2.7. Спектры непериодических сигналов
Как уже отмечалось, структура частотного спектра сигнала полностью определяется двумя характеристиками: амплитудно-частотной и фазо-
.
частотной, т.е. модулем и аргументом спектральной плотности S().
Определение указанных характеристик для функций s(t), отвечающих условию абсолютной интегрируемости, легко производится с помощью формул (2.36), (2.43), (2.44) и не требует дополнительных пояснений. Остановимся лишь на некоторых частных случаях, существенных для практического применения.
1. Сигнал в виде единичного скачка
Рассмотрим прежде всего единичный скачок (функцию включения), т.е. функцию, определяемую условиями (рис. 2.14):
(2.57)
Рис. 2.14. Сигнал в виде единичного скачка
∞
Для этой функции s(t)dt ∞, ввиду чего формулы (2.36) и (2.37) не
0
могут быть применены непосредственно. Можно, однако, легко обойти это затруднение, если искомую спектральную плотность функции s(t), заданной
. -at
выражением (2.57), представить как предел S() для функции s(t)e , где a – положительное число, стремящееся к нулю. Тогда в соответствии с преобразованием (2.36) искомая спектральная плотность для единичного скачка определится выражением:
(2.58)
т.е.
(2.58а)
Графики S() и () изображены на рис. 2.15.
.
Рис. 2.15.Модуль и аргумент спектральной плотности единичного скачка
2. Прямоугольный импульс
Вместо прямого использования общего выражения (2.36) для нахождения спектра прямоугольного импульса мы воспользуемся принципом суперпозиции, позволяющим находить спектр суммы или разности функций времени в виде суммы или разности соответствующих этим функциям спектров. Представим прямоугольный импульс, действующий на протяжении отрезка времени от 0 до и, в виде разности двух скачков: одного в момент t=0 и другого в момент t=и (рис. 2.16).
Рис. 2.16. Представление прямоугольного импульса
Для первого скачка в соответствии с выражением (2.58) получим спектральную плотность:
а для второго в соответствии с выражением (2.48):
Таким образом, спектральная плотность прямоугольного импульса:
(2.59)
Нетрудно определить модуль этого выражения:
(2.60)
Отметим, что для =0:
и, следовательно:
(2.61)
Таким образом, для нулевой частоты спектральная плотность прямоугольного импульса равна площади импульса. Этот вывод можно распространить на импульс произвольной формы.
Зависимость модуля S() изображена на рис. 2.17. Появление нулей в спектре прямоугольного импульса является результатом взаимной компенсации гармонических составляющих скачков s1(t) и s2(t), для которых сдвиг фаз равен целому числу 2π. Такие сдвиги получаются на частотах , отвечающих условию и=n2π, где n – любое целое число. Отметим, что график модуля спектральной плотности совпадает с графиком огибающей спектра последовательности прямоугольных импульсов (рис. 2.17).
Рис. 2.17.
Если начало отсчета времени совместить с серединой импульса (рис. 2.18), т.е. s(t) сдвинуть на величину и/2 в сторону опережения, то для полученной функции, четной относительно t, можно записать:
(2.60а)
Рис. 2.18.Импульс, симметричный относительно начала отсчета