Основы теории рядов

14. Теорема о почленном диффернциировании функциональных рядов.

Ответ: Аналогично теореме о почленном интегрировании существует так же теорема о почленном интегрировании функциональных рядов:

1

Как видно это убывающая геометрическая прогрессия, причем q = x, так как jqj < 1 то областью равномерной сходимости ряда получаем: x 2 (1; 1) [ (1; +1), тогда сумма такой

прогрессии будет равна:

1 x

Применяем теперь теорему о почленном дифференциировании:

15. Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Поведение ряда на концах интервала сходимости.

Ответ: Одним из типов функционального ряда является степенной ряд, тогда

1

рядом будем называть ряд P an(z z0)n, причем 8an 2 C è z; z0 сходимости степенного рядаn.=1

Сделаем замену z z0 = t, тогда степенной ряд можно будет записать в виде: Одной из теорем о сходимости таких рядов является теорема Абеля:

1

Если степенной ряд P an(z z0)n сходится в некоторой точке z1

n=1

1

P an(z1 z0)n сходится, то верны следующие утверждения:

n=1

1 Если выполняется неравенство jz z0j < jz1 z0j, тогда ряд сходится абсолютно.

2 Если выплняется неравнество jz z0j 6 q 6 jz1 z0j, тогда ряд сходится равномерно.

11

Степенной ряд так же зависит от некоторой переменной x, поэтому он так же может схо-

диться или расходиться в зависимости от переменной, но для степенных рядов такой инетрвал называется радиусом сходимости .

Радиусом сходимости называется положительное вещественное число R > 0, такое, что ряд сходится внутри круга jz z0j < R и расходится вне его jz z0j > R

Радиус сходимости позволяет только установить сам интервал, но ничего не говорит о поведении ряда на концах интервала, для этого нужно лишь подставить концы интервала в сам ряд.

Радиус сходимости степенного ряда можно установить используя два признака:

1

Радиус сходимости степенного ряда P an(z z0)n можно установить используя признак Коши,

n=1

ò.å. R = lim p1 .

n!1 n an

Найдем радиус сходимости, и определим поведение на концах, следующего степенного ряда:

1 2n (n2 + n)

X

xn

n=1

Воспользуемся признаком Коши:

Теперь подставим найденный радиус в неравенство jx x0j < R, ò.ê. x0 = 0, получаем jxj > 2 запишем это в другом виде:

(

jxj > 2 , x < 2 x > 2

Оценим теперь поведение степенного ряда на концах промежутка, x = 2:

Полученный ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости,

Полученный ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости,

ò.å. lim (n2 + n) = 1 6= 0

n!1

В результате получаем интервал сходимости x 2 ( 1; 2) [ (2; +1).

16. Равномерная сходимость степенного ряда. Непрерыность суммы степенного ряда.

12

Ответ: Как и функциональные ряды, степенные ряды могут равномерно сходиться к сво-

1

ей сумме, на бесконечности, т.е. P an(z z0)n S(x), тогда при равномерной сходимости

n=1

справедлива теорема о непрерывности суммы степенного ряда:

1

Если степенной ряд P an(z z0)n равномерно сходится, и каждый член ряда непрерывен хотя

n=1

бы на некотором x 2 [a; b], тогда и сумма этого ряда S(x) будет так же непрерывна на этом же промежутке x 2 [a; b].

17. Теоремы о почленном интегрировании и дифференциировании степенных рядов. Бесконечная гладкость суммы степенного ряда.

Ответ: Как и функциональные ряды, степенные ряды можно почленно интегрировать, но с выполнением некоторых условий:

Каждый член ряда можно бесконечно диффернциировать, поэтому сумма такого ряда должна быть бесконечно гладкой, т.е. должна существовать n-ая производная суммы S(n)(x):

Сумма всякого вещественного ряда, является непрерывной функцией, и при этом бесконечно дифференциируемой, в интервале сходимости jx x0j < R, в том случае когда каждый член ряда, обладает теми же признаками.

