Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матан3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

160.12 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

∞

∞ n2√

e−n/x [

, 2]

23.

[4, 5]

24.

x + 1

−

lnn (x

n=1

∞

n3(√

2+sin (nx))n

∞

25.

(−∞, +∞) 26.

n=1 1 + n7x2 (−∞, +∞)

27.

∞

[0, 1]

28.

∞ xne−nx

[0, + )

∞

=1 n√n + x

n=1

∞

−

∞

29.

(0, 9]

30.

ln(1 +

)[−2, 2]

n=1

n ln

ЗАДАЧА 6.

а) Разложить функцию y = f(x), заданную на полупериоде (0, l),

в ряд Фурье по косинусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Написать равенство Парсеваля для полученного ряда. Сумму какого числового ряда можно отыскать с помощью полученного равенства ?

б) Разложить функцию y = f(x), заданную на полупериоде (0, l),

в ряд Фурье по синусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.

в) Разложить функцию y = f(x) в ряд Фурье, продолжая ее на полупериод (−l, 0) функцией, равной 0. Построить графики второй,

четвертой, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полу- ченного ряда.

1.	y = 2x − 1	(0, 1)	2.	y = 3x − 2	(0, 4)
3.	y = e2x	(0, 1)	4.	y = 4 − 2x	(0, 4)
5.	y = 2x2 + 1	(0, π)	6.	y = sin(x/2)	(0, π)
7.	y = 3x − 3	(0, 2)	8.	y = 2 − 4x	(0, 1)
9.	y = cos(x/2)	(0, π)	10.	y = 1 − x2	(0, π)

11.	y = 2x − 3	(0, 3)	12.	y = ex	(0, 1)
13.	y = 6 − 4x	(0, 3)	14.	y = x − 2	(0, 4)
15.	y = 3 sin(x/3)	(0, π)	16.	y = x − 2	(0, 2)
17.	y = 1 − x	(0, 2)	18.	y = cos(x/3)	(0, π)
19.	y = 2x + 1/2	(0, 3)	20.	y = 2 − x	(0, 2)
21.	y = 5 − 4x	(0, 3)	22.	y = ex/2	(0, 2)
23.	y = 5x − 3	(0, 5)	24.	y = x2 + 1	(0, π)
25.	y = ch(2x/3)	(0, 3)	26.	y = 2x2 + 3	(0, π)
27.	y = 1 − x	(0, 1)	28.	y = 3 − x	(0, 3)
29.	y = sh x	(0, 2)	30.	y = e−x	(0, 1)

ЗАДАЧА 7. Методом Фурье найти решение уравнения колебаний струны ∂2u ∂2u

∂t2 = ∂x2

длины l = 2, закрепленной на концах: u(0, t) = u(2, t) = 0 и удовлетворяющей следующим начальным условиям:

		u(x, 0) = f(x),				∂u(x, 0)	= ϕ(x).
		u(x, 0) = f(x),				∂t	= ϕ(x).
						∂t
	x,			f(x)			ϕ(x)
1.	x,				0 6 x 6 1		0
		2		x,	1 6 x 6 2
2.			−	0			2x − x2, 0 6 x 6 2
3.		−2x,			0 6 x 6 1		0
		2(x − 2), 1 6 x 6 2
4.				0			x2 − 2x, 0 6 x 6 2

5.	x/3,				0 6 x 6 1			0
		(2			x)/3, 1 6 x 6 2
6.				−0		4x − 2x2, 0 6 x 6 2
7.		−x,			0 6 x 6 1			0
	x				2, 1 6 x 6 2
8.			−		0	x2/4 − x/2, 0 6 x 6 2
9.		2x,			0 6 x 6 1			0
		2(2 − x), 1 6 x 6 2
10.					0	8x − 4x2, 0 6 x 6 2
11.	x2/2 − x, 0 6 x 6 2							0
12.					0		−3x,			0 6 x 6 1
							3(x − 2), 1 6 x 6 2
13.	3x2 − 6x, 0 6 x 6 2							0
14.					0	x/5,				0 6 x 6 1
							(2		x)/5, 1 6 x 6 2
15.	4x − 2x2, 0 6 x 6 2							−0
16.					0		−2x/3,			0 6 x 6 1
							2(x − 2)/3, 1 6 x 6 2
17.	−x2/2 + x, 0 6 x 6 2							0
18.					0		5x,			0 6 x 6 1
							5(2 − x),			1 6 x 6 2
19.	x/2 − x2/4, 0 6 x 6 2							0
20.					0		−x/2,			0 6 x 6 1
							(x	−	2)/2, 1 6 x 6 2
								−

