200 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных
Для любого разбиения τ = {ti}ii==i0τ отрезка [a, b] мелкости |τ | < δ для любых точек ξi и ηi, принадлежащих одному и тому же отрезку разбиения τ :
ξi [ti−1, ti],
ηi [ti−1, ti],
i = 1, 2, ..., iτ ,
(45.28)
и следовательно, таких, что
будем иметь
|ηi − ξi| xi − xi−1 |τ | < δ,
x (η )
−
x (ξ )
|
<
ε
.
(45.29)
a)
|
i
i
(45.27) c(b
−
Поэтому
iτ
στ
στ
=
x (ξi)Δti
iτ
iτ
(45.21)
−
| − | (45.24) i=1
ε
|F (M (ξi))||(x (ηi) − x (ξi)| ti (45.26) c c (b a)
ti = ε. (45.30)
=1
(45.29)
−
i=1
i
Это означает, что
lim
=
0
(45.31)
Отсюда следует, что
|τ|→ 0(στ − στ ) (45.30) .
lim
στ
= lim
+ σ
) = lim
σ
) +
lim σ
=
|τ|→ 0
|τ|→ 0(στ − στ
τ
|τ|→ 0(στ − bτ
|τ|→ 0
τ
(45.31)
=
lim
στ
=
F (M (t))x (t) dt. (45.32)
(45.31) |τ|→ 0
(45.25)
a
Но в силу формулы (45.19) при Q = R = 0 имеем
b
F (M (t))x (t) dt =
F (x) dx.
(45.33)
a
Γ
Таким образом,
b
lim
σ
=
F (M (t))x (t) dt
=
F (x) dx,
|τ|→ 0
τ
(45.32) a
(45.33) Γ
т. е. формула (45.22) доказана.
Аналогичным образом доказывается, что и криволинейные ин-
тегралы вида F dy,
F dz являются пределами соответствующих
ΓΓ
§ 45. Криволинейные интегралы
201
интегральных сумм типа (45.21). В эти суммы не входят производные координатных функций x(t), y(t), z(t) представления кривой, по которой производится интегрирование. Поэтому с помощью таких сумм можно получить обобщение понятия криволинейного интеграла второго рода, данного выше (см. определение 2), а именно без предположения гладкости кривой, по которой производится интегрирование.
45.4. Обобщение понятия криволинейного интеграла второго рода. Пусть дана кривая Γ = {M (t), a t b}, M (t) =
= (x(t), y(t), z(t)) и пусть F = F (M (t)) — заданная на кривой Γ функ-
ция, τ = {ti}ii==i0τ — разбиение отрезка [a, b], i x = x(ti) − x(ti−1), ξi
[ti−1, ti], i = 1, 2, ..., iτ .
Положим
iτ
στ =
i
F (M (ξi))Δi x.
=1
О п р е д е л е н и е 3.
Если существует предел
lim στ , то он назы-
вается криволинейным интегралом второго рода |
τ|→ 0
F dx от функции F
по кривой Γ:
Γ
def
lim
σ
.
(45.34)
Γ F dx =
|τ|→ 0
τ
Теорема 1 п. 45.3 показывает, что в случае, когда кривая Γ гладкая, определения 2 и 3 равносильны, так как приводят к одному и тому же интегралу по отрезку (см. (45.32) и (45.33)). Однако предел (45.34) может существовать не только для гладких кривых.
Например, пусть кривая Γ является графиком непрерывной функции: Γ = {y = f (x), a x b}, где функция f непрерывна на отрезке [a, b] и пусть функция F = F (x, y) определена на кривой Γ и, следовательно, функция F (x, f (x)) также определена на отрезке [a, b]. В этом случае параметром на кривой является t = x, поэтому
i x = xi − xi−1 = xi,
и суммы στ имеют вид
iτ
i
στ =
F (ξi, f (ξi))Δxi,
=1
т. е. являются обычными интегральными суммами Римана для функции F (x, f (x)).