18. Необходимое условие при котором функцию можно разложить в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора и Маклорена.

Ответ: Не все функции можно разложить в степенной ряд, для того что бы узнать, можно ли разложить функцию в степенной ряд, воспользуемся теоремой:

Если функция в некоторой окрестности точки x0, ò.å. x 2 (x0+"; x0 ") непрерывна, то функция является бесконечно диффернциируемой. Ряд получаемый в результате будет являться рядом Тейлора для даной функции.

Ряд Тейлора для некоторой функции в точке x0 других разложений не существует!

13

Тогда функцию можно разложить в ряд Тейлора, при выполнении следующих условий:

Если некоторая функция f(x) дифференциируема в некотором промежутке x 2 (x0 + "; x0 "),

сходится к самой функции, только тогда когда остаточный член на бесконечности является

нулем, т.е. lim Rn(x) = 0.

n!1

Причем остаточный член можно рассматривать в любой форме, мы же выпишем его в

fn+1( )

форме Лагранжа, т.е. Rn = (n + 1)! (x x0)n, ãäå 2 (x0; x).

Теперь определив все условия при которых функцию можно разложить в ряд Тейлора, определим ряд Тейлора:

Рядом Тейлора некоторой функции f(x), в некоторой окрестности точки x0 будем называть

В случае, когда x0 = 0 степенной ряд выше, называют рядом Маклорена.

19,20. Критерий разложимости функции в степенной ряд. Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд.

Ответ: Основной критерий разложимости функции в степенной ряд, включен в достаточ- ное условие разложимости функции в степнной ряд:

Для того что бы некоторую функцию можно было разложить в ряд Тейлора, достаточно: 1 Функция f(x) должна быть бесконечно дифференцируема, в окрестности x0,

ò.å. x 2 (x0 + "; x0 ").

2 9M: jfn(x)j < M, 8n > N, причем 8x 2 (x0 "; x0 + ")

Только тогда можно получить степенной ряд Тейлора: f(x) = P1 f(n)(x0) (x x0)n.

n=0 n!

21. Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений, к приближенным вычислениям, к раскрытию неопределенностей.

Ответ: Степенные ряды так же можно применять в решении дифференциальных уравнений, найдем, например, решение диффернциального уравнения:

xy00 + y0 + xy = 0

y(0) = y0(0) = 0

В виде степенного ряда:

1

y0 = X(k + r)akxk+r 1

k=0

1

y00 = X(k + r)(k + r 1)akxk+r 2

k=0

14

Теперь подставим эти ряды в исходное уравнение:

Каждый член должен быть равен нулю, чтобы выполнялось тождество:

a1 = 0; k2ak = ak 2; k = 3; 4; 5;

Тогда можно сказать, что a2m+1 = 0 äëÿ âñåõ m = 0; 1; : : : учитывая, что y(0) = 1, можем сказать, что a0 = 1, тогда получим рекуррентную формулу:

Так же степенные ряды можно использовать в приближенных вычислениях, например,

Как видно второй член этого разложения уже меньше числа 0; 001, поэтому сделав оценку

остатка знакопеременного ряда, можем его выбросить, и все следующие за ним члены, тогда

получаем приближенное значение:

cos = 1 2 12 288

15

Так же с помощью разложений в степенные ряды, можно раскрывать неопределенности,

например, найдем предел:

lim ex 1 = 0

x!0 x 0

Как видно это неопределенность, разложим ex, до второго члена:

lim 1 + x + o(x2) 1 = 1

x!0 x

22. Ряды Тейлора для основных элементарных функций: ex, sin x, cos x, ln(1 + x), (1 + x) .

Ответ: Запишем разложения элементарных функций, в окресности точки x0 = 0, т.е. разложения Маклорена:

23. Ортогональные и ортонормированные системы функций. Норма функции. Примеры ортогональных систем.

