Краткий курс математического анализа. Том 1

Из свойств 2◦ и 3◦ показательной функции следуют соответствую-

Докажем, например, формулу (8.28). Согласно свойству 3◦ пока-

Из формул (8.27) и (8.28) следует формула для логарифма част-

С помощью перечисленных свойств показательной и логарифмической функций можно получить и другие их свойства.

Докажем, например, равенство

(ab)x = axbx, a > 0, b > 0.

В случае a = 1 или b = 1 написанное равенство очевидно. Если же a = 1 и b = 1, то

(ab)x = (aalna b)x =(a1+lna b)x = ax(1+lna b) =

8.3. Степенная функция. Функция y = xα, x > 0, называется

степенной функцией (α R).

Те о р е м а 4. При любом α R степенная функция xα непрерывна при всех x > 0.

Это сразу следует из того, что степенную функцию xα можно представить как композицию непрерывных функций — логарифмической и показательной. В самом деле, поскольку x = eln x, то

y = xα = eα ln x = eu, u = α ln x.

В точке x = 0 функция xα определена не для всех значений пока-

148 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Это определение согласуется с тем, что при рациональных α = r > 0 имеет место 0r = 0. Кроме того, естественность определения (8.30) оправдывается и тем, что, если в определении (8.7) взять a = 0 (раньше предполагалось, что a > 0), то будем иметь

0α = lim 0r = 0, α > 0.

r→α, r Q, r>0

При определении (8.30) функция xα оказывается непрерывной справа в точке x = 0 при любом α > 0.

Функция xα может оказаться определенной при некоторых рациональных α = 0 и для x < 0, например, x±n, x±1/(2n−1), n N.

Степенная функция xα непрерывна во всех точках, в которых она определена. Это следует из того, что если она определена при x < 0, то является четной или нечетной функцией.

8.4. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Л е м м а 2. Для любого действительного числа x имеет место неравенство

Те о р е м а 5. Функции y = sin x и y = cos x непрерывны на всей числовой оси.

обращаются в нуль.

Это сразу следует из непрерывности частного непрерывных функций в точках, в которых делитель не обращается в нуль (см. следствие из свойства 6◦ пределов функций в п. 6.7).

8.5. Элементарные функции.

Те о р е м а 7. Каждая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

В самом деле, согласно теоремам 1–6 все основные элементарные функции непрерывны на множествах, на которых они определены. Поэтому непрерывна в области своего определения и каждая функция, которая может быть получена из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий и операции композиции функций, т. е. каждая элементарная функция (определение элементарной функции см. в п. 3.2).

§9. Сравнение функций

9.1.Замечательные пределы. В этом пункте будут вычислены пределы lim sin x , lim (1 + x)1/x, lim ln(1 + x) , lim ax − 1 , которые

x x→0 x→0 x x→0 x

обычно называются замечательными пределами. I. Докажем, что

150 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Перейдя в этом неравенстве к пределу при x → 0 и заметив, что в силу непрерывности функции cos x при x = 0

имеет место равенство lim cos x = 1, получим

x→0

lim x = 1, x→0 sin x

что равносильно равенству (9.1). С помощью предела (9.1) вычисляется ряд других пределов, на-

Более того, из замечания 2 в п. 6.1 следует, что для любой последовательности nk N, nk → +∞, k = 1, 2, ..., также имеет место

Вэтом случае существует такая постоянная c > 0, что для всех x X ∩ U выполняется неравенство

Условие (9.20) равносильно условиям (9.18) и (9.19). Действительно, если выполняется условие (9.20), то при

выполняются условия (9.18) и (9.19).

Если функция f ограничена относительно функции g в окрестности точки x0, то пишут

(читается: f есть «O большое» от g).

О п р е д е л е н и е 2. Функция f называется функцией того же порядка при x → x0, что и функция g, если существуют такие посто-

янные c1 > 0 и c2 > 0, что для всех x X ∩ U выполняется неравенство

Если функция f того же порядка при x → x0, что и функция g, то

пишут f = g, x → x0.

