Metody_optimizatsii_Shatina_A_V

3

СОДЕРЖАНИЕ

Занятие 1.

Гладкие конечномерные задачи без ограниче-

Занятие 2.

ний .........................................................................

4

Гладкие конечномерные экстремальные зада-

Занятие 3.

чи с ограничениями типа равенств ....................

12

Гладкие конечномерные экстремальные зада-

чи с ограничениями типа равенств и нера-

Занятие 4.

венств ....................................................................

23

Элементы выпуклого анализа. Выпуклые зада-

Занятие 5.

чи .......................................................................

33

Графический метод решения задач линейного

Занятие 6.

программирования ...............................................

45

Симплекс–метод решения задач линейного

Занятие 7.

программирования ...............................................

55

Транспортная задача ...........................................

75

Занятие 8.

Простейшая задача классического вариаци-

Занятие 9.

онного

92

исчисления ...................................................

10

Занятие 10.

Задача Больца .......................................................

6

Занятие 11.

Изопериметрическая задача ...............................

12

Занятие 12.

Задача с подвижными концами ..........................

0

Занятие 13.

Задача Лагранжа ..................................................

13

Занятие 14.

Задача оптимального управления ......................

1

Задача оптимального управления (продолже-

14

ние) ........................................................................

4

Ответы к задачам для самостоятельного реше-

15

ния..................................................................

7

Список литературы ..............................................

17

0

чисел x = ( x1,..., xn ) .

В пространстве Rn

вводятся операции сложения и умноже-

ния на число:

x + y = ( x1 + y1,..., xn + yn )

x, y X ,

λx = (λx ,...,λx

n

) x Rn , λ R

.

1

ρ( x, y) = ån ( xi − yi ) 2

. Это

расстояние называют евклидовым.

i=1

n

Если в Rn ввести норму элемента x по формуле

x

=

å xi2

i=1 , то

ρ( x, y) =

x − y

.

Постановка задачи состоит в нахождении экстремума функ-

ции f ( x) :

f ( x)

→ extr .

( з)

ˆ

X называется точкой абсолютного

Определение. Точка x

или

глобального

минимума

(максимума)

функции

ˆ

absmin f

( ˆ

absmax f

)

, если

X выполнено неравен-

f : x

x

x

ство

f

(

x

)

³ f

( ˆ) (

f

(

x

)

£ f

( ˆ))

. Величина

f

( ˆ)

называется числен-

x

x

x

ным

значением задачи и обозначается

Smin ( Smax ) . Если экстре-

{ xn} , на которой f ( xn ) ® Smin ( Smax )

при n → ∞ .

▲

ˆ

называется точкой локального

Определение. Точка x Î X

минимума (максимума) функции

f

ˆ

( ˆ

)

,

: x Î locmin f

x Î locmax f

− ˆ

< δ

условию

x

x

, выполнено неравенство

(

)

³ f

( ˆ) (

(

)

£ f

(

ˆ))

f

x

x

f

x

x

.

▲

Теорема 1. (Необходимые условия локального экстремума

1-го порядка)

ˆ

( ˆ

ˆ

)

– точка локального экстремума функции

Если x =

x1

,..., xn

n переменных

f ( x) = f ( x1,..., xn )

и функция f

дифференцируема

ˆ

в точке x , то

∂ (

ˆ)

∂ (

ˆ)

′(

ˆ)

=

=

=

f

0

f x

0,...,

f x

0

x

∂x

∂x

n

■

1

.

Пусть функция

f

от n переменных определена в некоторой

окрестности точки

ˆ

( ˆ

ˆ

)

и имеет непрерывные частные

x =

x1,..., xn

производные до 2-ого порядка включительно в точке

ˆ

x . Если

ˆ

(

ˆ

)

,

то

f

′(

ˆ)

= 0, f

′′(

ˆ)[

h, h

]

³ 0,

x Î locmin f

x Î locmax f

x

x

′′(

ˆ)[

] =

n

∂

2

f

(

ˆ)

f

h,h

å

x

hi h j

(

′′

] ≤

)

n

x

∂ ∂

f

( ˆ)[

h, h

0

,

R

где

=

x

i

x

j

.