Ответ: Назовем две функции f(x) è (x), определенные в некотором промежутке x 2 [a; b] ортогональными в этом промежутке, если выполняется следующее условие:

Z b

f(x) (x)dx = 0

a

Теперь рассмотрим систему функций '(x) , определенных в промежутке x 2 [a; b] и интегрируемых в нем вместе с их квадратами, тогда если функции данной системы попарно ортогональны:

Z b

'n(x)'m(x)dx = 0 (n; m = 0; 1; 2; : : : ; n 6= m)

a

То такую систему называют ортогональной системой функций , ïðè ýòîì

Z b

'2n(x)dx = n > 0

a

Причем n - норма функции, тогда если n = 1 то система является нормальной, в против-

n'n(x)o

ном же случае, можно нормировать систему, тогда получим систему функции вида p ,

n

котора будет называться ортонормированной системой функций.

16

Одним из примеров ортогональной системы функций, является следующая тригонометри- ческая система:

1; cos x; sin x; cos 2x; sin 2x; : : : ; cos nx; sin nx; : : :

Которая ортогональная в промежутке [ ; ].

24.Ряд Фурье по ортогональной системе. Коэффициенты ряда фурье.

Ответ: Рассмотрим некоторую ортогональную систему функций 'n(x) в промежутке x 2 [a; b]. Попробуем разложить некоторую функцию f(x), определенную в x 2 [a; b], â ðÿä ïî

функциям '(x), слеующим образом:

f(x) = c0'0(x) + c1'1(x) + c2'2(x) + + cn'n(x) + : : :

Теперь, для того чтобы определить коэффициенты, умножим обе части на 'm(x), и проин-

Так как система ортогональна, все интегралы справа буут нулями, кроме m-ого интеграла, тогда можно найти коэффициенты:

Тогда полученный в результате разложения функции ряд, будет называться рядом Фурье по ортогональной системе функций. А полученные коэффициенты коэффициентами Фурье по ортогнальной системе функций.

25. Приближение функции в среднем. Сходимость в среднем ряда Фурье.

Ответ: Иногда встречается вопрос о близости приближения некоторых функций, на сколько приближена одна функция к другой, что их разность равна нулю, тогда эту близость двух функций можно определить так:

Z b

jf(x) '(x)jdx = k

a

В случае когда k = 0, две функции идеально близки, но в ряде случаев, такая оценка не удобна, если, например, функция '(x) значительно отличается от функции f(x), лишь на достаточно малом интервале в отрезке x 2 [a; b], поэтому вводится число называемое средним уклонением и равное:

s

Z b

= (f; ') = (f(x) '(x))2dx

a

Как видно справа записана норма разности функций, поэтому можно сказать:

= (f; ') = jjf(x) '(x)jj

Тогда аналогию можно провести для ряда Фурье:

Ряд Фурье называется сходящимся в среднем квадратичном к функции f(x) íà [a; b], åñëè

последовательность его частичных сумм Sn(x) сходится к функции f(x) â средне квадратичном

b

смысле, т.е.: lim R (f(x) Sn(x))2dx = 0

n!1 a

17

Сходимость в средне квадратичном является обобщенным понятием равномерной сходимости.

26. Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Его геометрическая интерпретация. Ответ: Существует теорема об экстремальном свойстве коэффициентов Фурье:

k=0

минимальной:

s

Z b

(f; Sn) = jjf(x) Sn(x)jj = (f(x) Sn(x))2dx = min

a

27. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полнота и замкнутость ортогональной системы функций.

Ответ: Введем определение замкнутой системы функций:

Ортогональная система функций f'k(x)g, называется замкнутой, если для любой функции непрерывной на x 2 [a; b] и 8" > 0, 9n и 9C1; C2; : : : ; Cn, таких, что справедливо неравенство:

w n w

Геометрически это означает, что любую функцию можно приблизить обобщенным рядом Фурье с любой точностью.