21.	x/3,					0 6 x 6 1				0
		(2		x)/3, 1 6 x 6 2
22.				−0			4x − 2x2, 0 6 x 6 2
23.		−x,				0 6 x 6 1				0
	x				2,	1 6 x 6 2
24.			−		0		x2/4 − x/2, 0 6 x 6 2
25.		2x,				0 6 x 6 1				0
		2(2				x), 1 6 x 6 2
26.					−			−	x/2,			0 6 x 6 1
26.					0			−			x)/2, 1 6 x 6 2
								(2			x)/2, 1 6 x 6 2
27.	2x − x2, 0 6 x 6 2									−0
28.	x,				0		x2/2 − x, 0 6 x 6 2
29.	x,					0 6 x 6 1				0
		2			x,	1 6 x 6 2
30.			−		0			−x/3,				0 6 x 6 1
								(x		−	2)/3, 1 6 x 6 2
										−

ЗАДАЧА 8. Найти приближенное решение задачи Коши

a(x)y00 + b(x)y0 + c(x)y = f(x); y(0) = 0; y0(0) = 0.

Решение задачи Коши ищется в виде степенного ряда P∞ Ckxk,

k=0

коэффициенты которого вычисляются последовательно. Ограничи-

ваясь суммой PN Ckxk, содержащей N + 1 член ряда, получаем

k=0

приближенное решение. Оценка погрешности этого решения в работе облегчается тем, что получающиеся степенные ряды знако- чередующиеся. Требуется, чтобы эта погрешность не превосходила

0, 001 ïðè x [0, x0].

1, 16.	y00 + xy0 + 2y = x			x0 = 0, 5
2, 17.	y00 + x2y0 + 2xy = 1			x0 = 0, 5
3, 18.	y00 + x2y0 + 3xy = 3x			x0 = 0, 5
4, 19.	y00 + x2y0 + xy = 6x2			x0 = 0, 75
5, 20.	y00 + x2y0 + 2xy = x3			x0 = 1
6, 21.	y00 + x2y0 + 5xy = x			x0 = 1
7, 22.	y00 + x2y0 + 2xy = 4x2			x0 = 0, 75
8, 23.	y00 + x3y0 + 3x2y = 1			x0 = 0, 5
9, 24.	y00 + x3y0 + 3x2y = 3x			x0 = 0, 75
10, 25.	y00 + x3y0 + 4x2y = 1			x0 = 0, 5
11, 26.	y00 + x3y0		+ 4x2y = 2x	x0 = 0, 75
12, 27.	y00	+ x3y0	+ x2y = 4x2	x0 = 1
13, 28.	y00	+ x3y0	+ 2x2y = x	x0 = 0, 5
14, 29.	y00	+ x2y0	+ 2xy = x2	x0 = 0, 75
15, 30.	y00	+ xy0 + y + x = 0		x0 = 0, 75

ЗАДАЧА 9. Приближенно вычислить определенный интеграл

Z b

f(x) dx.

Для вычисления интеграла функцию f(x) разлагают на отрезке

интегрирования в степенной ряд, который интегрируют почленно. Ограничившись несколькими первыми слагаемыми полученного таким образом числового ряда, имеем приближенное значение интеграла. В работе погрешность приближения не должна превышать 0,0001, и оценка этой погрешности упрощается по тем же причинам, что и в задаче 8.

	0,1						+ x)
	R0						+ x)
1.				ln(1							dx	2.
1.							x				dx	2.
	0,2 e−x
4.	0R,1						dx					5.
4.	0R,1				x3		dx					5.
	0,5				dx
7.	R0											8.
7.	R0			1 + x4								8.
	1
10.	R0 e−x2 dx											11.
	1/3
13.	R				√	1					dx	14.
	0					1 + x4
	0,8		ln(1 + x2) dx
16.	R		ln(1 + x2) dx									17.
	0
	0,3 e−x
19.	0R,2						dx					20.
19.	0R,2			x4			dx					20.
	4				dx
22.	R2				dx							23.

		1 + x3
	0,4					x√
	0,4					x√			x
25.	R0			sin						dx		26.
25.	R0			x						dx		26.
28.	0,2			ex − 1				dx				29.
28.	R0							dx				29.
	R0				√x

0,1 sin x

0,5 arctg x

0,5

4 + x3

√

cos

x dx

0,3 sin x

√

0,6

1 + x√

0,5

e−2√

0,2

√

sin

0,2

+ x2)

ln(1

0,25

arctg √

12.

15.

18.

21.

24.

27.

30.

0R,1 1 − ex dx

0 x

0,8

R x10 sin x dx

0,5	√3
R0				dx
		1 + x3
0,25
R0	ln(1 +		√			) dx
					x

1R/2 √ dx

01 + x3

R x8 cos x dx

0,25				e2x
R0		1 −√					dx
				x
0,4 arctg x
R0		√				dx
			x
0,3
R0	cos x√						dx
					x

1R/3 √ dx

01 + x4

ЗАДАЧА 10 . (по усмотрению преподавателя)

а) Найти преобразование Фурье (спектральную плотность S(u)) следующих функций (сигналов).

