
Занятие 7(Фдз 8)
.doc
Занятие 7 (Фдз 8).
Линейный оператор простого типа.
7.1. Определение линейного оператора простого типа, диагонализуемость его матрицы. Достаточное условие оператора простого типа. Примеры линейных операторов простого типа (операторы задачи 3 из типового расчета).
7.1. По определению, линейный оператор
называется оператором простого типа
(или простым оператором), если из
собственных векторов этого оператора
можно составить базис линейного
пространства
.
Такой базис называется собственным
базисом оператора
.
Если
оператор простого типа, и
- собственный базис этого оператора, то
матрица
этого оператора в этом базисе является
диагональной
,
(1)
где
- собственные значения оператора
,
соответствующие собственным векторам
,
т.е.
.
Пример 1. Рассмотрим линейный
оператор
,
действующий в линейном пространстве
векторов декартова пространства
следующим образом:
проектирует каждый вектор
на плоскость
.
Покажем, что данный оператор – оператор
простого типа.
Решение.
Собственные значения и собственные векторы найдены ранее в примере 3 занятия 5.
Этот оператор имеет собственное значение
,
соответствующие ему собственные векторы
параллельны оси
.
Кроме этого оператор имеет собственное
значение
,
соответствующие ему собственные векторы
параллельны плоскости
.
Из собственных векторов этого оператора
можно составить базис пространства
.
Например, векторы
(где
- единичный вектор оси
,
- единичные векторы осей
и
)
– образуют собственный базис оператора
.
Действительно, тройка
служит базисом пространства
и все эти векторы – собственные векторы
оператора
,
т.к.
.
Если
- оператор простого типа, то все его
собственные значения вещественны.
Это условие представляет необходимое
условие простоты оператора
.
Однако вещественность всех собственных значений линейного оператора не служит достаточным условием простоты этого оператора.
Пример 2. Рассмотрим линейный
оператор
из примера 5 занятия 6.
,
.
Покажем, что данный оператор не является простым оператором.
Решение.
Все собственные значения
оператора равны нулю (см. пример 5 из
занятия 6). Таким образом, необходимое
условие простоты линейного оператора
выполнено.
Однако из множества
всех собственных векторов этого оператора
нельзя составить базис пространства
.
Действительно, множество
представляет линейную оболочку линейно
независимых многочленов
,
следовательно,
.
Пространство
трехмерно, т.к. оно имеет стандартный
базис
.
Чтобы из системы
получить базис пространства
,
нужно к этой системе добавить многочлен
,
в котором
.
Никакой из многочленов
не является собственным многочленом
данного линейного оператора. Поэтому,
оператор
не имеет собственного базиса, и значит,
не является простым оператором.
Достаточное условие того, чтобы
заданный оператор
был оператором простого типа, формулируются
в виде следующей теоремы.
Теорема. Если все собственные значения
линейного оператора
действительны и различны, то оператор
- оператор простого типа.
Пример 3. Линейный оператор
действует в двумерном линейном
пространстве
.
В базисе
этого пространства оператор
имеет матрицу
.
Доказать, что оператор
- оператор простого типа. Найти собственный
базис и матрицу
оператора
в этом базисе.
Решение.
Действие оператора
в базисе
определяется равенством
,
где
координаты вектора
и
- координаты вектора
в базисе
.
Собственные значения оператора
найдем из характеристического уравнения.
.
Собственные значения оператора -
действительные и различные числа.
Следовательно, выполнено достаточное
условие, доказывающее простоту оператора
.
Найдем теперь собственный базис оператора
.
- собственный вектор оператора
.
- другой собственный вектор оператора
.
Собственные векторы
отвечают различным собственным значениям.
Следовательно, эти векторы дают линейно
независимую систему. Поскольку
,
векторы
образуют базис пространства
.
Это – собственный базис оператора
.
Осталось найти матрицу
оператора
в собственном базисе
.
- первый столбец матрицы
.
- второй столбец матрицы
.
.
Эта же матрица получается из формулы
(1).
Пример 4. Линейный оператор
действует в линейном пространстве
по правилу
.
Требуется выяснить, является ли данный оператор оператором простого типа. Если да, то найти матрицу оператора в собственном базисе.
Решение.
- линейная оболочка трех линейно
независимых функций
,
служащих базисом пространства
.
.
Найдем матрицу
оператора в базисе
.
- первый столбец
.
- второй столбец
.
-
третий столбец
.
Следовательно,
.
С помощью этой матрицы найдем собственные значения оператора.
.
Необходимое условие оператора простого
типа выполнено (все собственные значения
вещественные числа), а достаточное
условие нет (есть одинаковые собственные
значения:
).
Найдем собственные функции оператора.
- собственная функция оператора,
отвечающая собственному значению
.
- собственные функции оператора,
отвечающие собственному значению
.
Собственные функции
линейно независимы и служат базисом
пространства
.
Следовательно, оператор имеет собственный
базис, и он является оператором простого
типа.
Матрица
оператора в собственном базисе
сразу же находится по формуле (1).
.
Пример 5. Дано множество матриц
и преобразование
,
действующее на этом множестве по правилу
,
где
.
Доказать, что
- линейный оператор простого типа и
найти матрицу этого оператора в
собственном базисе.
Решение.
1)
,
где
.
- линейная оболочка матриц
в линейном пространстве матриц
.
Следовательно,
- линейное подпространство в пространстве
.
2)
.
Значит,
- оператор.
3) Пусть
- произвольные матрицы из множества
и
- произвольные числа.
.
Следовательно,
- линейный оператор.
4) Матрицы
образуют базис в пространстве
.
.
Найдем матрицу
этого оператора в базисе
.
- первый столбец матрицы
.
- второй столбец матрицы
.
- третий столбец матрицы
.
.
5) Теперь найдем собственные значения
и собственные матрицы оператора
.
.
Все собственные значения действительны и различны. Согласно достаточному условию
- линейный оператор простого типа.
6) Найдем собственный базис оператора
.
- собственная матрица оператора
.
- собственная матрица оператора
.
- собственная матрица оператора
.
7)
- собственный базис оператора
.
- матрица оператора в собственном базисе.
_______________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Показать, что заданные линейные операторы являются оператороми простого типа, найти их собственный базис и матрицу в собственном базисе.
1.1.
,
.
1.2..
,
,
.