Тогда, если система замкнутая, то имеет место равенство Парсеваля:

1

X

fk2 = jjfjj2

k=1

Неравенство Бесселя, можно использоать для вполне не замкнутой системы:

1

X

fk2 6 jjfjj2

k=1

Тогда, зная что такое замкнутая система, можно ввести определение полной системы: Ортогональная система f'k(x)g называется полной, на некотором промежутке x 2 [a; b],если не существует функции, ортогональной всем функциям одновременно, кроме функции f(x) = 0

Справедливо утверждение о том, что всякая замкнутая система полная.

28. Интеграл Фурье в вещественной и комплексной форме. Преобразование Фурье. Ответ: Рассмотрим некоторую функцию f(x) заданную в конечном промежутке x 2 [ l; l],

тогда ее представить тригонометрическим рядом:

1

f(x) = a20 + Xan cos b lx + bm sin nl x

n=1

Причем коэффициенты разложения можно найти так:

l

18

l

Подставим вместо коэффициентов интегралы, в исходное разложение:

Тогда пусть функция f(x) определена в промежутке x 2 ( 1; +1). Перейти к пределу, при l ! +1, при этом первый член разложения будет нулем, а сами функции a( ) и b( )

запишем без вывода:

+1

1

+1

Можно увидеть аналогию с тригонометрическим разложением, а эти формулы называются

формулами Фурье.

Тогда сам интеграл Фурье запишем в двух видах:

+1

Z

(x) = (a( ) cos x + b( ) sin x)d

0

+1 +1

01

Переходя к комплексным переменным, сделаем замену синуса и косинуса, получим:

Тогда, имея представление о интеграле Фурье можем записать формулу для прямого ïðå-

образования Фурье:

+1

F ( ) = p1 Z f(u)ei udu

2

1

Функция F ( ) будет называться прямым преобразованием Фурье функции f(x), но можно записать и обратное преобразование Фурье :

+1

f(x) = 1 Z F ( )e ix d p

2

1

Получаемая функция f(x) может быть вещественной, но при прямом преобразовании Фурье, функция F ( ) всегда будет комплексной.

19

29. Постановка краевых задач для уравнения колебаний струны.

Ответ: Струной мы будем называть называться свободно изгибающуся и невесому нить, длины l, закрепленной в точках x = 0 è x = l, Тогда функция колебания струны будет функ-

цией двух переменных u = u(x; t), а уравнение колебания струны будет иметь вид:

@2u(x; t) = a2 @2u(x; t) @t2 @x2

Вообще функция u(x; t) должна удовлетворять граничным условиям:

u(0; t) = 0; u(l; t) = 0

то есть концы струны должны быть закреплены. Но если функции f(x) è '(x) характеризуют отклонения и скорости точек струны в момент времени t = 0, то должны вполняться начальные условия:

Тогда, вся задача о колебании струны сводится к поиску функции u(x; t), которая удовле-

творяла бы уравнению колебания струны, и начальным условиям.

30. Решение задачи Коши для уравнения свободных колебаний бесконечной струны методом Даламбера. Его физический смысл.

Ответ: Физически рассматриваются свободные поперечные колебания бесконечной струны, которой в каждой точке придается начальная форма и начальная скорость.

Метод Даламбера предполагает, что уравнение колебаний струны, находится с помощью двух функций 1( ) è 2( ), причем хотя бы дважды дифференциируемых, с заменой = x at

è = x + at, тогда функция колебания струны, будет иметь вид:

u(x; t) = 1(x at) + 2(x + at)

Выбираем функции таким образом, что бы они удовлетворяли начальным условиям, т.е.:

Интегрируем второе тождество с обеих сторон:

Для упрощения дальнейших записей обозначим 2(x0) 1(x0) = P , тогда из записаной системы, найдем функции 1(x) è 2(x):

" #

11 Rx

1(x) = 2 f(x) ax0 '( )d + P

" #

11 Rx

2(x) = 2 f(x) + ax0 '( )d P

Теперь сделаем замену x = x at в первом тождестве, и x = x + at во втором тождестве, получаем уравнение колебания струны:

x at

Полученная формула так же называется Формулой Даламбера.

20