2. Изменение масштаба времени
Пусть сигнал s(t), изображенный на рис. 2.13 сплошной линией, подвергся сжатию во времени.
Рис. 2.13.Сжатие сигнала при сохранении его формы и амплитуды
Новый сжатый сигнал s2(t) (штриховая кривая) связан с исходным соотношением:
s2(t) = s1(nt), n>1.
Длительность импульса s2(t) в n раз меньше, чем исходного, и равна и/n. Спектральная плотность сжатого импульса:
Итак, при сжатии сигнала в n раз во временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в n раз. Очевидно, что при растягивании сигнала во времени (т.е. при n<1) имеют место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.
Отсюда важный практический вывод: увеличение скорости передачи информации путем сжатия во времени ведет к необходимости расширения полосы пропускания системы передачи.
3. Смещение спектра сигнала
Применим преобразование Фурье (2.35) к произведению s(t)cos(0+0). Тогда можно получить следующее соотношение:
(2.50)
где
–
спектральная плотность сигнала s(t).
Из
выражения (2.50) следует, что расщепление
спектра 
на
две части, смещенные соответственно на
+0
и -0,
эквивалентно умножению функции s(t)
на гармоническое колебание cos(0t)
(при 0=0).
Более подробно это положение рассматривается
в главе 3 при изучении модулированных
колебаний.
4. Дифференцирование и интегрирование сигналов
Дифференцирование сигнала s1(t) можно трактовать как почленное дифференцирование всех гармонических составляющих, входящих в его
jt jt
спектр. Но производная функции e равна je , из чего непосредственно вытекают следующие соответствия:
(2.51)
Аналогичным образом можно показать, что сигналу
t
s2(t) = s1(x) dx
-∞
соответствует спектральная плотность
(2.52)
5. Сложение сигналов
Так как преобразование Фурье, определяющее спектральную плотность заданной функции времени, является линейным, очевидно, что при сложении
. .
сигналов s1(t), s2(t), …, обладающих спектрами S1(), S2(), …, суммарному сигналу
s(t) = s1(t) + s2(t) +…
соответствует спектр
. . .
S() = S1() + S2() +… (2.53)
6. Произведение двух сигналов
Пусть рассматриваемый сигнал s(t) является произведением двух функций времени f(t) и g(t), причем имеют место следующие соответствия:
. .
f(t)÷F(); g(t)÷G(). (2.54)
Тогда спектр произведения двух функций времени равен (с
коэффициентом
)
свертке их спектров:
и
(2.55)
Аналогично можно показать, что произведению двух спектров
. . .
F()G()=S() соответствует функция времени s(t), являющаяся сверткой функций f(t) и g(t):
(2.56)
Последнее выражение особенно широко используется при анализе передачи сигналов через линейные системы. В этом случае функции f(t) и g(t) имеют смысл соответственно входного сигнала и импульсной.
. .
характеристики системы передачи, а F() и G() – спектральной плотности сигнала и передаточной функции системы.