Основы теории рядов

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ И УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

ЧАСТЬ I ИЗДАНИЕ ПЕРВОЕ

МОСКВА 2014

1. Числовой ряд, его сходимость. Примеры сходящихся и расходящихся рядов: геометриче- ская прогрессия, гармонический ряд и другие.

Ответ: Рядом в математике называется бесконечная сумма, слагаемых подобранных по определенному правилу. Ряд записывается так:

1

X

an

n=1

Не все ряды сходятся, существуют так же и расходящиеся ряды, примером является гар-

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + n = n=1 n

Сходящимися же рядами являются убывающие геометрические прогрессии, т.е. каждый следующий член ряда домножается на некоторое число q < 1, называемое разностью геомет-

рической прогрессии, например, ряд:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + + 2n = n=0 2n

Как видно каждый следующий член умножается на 1=2 поэтому ряд сходится, и его сумму можно вычислить, и сумма S = 2.

Существует так же общий ряд Дирихле:

Такой ряд чаще всего используется для сравнения, как видно при > 1 ряд всегда сходится, а при 6 1 ряд всегда расходится.

2. Необходимый признак сходимости числового ряда.

Ответ: Одним из признаков сходимости ряда, является необходимый признак сходимости ряда:

Ряд сходится, если предел общего члена ряда нуль, при n ! 1, ò.å. limn!1 an = 0

Но этот признак не является достаточным для установления сходимости, например, гармо-

нический ряд:

1

X n1 = 1 + 12 + 13 + 14 + 15 + + n1

n=1

lim 1 = 0

n!1 n

Как видно, предел общего члена ряда равен нулю, но при этом ряд расходится, поэтому здесь необходимые более точные признаки.

4

3. Критерий сходимости рядов с положительными членами.

Ответ: Ряд с положительными членами будем называть положительным рядом , ò.å. ýòî

ðÿä:

1

X

n=1

Сходимость таких рядов рядов можно установить исходя из критерия Коши:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + + 2n = n=0 2n

Тогда частичные суммы для данного ряда будут равны:

Как видно каждая последующая сумма больше предыдущей, но limn!1 Sn = 2. Тогда критерий сходимости Коши, можно записать в в терминах " " ":

8" > 0; 9N"; n > N" : jSn+1 Snj < "

4. Признак сравнения положительных рядов, его предельная форма.

Ответ: Сходимость рядов можно устанавливать так же с помощью сравнения с другим

P

an расходится.

n=1

Наиболее удобным является признак сравнения в предельной форме:

p < 1, то оба ряда будут сходится.

будут расходится.

Например:

5

Получили p = 1, как видно 0 6 p < 1, поэтому оба ряда сходятся.

5. Признак Даламбера и Коши сходимости рядов с положительными членами.

Ответ: Одним из признаков сходимости положительных рядов является признак Даламбера:

Если же p = 1, то признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда, если p < 1 ряд сходится, p > 1 ряд расходится.

Дополнение: Признак Даламбера удобнее всего использовать в случае рядов с факториа-

Получиили p = 0, причем p < 1, значит исходный ряд сходится.

Еще одним из удобных признаков определения сходимости ряда, является радикальный признак Коши:

1

P

Положительный ряд an сходится только в том случае,

Как видно, при p < 1 ряд сходится, при p > 1 ряд расходится, при p = 1 радикальный

признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Дополнение: Радикальный признак Коши удобнее применять для рядов со степенью n,

удобными будут следующие равенства:

p

lim n const = 1

n!1

p

lim n f(n) = 1

n!1

Последнее тождество не всегда верно, если f(n) = n!, в таких случаях следует использовать признак Даламбера.

6

Как видно p = 2, причем p > 1 следовательно ряд расходится.

6. Интегральный признак Коши, сходимость рядов с положительными членами. Сходи-

P1 1

мость рядов вида n=1 n .

Ответ: В некоторых случаях, для установления сходимости ряда, используется инетегральный признак Коши:

Как видно, если первообразная в исходных подстановках, имеет значение меньшее бесконечности, то ряд сходится, в противном случае ряд расходится.

Дополнение: Данный признак не всегда получится использовать, т.к. не все функции интегрируемы, но лучше подходит для определения сходимости рядов, которые содержат логариф-

ìû.

1 1

P

Например: Установим поведение ряда n=1 n ln n, воспользуемся радикальным признком Ко-

Теперь рассмотрим предел отдельно:

(

1> 1 : p = 0

Теперь можем записать конечный результат:

Получаем, что ряд сходится при > 1 и расходится при 6 1.

