2.6. Свойства преобразования Фурье

.

Между сигналом s(t) и его спектром S() существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием сигнала и соответствующим этому преобразованию изменением спектра. Из многочисленных возможных преобразований сигнала рассмотрим наиболее важные и часто встречающиеся.

1. Сдвиг сигналов во времени

Пусть сигнал s₁(t) произвольной формы существует на интервале

.

времени от t₁ до t₂ и обладает спектральной плотностью S₁(). При задержке этого сигнала на время t₀ (при сохранении его формы) получим новую функцию времени:

s₂(t) = s₁(t - t₀),

существующую на интервале от t₁+t₀ до t₂+t₀. Спектральная плотность сигнала s₂(t) в соответствии с (2.36):

. t₂+t₀ -jt t₂+t₀ -jt

S() =  s₂(t) e dt =  S₁(t – t₀) e dt.

t₁+t₀ t₁+t₀

Вводя новую переменную интегрирования =t – t₀, получаем:

. -jt₀ t₂ -j -jt₀ .

S() = e  S₁() e d = e S₁(). (2.48)

t₁

Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени функции s(t) на ±t₀

.

приводит к изменению фазовой характеристики спектра S() на величину ±t₀. Очевидно и обратное положение: если всем составляющим спектра функции s(t) дать фазовый сдвиг =±t₀, линейно связанный с частотой ±, то функция сдвигается на время ±t₀.

Амплитудно-частотная характеристика спектра (т.е. модуль спектральной плотности) от положения сигнала на оси времени не зависит.

Указанные свойства преобразования Фурье позволяют сформулировать требования к линейным системам, выполнение которых необходимо для неискаженной передачи сигналов: амплитудно-частотная характеристика системы должна быть равномерна, а фазо-частотная характеристика () – линейна в пределах всего спектра сигнала (или, по крайней мере, той части спектра, в которой сосредоточена основная доля общей энергии сигнала). Действительно, пусть в выражении (2.12) модуль коэффициента передачи системы не зависит от частоты и является постоянной величиной K() = K₀, а фаза – линейной функции частоты () = -t₀.

Тогда, если на входе системы передачи действует сигнал s(t) со

.

спектром S(), то на выходе будет сигнал:

Этот результат можно записать в следующей форме:

s_вых(t) = K₀  s(t – t₀).

Отсюда видно, что при прохождении через систему с равномерной амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристиками (рис. 2.12) сигнал полностью сохраняет свою форму: изменяется лишь величина сигнала (в K₀ раз), и появляется запаздывание («время пробега»), равное t₀, т.е. равное наклону фазовой характеристики системы:

(2.49)

Рис. 2.12. АЧХ и ФЧХ идеальной системы передачи информации

Отметим, что в физически выполнимых (реальных) системах передачи наклон фазовой характеристики () всегда отрицателен в полосе пропускания, так как сигнал на выходе не может опережать сигнал на входе системы.

Другие свойства преобразования Фурье приведем без доказательства.