3. Треугольный импульс

Представленный на рис. 2.19а треугольный импульс определяется выражением:

(2.62)

Рис. 2.19.Определение спектральной плотности треугольного импульса

Прямое вычисление спектральной плотности треугольного импульса по формуле (2.35) несложно, но достаточно громоздко.

Воспользуемся свойствами преобразования Фурье (п. 2.6) и определим спектральную плотность функции, являющейся производной от заданного сигнала s(t). График производной показан на рис. 2.19б. Спектральная плотность положительного прямоугольного импульса длительностью _и/2 и

амплитудой по аналогии с формулой (2.60а) и с учетом сдвига середины импульса на время _и/4 относительно точки t=0:

Спектральная плотность отрицательного импульса (рис. 2.19б) соответственно:

Спектральная плотность двух импульсов:

(2.63)

Спектральная плотность треугольного импульса, являющегося интегралом от функции s’(t), получается делением предыдущего выражения (2.63) на j [см. (2.52)]:

(2.64)

Множитель – площадь треугольного импульса. График S() представлен на рис. 2.19в.

4. Бесконечно короткий импульс с единичной площадью (дельта-функция)

Рассмотрим импульс, у которого амплитуда обратно пропорциональна длительности (рис. 2.20). При стремлении длительности к нулю амплитуда обращается в бесконечность, а площадь импульса остается неизменной и равна единице.

Рис. 2.20.Импульс, переходящий в дельта-функцию

При устремлении параметра x₁ к нулю функцию на рис. 2.20 можно определить следующим образом:

(2.65)

при одновременном условии:

∞

(x)dx = площадь импульса = 1. (2.66)

-∞

Функция (x), обладающая указанными свойствами, называется единичным импульсом, импульсной функцией или дельта-функцией (а также функцией Дирака).

При сдвиге импульса по оси x на величину х₀ определения (2.65) и (2.66) должны быть записаны в более общей форме:

(2.67)

∞

(x – x₀)dx = 1. (2.68)

-∞

Функция (x) обладает важными свойствами, благодаря которым она получила широкое распространение. Из определений (2.67) и (2.68) вытекает основное соотношение:

∞ ∞

(x – x₀) f(x)dx = f(x₀) (x – x₀) dx = f(x₀). (2.69)

-∞ -∞

Так как по определению функция (x – x₀) равна нулю на всей оси x, кроме точки где она бесконечно велика, то промежуток интегрирования можно сделать сколь угодно малым, лишь бы он включал в себя точку x₀. В этом промежутке функция f(x) принимает постоянное значение f(x₀), которое можно вынести за знак интеграла. Таким образом, умножение любой подынтегральной функции f(x) на (x – x₀) позволяет приравнять интеграл произведения значению f(x) в точке x=x₀. В математике соотношение (2.69) называется фильтрующим свойством дельта-функции.

В теории передачи информации иногда говорят о стробирующем свойстве дельта-функции.

В теории сигналов приходится иметь дело с дельта-функцией от аргументов t или , в зависимости от того, в какой области рассматривается функция – во временной или частотной.

Спектральная плотность дельта-функции определяется с помощью преобразования Фурье, с учетом свойства (2.69), следующим образом:

. ∞ -jt-jt₀ ∞ -jt₀

S()=  (t – t₀)e dt = e (t – t₀)dt = e . (2.70)

-∞ -∞

Модуль этой функции равен единице, а ФЧХ:

() = -t₀.

Понятие единичного импульса широко применяется при исследовании линейных систем передачи. При этом не обязательно, чтобы амплитуда реального импульса была бесконечно велика, а длительность – бесконечно мала. Достаточно, чтобы длительность импульса была мала по сравнению с постоянной времени исследуемой цепи.

Все, что ранее было сказано относительно (t), можно распространить на () при замене t на  и  на t, т.е.:

(2.71)

Перемена знака в показателе степени в данном случае не влияет на значение интеграла.