матан ( шпора )

§19. Спрямляемая кривая и ее длина. Вычисление длины кривой.

Рассм. кривую l заданную параметрическим уравнением:

Начало - A x( ), y( ) , конец - B x( ), y( ) .

Предположим, что x (t) и y (t) - непрерывны. Разобьем

: t0 ... tk tk 1 ... tn , tk tk 1 tk ,

Опр.1 Если множество длин, вписанных в кривую l, ограничены сверху, то кривая l - спрямляющаяся, а

верхняя грань называется длиной кривой: sup L l

Ф.(2) - длина кривой, заданной параметрически.

Если кривая задана в полярной с.к уравнением r r( ),

причем , x r cos r( )cos , y rsin

§20. Площадь поверхности вращения.

Пусть кривая l, заданная параметрическими уравнениями

вращается вокруг полярной оси. Совместим дек. с пол. с.к.

§21. Применение определенных интегралов к решению физических задач.

п.1Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоских кривых.

Опр.1 Статическим моментом материальной точки отн-но неперсекающей ее прямой называется произведение массы этой точки на расстояние от точки до прямой: Sl m r Опр.2 Статическим моментом системы матер. точек отн-но

k

прямой l наз-ся сумма произведения масс этих точек на

i 1

расстояния.

Опр.3 Центром тяжести плоской материальной фигуры наз-ся точка c x, y такая, что если в этой точке сосре-

доточить всю массу плоской кривой, то статические моменты т. C относительно координат осей будут равны стат-м моментам всей плоской кривой относительнно тех же осей.

Sx (c) Sx , Sy (c) Sy , Sx (c) l y, Sy (c) l x,

aa

п.3 Теорема Гульдина

a

Т.1 Площадь поверхности, которая получается при вращении плоской прямой вокруг непересекающей ее прямой равна длине кривой на длину окружности которую описывает центр тяжести кривой.

V y2dx, y 12S y2dx, 2 yS y2dx,

V2 yS - 2-ая т. Гульдина

Т.2 Объем тела, которое получается при вращении плоской фигуры вокруг непересекающей ее прямой - произведение площади фигуры на длину окружн-ти, которую описывает центр тяжести фигуры.

Причем, очевидно, х0 [a, b]. Вследствие непрерывности функции в

Однако, в силу f (xn) ≥ n имеем

Полученное противоречие и доказывает теорему.

Вторая теорема Вейерштрасса

Непрерывная на отрезке [a, b] функция ограничена и достигает на этом отрезке своей верхней и своей нижней грани(рис. 5.19).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть f (x) C[a, b] (функция принадлежит

классу непрерывных функций на отрезке [a, b]) и

существует такая точка хn [а, b], что

,

Из последовательности xn [а, b] можно выделить сходящуюся к

некоторому значению х0 подпоследовательность:

.

В силу непрерывности функции имеем далее

.

В то же время

.

И в пределе f (x0) M. Но f (x0) не может быть больше верхней

границы М и, следовательно, f (x0) = М. Что и требовалось доказать.

Непрерывность сложной функции

Пусть функция у = φ (x) непрерывна в точке х0, а функция f (y)

непрерывна в точке у0 = φ (x0), тогда сложная функцияf(φ(x))

непрерывна в точке х0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Выберем произвольную как угодно малую окрестность U(z0) точки z0 = f (y0). Тогда в силу непрерывности

функции f (y) найдётся такая окрестность V(y0) точки у0, что, если у

V(y0), то значения функции f (y) U(z0). Далее, для полученной

окрестности V(y0) в силу непрерывности функции у = φ (x) в

точке х0 существует такая окрестность W(x0), что если х W(x0), то

значения функции у = φ(x) V(y0). Следовательно, для произвольной

точки х W(x0) следует z = f (φ(x)) U(z0). Что и требовалось

доказать.

Это можно записать ещё и так

ТЕОРЕМЫ ФЕРМА, РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА И КОШИ

Теорема Ферма.

Если функция у = f (х), определенная в интервале (а ; b), достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует производная f ′(с), то f ′(с) = 0.

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой с параллельна оси абсцисс (рис.).

Теорема Ролля. Если функция у = f (х), непрерывная на отрезке [а ; b] и дифференцируемая в интервале (а ; b), принимает на концах этого отрезка равные значения f (a) = f (b), то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что f ′(с) = 0.

Геометрически эта теорема означает следующее: если крайние ординаты кривой у = f (х) равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.).

Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и дифференцируема в интервале (а ; b), то в этом интервале

найдется такая точка с, что

Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис.): на графике функции у = f (х) между точками А и В найдется такая внутренняя точка С, что касательная к графику в точке С параллельна

хорде АВ.

Следствие. Если f ′(x) = 0 в интервале (а ; b), то в этом интервале функция f (х) постоянна.

Теорема Коши. Если функции f (х) и g (х): 1) непрерывны на отрезке

[а ; b];

2)дифференцируемы в интервале (а ; b);

3)g'(x) ≠ 0 в этом интервале,

то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что имеет место равенство