Очевидно, что функция f того же порядка при x → x0, что и функ-

ция g, тогда и только тогда, когда f = O(g) и g = O(f ), x → x0.

О п р е д е л е н и е 3. Функция f называется бесконечно малой относительно функции g при x → x0, если функция ϕ бесконечно малая

(читается: f есть «o малое» от g при x → x0).

154Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Оп р е д е л е н и е 4. Функция f называется эквивалентной функции g (или асимптотически равной ей) при x → x0, если

бесконечно малой более высокого порядка, чем бесконечно малая g.

В случае f = o(gn), x → x0, бесконечно малую f называют бесконечно малой порядка n относительно бесконечно малой g.

З а м е ч а н и е 2. Если в условиях определений 3 или 4 функция g не обращается в нуль на множестве X ∩ U и x0 X, то условие (9.24)

то функция f (x) ограничена на пересечении некоторой окрестности g(x)

U (x0) точки x0 с множеством X (см. свойство 1◦ пределов функций в п. 6.7), т. е. существует такая постоянная c > 0, что для всех x X ∩

∩ U (x0) выполняется неравенство fg((xx)) c, т. е.

|f (x)| c|g(x)|,

откуда следует, что при выполнении условия (9.29) имеет место соот-

ношение

f (x) = O(g(x)), x → x0.

З а м е ч а н и е 4. В определениях 1–4 функции f и g могут быть последовательностями f = {xn}, g = {yn}, и, таким образом, указанные определения содержат в себе определения следующих понятий:

а) последовательности, ограниченной относительно другой после-

довательности: xn = O(yn), n → ∞;

б) последовательностей одного порядка: xn = yn, n → ∞;

в) асимптотически равных последовательностей: xn yn, n → ∞;

г) последовательности, бесконечно малой по сравнению с другой

Верно и соотношение x = O(sin 2x), x → 0, ибо существует конеч-

x→

чена в некоторой окрестности U (0) точки x = 0 (см. свойство 1◦ пределов функций в п. 6.7). Иначе говоря, существует такая постоянная

Из (9.30) и (9.31) следует, что при x → 0 функции y = x и y = sin 2x

целые классы функций, обладающих по сравнению с данной функцией определенным свойством, поэтому равенства типа f (x) = O(g(x)) и f (x) = o(g(x)), x → x0, следует читать только слева направо, например, x2 = o(x), x → 0. Здесь верно то, что функция y = x2 является при x → 0 бесконечно малой по сравнению с функцией y = x, но не всякая функция, бесконечно малая по сравнению с функцией y = x, является функцией y = x2, т. е. o(x) = x2. Иначе говоря, равенства с символом «o малое», как и равенства с символом «O большое» не обладают свойствами симметричности. Эти равенства не обладают и свойством транзитивности:

x2 = o(x), x3 = o(x),

но x2 = x3.

9.3. Эквивалентные функции. Примеры эквивалентных функций (см. определение 3 в п. 9.2) легко получить из результатов в п. 9.1:

x sin x tg x arcsin x arctg x ln(1 + x) ex − 1, x → 0.

156Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Те о р е м а 1. Для того чтобы функции f (x) и g(x) были эквивалентны при x → 0, необходимо и достаточно, чтобы

Формула (9.32) является просто другой записью определения 4.

т.е. условию f (x) = g(x) + o(g(x)), x → x0.

За м е ч а н и е 1. Если g(x) = 0, x X, x = x0, то условие (9.32) можно записать в виде

lim f (x) − g(x) = 0.

x→x0 g(x)

Оно означает, что относительная погрешность f (x) − g(x) между экви- g(x)

Те о р е м а 2. Если f (x) f1(x), g(x) g1(x), x → x0, то пределы

Условия f f1 и g g1, x → x0 означают, что существуют такие окрестность U = U (x0) и функции ϕ и ψ, определенные на пересечении X ∩ U , что