■

x

h

i, j 1

ˆ

производные до 2-ого порядка включительно в точке x . Если

1)

f

′( ˆ) =

0 ,

x

2

2 )

f

¢¢(

ˆ)[

h,h

]

³

α

h

(

f

¢¢( ˆ)[

h,h

]

α

h

"h Î R

n

2)

x

x

£ -

и некото-

0

ˆ

locmin f

(

ˆ

locmax f

)

ром

α >

, то

.

■

x

x

Условие 2) теоремы 3 является условием положительной

(отрицательной)

определенности

(

квадратичной

формы

æ

2

ˆ

) ön

(

)

ç ¶ f

÷

ˆ

x

= ç

÷

′′( ˆ)[

A x

f

h,h

]

с матрицей

è

¶xi¶x j ø

i, j

=

x

1. При практическом

рицы

A = (aij )n

i, j =1 положительны:

D

1

= a

> 0, D

2

=

a11

a12

> 0,..., D

n

= det A > 0.

11

a21

a22

n

åaij hih j (aij = a ji )

Квадратичная форма i, j =1

отрицательно опреде-

лена

(-1) k D

k

> 0,

k = 1,2,...,n

.

■

Теорема 4. (Достаточные условия локального экстремума

I-II порядка для функции двух переменных)

Пусть функция

f

двух переменных определена в некоторой

окрестности

точки

ˆ

=

( ˆ

ˆ

)

,

имеет непрерывные

частные

x

x1

, x2

f

′( ˆ) =

0

ˆ

x

.

производные до 2-го порядка включительно в точке x и

а) Если

1

>

0,

2

>

0, то

ˆ

locmin f ;

x

8

æ

¶2 f ( x)

¶2 f ( x)

ö

ç

¶x2

¶x1¶x2

÷

æ6x2

6x1 ö

A( x , x

) =

ç

÷

2

ç

2

1

2

÷

= ç

÷

1

¶

f ( x)

¶

f ( x)

ç

÷

ç

÷

è

6x1 6x2 ø

ç

¶x

2

¶x

2

÷

.

è

1

¶x2

ø

Для точки P1(1;2) :

æ12

6

ö

D

= 12 > 0,

D

= 108 > 0 Þ P (1;2) Î locmin f

A(1;2) = ç

÷,

1

2

ç

÷

1

.

è 6

12ø

Для точки P2 ( 2;1) :

æ 6 12

ö

D

= 6 > 0,

D

= -108 < 0 Þ P (2;1) Ï locextr f

A(2;1) = ç

÷,

1

2

ç

6

÷

2

.

è12

ø

Для точки P3 ( -1;-2) :

A(-1;-2)

æ−12

− 6

ö

D = -12

< 0,

D

= 108 > 0 Þ

= ç

÷,

2

ç

- 6

-12

÷

1

è

ø

Þ P3 (-1;-2) Î locmax f .

Для точки P4 (- 2;-1) :

A( - 2;-1)

æ − 6

−12

ö

D

= -6 < 0,

D

= -108 < 0 Þ

= ç

÷,

2

ç

-12

- 6

÷

1

è

ø

Далее,

Þ P4 (- 2;-1) Ïlocextr f .

f (n, n)

= 4n3 - 27n + 3 ® +¥ при n → ∞ ;

f (n,0)

= -12n + 3 ® -¥ при n → ∞ .

Поэтому Smin = -¥, Smax = +¥ .

Ответ:

(1;2) Î locmin f

;(-1;-2) Î locmax f ;

Smin = -¥,

Smax = +¥ .

●

Пример 2.

f ( x , x

2

) = x6

+ x

6

- ( x

+ x

2

)3

® extr

.

1

1

2

1

10

x1 = r cost, x2 = r sin t,

r Î[0;+¥), t Î[0;2π ) . Тогда

x

= r, f ( x) = r6 (cos6 t + sin6 t)- r3(cost + sin t)3 =

= r6 (1- 0,75sin2 2t)- 2

r3 sin3(t + π 4)

³ 1 r6 - 2

r3

Þ

2

2

Þ lim

f ( x) = +¥.

4

x

→∞

Согласно

следствию

теоремы

Вейерштрасса

P (3

S

= f

(3

2;3 2)Î absmin f

,

min

2;3 2) = -8

.

1