2.8. Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

Пусть задан сигнал s(t), обладающий конечной энергией. Это означает, что интеграл:

∞

E = s²(t)dt, (2.72)

-∞

пропорциональный величине энергии сигнала, является сходящимся.

В дальнейшем мы будем называть E энергией сигнала, не уточняя размерности s(t) (ток, напряжение, напряженность поля и т.д.).

Выразим E через модуль спектральной плотности сигнала S(). C этой целью рассмотрим периодическую функцию s_пер(t), образованную путем повторения исходной функции с выбранным периодом T.

По отношению к этой непериодической функции может быть применена формула (2.30) для средней за период мощности сигнала:

причем амплитуда n-й гармоники S_n связана со спектральной функцией S() соотношением (2.39).

_____

Энергия сигнала за период T, очевидно, равна T s²_пер(t). Устремляя T к бесконечности и совершая предельный переход аналогично тому, как это

было сделано при выводе выражения (2.34), т.е. полагая и заменяя операцию суммирования операцией интегрирования, получаем окончательно:

(2.73)

Это выражение называется равенством Парсеваля.

В отличие от выражения (2.30) формула (2.73) определяет не среднюю мощность (которая для любой непериодической, абсолютно интегрируемой функции равна нулю), а полную энергию, выделяемую сигналом s(t) за все время его действия.

По виду функции [S()²] можно судить о распределении энергии в спектре непериодической функции, и потому формула (2.73) может быть использована для выбора полосы пропускания системы передачи информации, обеспечивающей достаточно полное использование энергии сигнала. В частности, при прохождении сигнала s(t) через систему передачи с полосой пропускания от 0 до ₁, энергия на выходе будет равна:

(2.74)

где s_вых(t) – сигнал на выходе системы передачи.

2.9. Связь между временными и спектральными характеристиками сигнала

Основной вывод, который можно сделать из рассмотрения свойств непериодического сигнала, сводится к следующему: чем короче сигнал, тем шире его частотный спектр.

Такая формулировка не является строгой, так как теоретически любой сигнал конечной длительности обладает бесконечно широким спектром.

В практике под шириной спектра сигнала обычно подразумевают полосу частот, в которой сосредоточена основная доля энергии сигнала. При таком определении полосы обычно обеспечивается и достаточно удовлетворительное воспроизведение формы сигнала, хотя в некоторых случаях последнее требование заставляет сохранять в спектре более высокие частоты, чем это диктуется энергетическими соображениями.

При грубых оценках в технике широко принято считать, что произведение соответствующим образом определенной длительности сигнала на «техническую» ширину спектра близко к единице.

Таким образом:

(2.75)

Однако это сообщение относится только к управляющему сигналу (сообщению). Как будет видно из дальнейшего, спектр модулированного сигнала может быть во много раз шире.

Вычисление, которое нетрудно провести с помощью формулы (2.74)

для прямоугольного импульса, показывает, что в полосе частот

сосредоточено более 90% полной энергии импульса.

Следующее важное свойство частотного спектра сигнала конечной длины заключается в том, что в области достаточно низких частот спектральная плотность равна площади сигнала независимо от его формы. Этот вывод легко сделать из общего выражения (2.35), устремив в нем  к нулю. Очевидно:

. ∞

S() = s(t)dt. (2.76)

0 -∞

Правая часть этого выражения есть ни что иное, как площадь импульса s(t). Под «импульсом» здесь подразумевается любой сигнал конечной длительности.

Отметим, что задание модуля S(), т.е. амплитудно-частотного спектра, однозначно определяет распределение энергии сигнала по частотам [это следует из равенства Парсеваля (2.73)], но ничего не говорит о форме сигнала. Совместно же с фазо-частотной характеристикой () задание S() полностью определяет сигнал: как форму, так и положение его на оси времени.