Если функция F (x, y) непрерывна на кривой Γ, то функция F (x, f (x)) непрерывна, а потому и интегрируема на отрезке [a, b],
202 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных
т. е. интегральные суммы στ
при
τ
0 стремятся к интегралу от
функции F (x, f (x)):
b
| | →
lim
,
|τ|→ 0 στ = a
F (x
f (x)) dx.
Поэтому в этом случае существует криволинейный интеграл второго рода
b
F dx =
F (x, f (x)) dx.
(45.35)
Γ
a
Таким образом, мы снова получили формулу (45.20), но на этот раз исходя из определения 3, т. е. без предположения гладкости кривой Γ.
З а м е ч а н и е 1. Криволинейный интеграл, определенный по формуле (45.34), при изменении ориентации кривой Γ меняет знак:
F dx = −
F dx.
(45.36)
Γ+
Γ−
(Здесь, конечно, остается в силе комментарий, помещенный в скобки после формулы (45.15).)
В самом деле, при изменении ориентации отрезка [a, b], т. е. при замене параметра t на кривой Γ на параметр t по формуле
t = a + b − t , a t b,
приращения i x = x(ti) − x(ti−1) функции x(t) в интегральных суммах στ меняют знак, следовательно, меняют знак и сами эти
суммы. Таким образом, интегральные суммы типа στ для кривых
Γ+ = {M (t), a t b} и Γ− = {M (a + b − t ); a t b} так же как и их пределы при |τ | → 0 отличаются только знаком. Это и означает справедливость формулы (45.36).
За м е ч а н и е 2. Пусть
иg(x) и пусть τ = {xi}ii==i0τ
− g(xi−1), ξi [xi−1, xi], i =
на отрезке [a, b] заданы функции f (x)
разбиение этого отрезка, i g = g(xi) −
1, 2, ..., iτ , и
iτ
def
i
στ (f , g) ≡ στ (f , g; ξ1, ξ2, ..., ξiτ ) =
f (ξi)Δi g.
(45.37)
=1
Функция f называется интегрируемой по функции g на от-
резке [a, b],
если для любой последовательности разбиений τn =
= {xi(n)}ii==0iτn
этого отрезка такой, что
τlim
|τn| = 0, и для любого
выбора точек
(n) (n)
| |→∞
n = 1, 2, ..., y последо-
ξin [xi−1, xi
], i = 1, 2, ..., iτn ,
вательности στn (f , g) существует и притом один и тот же предел
§ 45. Криволинейные интегралы
203
при n → ∞. Этот предел обозначается
b
f (x) dg(x) и называется ин-
a
тегралом Стилтьеса 1) функции f (x) по функции g(x).
Таким образом,
b
f (x) dg(x) = lim
στ (f , g).
(45.38)
|τ|→ 0
a
В случае g(x) ≡ x интеграл Стилтьеса является, очевидно, интегралом Римана.
Из определения 3 криволинейного интеграла видно, что, используя понятие интеграла Стилтьеса, можно сказать, что криволинейный интеграл F dx является интегралом Стилтьеса функции F (M (t)) по
Γ
функции x(t):
b
F dx = F (M (t)) dx(t),
Γ
a
или, подробнее,
b
F (x, y, z) dx = F (x(t), y(t), z(t)) dx(t),
(45.39)
Γ
a
где M (t) = (x(t), y(t), z(t)).
Пусть в случае кривой
Γ = {y = f (x); a x b},
(45.40)
заданной явно, существует такое непрерывно дифференцируемое преобразование параметра
x = x(t), α t β,
(45.41)
что функция y = f (x(t)) является непрерывно дифференцируемой (функция f предполагается только непрерывной) и xt2 + yt2 > 0. Тогда
кривая
Γ1 = {x = x(t), y = f (x(t)); α t β},
полученная из кривой Γ преобразованием параметра (45.41), является гладкой (т. е. непрерывно дифференцируемой) и не имеет особых точек, а следовательно, в каждой ее точке существует касательный вектор τ = (cos α, sin α), где α — угол, образованный вектором τ с осью Ox.
Сделав в интеграле, стоящем в правой части равенства (45.35), замену переменной (45.41) и воспользовавшись формулой (45.19)
1) Т. И. Стилтьес (1856–1894) — нидерландский математик.