7

7. Признак сходимости знакочередующегося ряда, оценка остатка. Ответ: Одним из типов рядов, является знакочередующийся ряд:

Для определения сходимости таких рядов, существуют отдельные признаки Лейбница:

1

Знакочередующися ряд P ( 1)nan сходится только тогда, когда выполняются следующие при-

n=1

знаки:

1 Предел общего члена стремится на бесконечности к нулю, т.е. lim an = 0

n!1

2 Каждый следующий член меньше предыдущего по модулю, т.е. janj > jan+1j

Только при выполнений этих двух признаков, знакопеременный ряд сходится. В некоторых

случаях необходимо оценить остаток знакопеременного ряда, остатком ряда, называется ряд

1

P

rn = ak, который получается при отбрасывании первых n членов ряда, причем k = n + 1,

k=1

тогда оценку этого остатка проведем по следующему признаку:

Остаток ряда должен быть по модулю меньше первого отброшеного члена, т.е. jrnj 6 jan+1j

8. Сходимость ряда из абсолютных величин членов знакопеременного ряда как достаточное условие сходимости самого ряда. Абсолютная и условная сходимость.

Ответ: Так же одним из признаков сходимости знакопеременного ряда, ялвяется сходимость положительного ряда:

1

Знакопеременный ряд P ( 1)nan сходится, если сходится ряд его модулей, т.е. сходится поло-

n=1

1

жительный ряд P janj

n=1

В этом случае сходимость знакопеременного ряда называется абсолютной, при выполнении же признаков Лейбница сходимость называется условной.

Используя знакопеременный ряд, можно условно составить две суммы, сумму положитель-

ных членов, которая расходится, Sm+ и сумму отрицательных членов, которая так же расходится Sk , тогда общая сумма S = Sm+ Sk , причем m + k = n, причем условная сходимость будет означать сходимость этой суммы S = Sm+ + Sk .

9. Свойства абсолютно сходящихся рядов: перестановка членов, перемножение рядов. Перестановка членов неабсолютно сходящегося ряда.

Ответ: Для абсолютно сходящихся рядов, существует теорема о перестановке их членов:

1

Åñëè ðÿä P ( 1)nan сходится абсолютно, то ряд полученный из него перестановной членов,

n=1

так же сходится, причем к той же сумме что и исходяный ряд Замечание: Условно сходящиеся ряды, переместительным свойством не обладают. Но существует другая теорема, для знакочередующихся рядов:

1

Если знакопеременный ряд P ( 1)nan сходится, то ряд составленый из положительных чле-

n=1

нов, и ряд составленый из модулей отрицательных членов, расходится. Так же в некоторых случаях применяется теорема Римана:

1

Если знакопеременный ряд P ( 1)nan сходится условно, тогда 8числа k, конечного или бес-

n=1

конечного, можно так переставить члены этого ряда, что они будут сходится имеено к этому числу k.

8

10. Функциональный ряд, его область сходимости. Равномерная сходимость. Примеры.

Ответ: Помимо числовых рядов, существуют так же функциональные ряды, тогда:

1

P

Функциональным рядом называеся ряд вида: f(x)an, причем x 2 C.

n=1

Примером такого ряда, является следующий ряд:

1

X nx = x + x2 + x3 + x4 + + nx

n=1

Как и числовые ряды, функциональные ряды так же сходятся, но сходятся уже в зависимости от некоторого значения x, тогда совокупность значений переменной x, для которой данный

функциональный ряд обращается в сходящийся числовой ряд, это и называется областью сходимости функциональго ряда.

Для определения равномерной сходимости функционального ряда, определим для начала равноменую сходимость функциональной последовательности:

no1

последовательность равномерно сходится к функции f(x) = 0.

11. Равномерна сходимость функционального ряда. Признак Вейрштрасса.

Ответ: Как и у числовых рядов, в функциональном ряде можно выделить частичные суммы, тогда:

Функциональный ряд, называется равномерно сходящимся к сумме S(x)

Одним из способов установления равномерной сходимости функционального ряда, является признак Вейрштрасса:

1

P

Функциональный ряд

n=1

положительный числовой ряд an; 8an > 0, который называется мажорирующим рядом, òî- .

гда если выполняется неравненство jfn(x)j 6 an, то функциональный ряд сходится равномерно

Рассмотрим например ряд:

1

X 10 + cos nx

2n

n=1

И установим его равномерную сходимость на множестве x 2 R. Зная, что функция cos x ограниченная, т.е. 1 < cos x < 1, поэтому заменим в числителе косинус, на его максимальное

9

Получаем мажорирующий ряд, который сходится, для которого верно неравенство:

Значит исходный функциональный ряд сходится равномерно. 12. Непрерывность суммы функционального ряда.

Ответ: Так как каждый член функционального ряда есть функция fn(x), то и сумма этого

13. Теорема о почленном интегрировании функциональных рядов.

Ответ: Для равномерно сходящихся рядов, существует теорема о почленном инегрирова-

член ряда непрерывен хотя бы на некотором x 2 [a; b], тогда верно тождество:

b1 b

R R

P

S(x)dx = fn(x)dx.

an=1 a

Рассмотрим например ряд:

1

X

1 x + x2 x3 x4 + x5 x6 + + xn = ( 1)n+1xn

n=1

Как видно слева записана сумма геомертической прогрессии, разность которой q = x, такая прогрессия сходится, если jqj < 1, значит и ряд будет сходится в той же области, т.е.

x 2 ( 1; 1), тогда сумма такой геометрической прогрессии будет равна:

1 1 S = 1 ( x) = 1 + x

Далее применяем теорему о почленном интегрировании, выберем произвольные пределы

10