (а),

сигнал на его входе (б) и выходе (в).

Сигнал на выходе фильтра имеет форму равнобедренного треугольника (рис. 8.7в) с основанием 2Т и высотой, равной энергии сигнала , т. е.:

В ряде случаев согласованные фильтры оказываются практически труднореализуемыми. Поэтому часто применяют фильтры, которые согласованы с сигналом только по полосе (квазиоптимальные фильтры). Оптимальная полоса для различных импульсов различна и может быть вычислена без особых трудностей. Так, для фильтра с прямоугольной частотной характеристикой, на который воздействует радио­импульс прямоугольной формы длительностью г ₀, оптимальная

Полоса равна Можно показать, что отношение сигнала к помехе на выходе квазиоптимального фильтра по сравнению с согласованным фильтром уменьшается на величину порядка.