204 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных
(при Q = R = 0), получим
b b
F (x, y) dx =
F (x, f (x)) dx =
F (x(t), f (x(t)))x (t) dt =
(45.35)
(45.41)
(45.19)
Γ
a
a
=
F (x, y) dx = F (x, y) cos α ds.
(45.19)
(45.14)
Γ1
Γ1
Таким образом, несмотря на то, что в рассматриваемом случае представление кривой Γ (45.40) не являлось, вообще говоря, дифференцируемым, для нее, какова бы ни была непрерывная на ней функция F , при надлежащем выборе параметра справедлива формула
F (x, y) dx =
F (x, y) cos α ds.
(45.42)
Γ
Γ1
Обычно в правой части этой формулы вместо Γ1 пишут Γ, рассматривая Γ и Γ1 как «одну и ту же кривую» с разными параметризациями.
В результате преобразования параметра (45.41) из кривой Γ получилась гладкая кривая Γ1. Один из простейших примеров подоб-
ной ситуации дает полуокружность, заданная как график функции y = √1 − x2 , −1 x 1 (y = √1 − x2 не имеет конечных произ-
водных в точках x = ±1). Если сделать преобразование параметра x = cos t, то та же полуокружность будет задаваться непрерывно дифференцируемым вплоть до концов отрезка представлением x = cos t, y = sin t, 0 t π, и, следовательно, для нее справедлива формула (45.42).
В связи со всем сказанным оказывается целесообразным следующим образом расширить понятие гладкой кривой.
О п р е д е л е н и е 4. Кривая Γ = {x(t), y(t), z(t); a t b} называется гладкой, если существует такое преобразование параметра t = f (u), c u d, что кривая {x(t(u)), y(t(u)), z(t(u)); c u d}
является непрерывно дифференцируемой и xu2 + yu2 + zu2 = 0.
Иначе говоря, после преобразования параметра в кривой Γ получается гладкая кривая в смысле данного ранее определения в п. 17.1.
Кривая, являющаяся объединением конечного множества гладких (в новом, более общем, чем раньше, смысле, т. е. в смысле определения 3), называется, как и прежде, кусочно-гладкой.
Аналогично понятию интеграла F (x, y, z) dx обобщаются и по-
Γ
нятия криволинейных интегралов второго рода вида F (x, y, z) dy
Γ
§ 45. Криволинейные интегралы
205
и F (x, y, z) dz: они также определяются как пределы соответствую-
Γ
щих интегральных сумм. Таким образом, в новом обобщенном смысле можно рассматривать и интегралы вида
P dx + Q dy + R dz,
(45.43)
Γ
определив их как сумму интегралов
P dx, Q dy и
R dz. Интеграл
Γ
Γ
Γ
(45.43) в случае гладких кривых совпадает с интегралом того же вида, рассмотренным в п. 45.2.
Криволинейные интегралы второго рода в смысле определения 2 можно брать и по кусочно-гладкой кривой, т. е. по кривой, являющейся объединением конечного множества гладких кривых. При этом указанный интеграл будет равен сумме интегралов по гладким частям кривой, и, тем самым, он и в этом случае будет равен соответствующему интегралу второго рода в смысле определения 2 (см. замечание в конце п. 45.2).
45.5. Формула Грина. Пусть на плоскости задана правая си-
стема координат. Ориентация простого замкнутого контура, лежащего на этой плоскости, называется положительной, если она соответ-
ствует движению против часовой стрелки, т. е. если при движении по контуру в соответствии с ориентацией конечная часть плоскости,
ограниченная контуром, остается слева. Противоположная ориентация называется отрицательной.
Если на плоскости задана левая система координат, то положительной ориентацией простого замкнутого контура (соответствую-
щей этой системе координат) называется его отрицательная ориентация при правой системе координат.
Конечно, все сказанное имеет чисто наглядный характер и не является математическим определением, так как «левая (правая) система координат», «движение против (по) часовой стрелки» являются физическими, а не математическими понятиями. Например, если рассмотреть множество двумерных векторов как упорядоченную пару двойственных чисел (x, y), то базис (1, 0) и (0, 1) можно назвать как правым, так и левым. Иначе говоря, понятие правой и левой системы координат не имеет однозначного смысла.