б) Продолжить периодически функцию (сигнал) с интервала [0, T ] (èëè [−T/2, T/2], см. рисунок) на всю числовую прямую, разложить в ряд Фурье. Построить графики второй и третьей частичных сумм.

Âàð.1,11,21	6
	A
	A






		-





	0	T t

Âàð.3,13,23			6
Âàð.3,13,23			6
	A		@
			@
			@
−	T/2		@	@
	T/2			@
	@		0	@	-	t
	@		0	T/2		t
	@
	@		−A
	@		−A
Âàð.5,15,25
Âàð.5,15,25		6
	A
	A






					-



−T/2		0		T/2		t
−T/2		0		T/2

Âàð.7,17,27		6
Âàð.7,17,27		6
	A		T/2 -











−T/2		0			t




	−A/2
Âàð.9,19,29		6


	A
	A









				-
				-
−T/2		0	T/2		t
−T/2		0	T/2

Âàð.2,12,22	6
	A		-











−T/2	0	T/2		t
−T/2	0	T/2

Âàð.4,14,24

−T/2

0 T/2

−A

Âàð.6,16,26

	@		-
	@		-
−T/2	0	T/2		t
−T/2	0	T/2

Âàð.8,18,28

T/2

−T/2

0@@

−A

Âàð.10,20,30

HHH

H-

T t

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ)

1.Числовой ряд, его сходимость. Примеры сходящихся и расходящихся рядов: геометрическая прогрессия, гармонический ряд и другие.

2.Необходимый признак сходимости числового ряда.

3.Критерий сходимости рядов с положительными членами.

4.Признак сравнения положительных рядов, его предельная фор-

ìà.

5.Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с положительными членами.

6.Интегральный признак Коши сходимости рядов с положительными членами. Сходимость рядов вида P 1

nα .

7. Признак сходимости знакочередующегося ряда, оценка остатка.

8.Сходимость ряда из абсолютных величин членов знакопеременного ряда как достаточное условие сходимости самого ряда. Абсолютная и условная сходимость.

9.Свойства абсолютно сходящихся рядов: перестановка членов, перемножение рядов. Перестановка членов неабсолютно сходящегося ряда.

10.Функциональный ряд, его область сходимости. Равномерная сходимость. Примеры.

11.Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса.

12.Непрерывность суммы функционального ряда.

13.Теорема о почленном интегрировании функциональных ря-

äîâ.

14.Теорема о почленном дифференцировании функциональных рядов.

15.Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Поведение ряда на концах интервала сходимости.

16.Равномерная сходимость степенного ряда. Непрерывность сум-

мы степенного ряда.

17.Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенных рядов. Бесконечная гладкость суммы степенного ряда.

18.Необходимое условие разложимости функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора и Маклорена.

19.Критерий разложимости функции в степенной ряд.

20.Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд.

21.Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений, к приближенным вычислениям, к раскрытию неопределенностей.

22.Ряды Тейлора для основных элементарных функций: ex, sin x,

cos x, ln(1 + x), (1 + x)α.

23.Ортогональные и ортонормированные системы функций. Норма функции. Примеры ортогональных систем.

24.Ряд Фурье по ортогональной системе. Коэффициенты ряда Фурье.

25.Приближение функции в среднем. Сходимость в среднем ряда Фурье.

26.Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Его геометрическая интерпретация.

27.Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полнота и замкнутость ортогональной системы функций.

28.Интеграл Фурье в вещественной и комплексной форме. Преобразование Фурье.

29.Постановка краевых задач для уравнения колебаний струны.

30.Решение задачи Коши для уравнения свободных колебаний бесконечной струны методом Даламбера. Его физический смысл.

31.Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности.

32.Уравнение Лапласа. Гармонические функции и их свойства. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа.

Вопросы к зачетам и экзаменам могут быть уточнены и дополнены лектором.

Контрольные задания напечатаны в авторской редакции

Подписано в печать .07.2013. Формат 60×84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.печ.л. 1,16. Усл.кр.-отт. 4,64. Уч.-изд.л. 1,25. Тираж 130 экз. C

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образованияМосковский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики

119454, Москва, просп. Вернадского, 78

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.11.2019477.7 Кб49Мат. лог. (Л-3).doc
#
23.11.2019753.15 Кб23Мат. лог. (Л-4).doc
#
23.11.2019699.39 Кб53Мат. лог.(Л-5).doc
#
10.05.20152.7 Mб87матан ( шпора ).pdf
#
10.05.20152.8 Mб80матан ( шпора) .pdf
#
10.05.2015160.12 Кб64матан3.pdf
#
10.05.2015273.92 Кб76матан_теория.doc
#
18.12.2018107.04 Кб81Математика 3.docx
#
20.04.20191.01 Mб335Материалы к Госэкзамену (Оценка стоимости инвес....doc
#
01.07.2025524.79 Кб8Материалы к зачету (часть 2).docx
#
10.05.2015150.08 Кб80Материалы по информатике.docx