Чтобы сформулировать математическое определение положительной ориентации простого замкнутого контура на плоскости, ограничимся непрерывно дифференцируемыми контурами. У непрерывно дифференцируемого контура единичный касательный вектор τ меняется непрерывно при изменении параметра контура. Если рассматриваемый контур простой и замкнутый, то обозначим ν единичную нормаль к контуру, направленную в каждой точке контура в сторону
206 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных
конечной области, ограниченной контуром. Эта нормаль называется
внутренней.
Непрерывно дифференцируемый замкнутый контур называется положительно ориентированным при заданном на плоскости базисе
i, j, если упорядоченная пара векторов τ , ν ориентирована так же, как пара базисных векторов i, j, т. е. опре- делитель матрицы перехода от i, j к τ , ν —
положителен.
Наглядной интерпретацией этого определения и являются рассуждения, приве-
денные в начале этого пункта. Положительно ориентированный про-
стой замкнутый контур Γ будем обозначать через Γ+, а отрицательно
ориентированный — через Γ− (на рис. 39 изображен случай правой системы координат). Будем говорить, что обход контура, соответ-
ствующий положительной (отрицательной) ориентации, происходит в положительном (соответственно в отрицательном) направлении.
Ограниченная область G на плоскости переменных x, y называется элементарной относительно оси y, если существуют такие две
непрерывные на некотором отрезке [a, b] функции ϕ и ψ, ϕ(x) < ψ(x)
при x [a, b], что (рис. 40)
G = {(x, y) : a < x < b, ϕ(x) < y < ψ(x)}.
(45.44)
Аналогично определяется плоская область, элементарная относительно оси x.
Граница области G, элементарной относительно некоторой координатной оси, является, очевидно, простым замкнутым контуром. Как и всякую границу, будем его обозначать ∂G, а в случае, когда он положительно (отрицательно) ориентирован, — через ∂G+ (соответственно через ∂G−).
Область, элементарная относительно какой-либо координатной оси, квадрируема, так как ее граница состоит из четырех графиков непрерывных на некоторых отрезках функций. Например, в случае
§ 45. Криволинейные интегралы
207
(45.74), т. е. области, элементарной относительно оси y, ее граница ∂G состоит из графиков непрерывных на отрезке [a, b] функций ϕ и ψ, а также графиков двух постоянных (относительно переменной y) на
соответствующих отрезках функций. Область, элементарная относительно обеих координатных осей, просто называется элементарной.
Если функция f задана на замыкании G области G, то может случиться, что в некоторой граничной точке этой области не имеет смысла говорить о той или иной частной производной. Например, если функция f задана только на круге x2 + y2 1, то в точке (0, 1)
нельзя говорить о производной ∂f∂x , так как функция f не определена в точках прямой y = 1, кроме точки (0, 1) (рис. 41).
Оказывается удобным ввести понятие непрерывности частных производных вплоть до границы области следующим образом. Пусть
функция f имеет в области G, например, частную производную ∂f∂x . Будем говорить, что эта частная производная непрерывна на замыкании G области G, если ∂f∂x непрерывно продолжаема с области G
на ее границу, т. е. если существует непрерывная на G функция, совпадающая на области G с частной производной ∂f∂x .
Это определение, очевидно, имеет смысл для функций любого числа переменных. С понятием непрерывной продолжаемости функций мы уже встречались в п. 44.3.
Можно показать, что в том случае, когда в граничной точке области существует некоторая (быть может, односторонняя) частная производная, она совпадает с непрерывным продолжением (если оно, конечно, существует) этой производной из области на ее границу; это вытекает из следствия 2 теоремы 3 из п. 12.2. Этим обстоятельством оправдывается вышеприведенное определение непрерывности частной производной в замыкании области.
Ле м м а 2. Если область G элементарная, а функции P = P (x, y)
иQ = Q(x, y) непрерывны вместе со своими производными ∂P∂y и ∂Q∂x на замыкании G области G, то
G
∂Q
−
∂P
dx dy = ∂G+ P dx + Q dy.
(45.45)
∂x
∂y
Эта формула называется формулой Грина 1). Она является обоб-
b
щением формулы Ньютона–Лейбница
f (x) dx = f (b)
−
f (a)
на слу-
a
чай функций двух переменных.
1) Д. Грин (1793–1841) — английский математик.
208 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных
Рассмотрим интеграл
∂P
dx dy. Так как область G — элемен-
∂y
G
тарная относительно оси Oy, то его можно свести к повторному. Проделав это и применив затем формулу Ньютона–Лейбница, получим (см. рис. 40, на котором изображен случай правой системы координат)
∂P
dx dy
=
∂y
(45.44)
G(43.6)
b
ψ(x)
b
= dx
∂P
dy =
,
ψ(x))
,
ϕ(x))) dx
=
(45.44)
∂y
(P (x
− P (x
(45.35)
(43.6) a
ϕ(x)
a
=
P dx
−
P dx =
−
P dx
−
P dx. (45.46)
(45.35)
A1B1
AB
B1A1
AB
Отрезки A1A и BB1 являются, очевидно, гладкими кривыми. Они
параллельны оси Oy, поэтому их касательные, совпадающие с ними по
π
направлению, образуют с осью Ox прямой угол α = 2 . Следовательно, в формуле (45.14) (в ней надо положить Q = R = 0) cos α = 0, а значит,
P dx = P dx = 0.
A1A BB1
В силу этого равенства (45.46) можно записать в виде
∂P
dx dy = −
P dx −
P dx − P dx −
P dx =
G
∂y
B1A1
A1A
AB
BB1
= − P dx. (45.47)
∂G+
Аналогично, исходя из того, что область элементарна относительно оси Ox, доказывается, что
∂Q
dx dy = Q dy.
(45.48)
∂x
G∂G+
Вычтя из равенства (45.48) равенство (45.47), получим формулу (45.45).
Если граница открытого плоского множества G состоит из ко-
нечного или бесконечного множества простых замкнутых контуров, то ее положительной ориентацией (при правой системе координат)
называется совокупность таких ориентаций этих контуров G, что при
§ 45. Криволинейные интегралы
209
обходе по ним в соответствии с их ориентацией множество всегда
остается слева (рис. 42). Противоположная ориентация контуров называется отрицательной ориентацией
указанной границы.
Положительно ориентированная гра-
ница ∂G открытого множества G обозначается ∂G+, а отрицательно — ∂G−.
Граница открытого плоского множества называется кусочно-гладкой, если
она состоит из конечного числа простых кусочно-гладких контуров.
Так как площадь кусочно-гладкой кривой, как и всякой спрямляемой кривой, равна нулю (п. 42.2), то и площадь
границы плоского открытого множества, если эта граница кусочногладкая, равна нулю, а следовательно, само множество квадрируемо (см. п. 42.1).
Если область G такова, что существуют такие элементарные области Gi, i = 1, 2, ..., m, что
i
m
G
=
G
i,
(45.49)
=1
Gi
+ Gj = , i = j,
i, j = 1, 2, ..., m,
(45.50)
то говорят, что область G можно разбить на конечное множество элементарных областей.
Те о р е м а 2. Если G — ограниченная область, граница которой состоит из конечного множества простых замкнутых контуров и которую можно разбить на конечное множество элементарных областей, а функции P = P (x, y) и Q = Q(x, y) непрерывны вместе
со своими частными производными ∂P∂y и ∂Q∂x на замыкании G области G, то имеет место формула Грина
G
∂Q
−
∂P
dx dy = ∂G+ P dx + Q dy.
(45.51)
∂x
∂y
С л е д с т в и е. Если в дополнение к условиям теоремы граница ∂G области G кусочно-гладкая, то формулу (45.51) можно записать в виде
G
∂Q
−
∂P
dx dy = ∂G+(P cos α + Q cos β) ds,
(45.52)
∂x
∂y
где (cos α, cos β) — единичный касательный к границе ∂G области G вектор (конечно, в тех точках, в которых он существует).
делитель матрицы перехода от i, j к τ , ν —
