Занятие 8(Фдз 9)
.doc
Занятие 8 (Фдз 9).
Линейные, билинейные и квадратичные функции в линейном пространстве.
8.1. Линейная функция в линейном пространстве и ее представление в заданном базисе.
8.2. Билинейная функция в линейном пространстве и соответствующая ей билинейная форма в заданном базисе. Векторно-матричная запись билинейной формы. Матрица билинейной формы, закон ее изменения при переходе к новому базису и инвариантность ранга этой матрицы.
8.3. Квадратичная функция в линейном пространстве. Симметричные билинейные функции и соответствующие им квадратичные функции. Квадратичные функции и соответствующие им квадратичные формы. Матрица квадратичной формы.
8.1. Пусть
-
-мерное
линейное пространство. Линейной
функцией
на этом пространстве называется
отображение векторов
на вещественную ось
,
обладающее свойством линейности:
или
и
.
(1)
Если
- базис пространства
и
- координаты вектора
в базисе
,
то
,
где
.
Пример 1. На линейном векторном
пространстве
заданы две числовые функции
.
Проверить, есть ли среди них линейные
функции.
Решение.
.
.
Согласно (2) функция
не является линейной функцией.
,
.
.
Выполнены оба свойства (2). Следовательно,
- линейная функция.
Пример 2.
.
стандартный базис пространства
.
На этом пространстве задана линейная
функция
такая, что
.
Найти
,
если
.
Решение.
.
.
8.2. Билинейной функцией на линейном
пространстве
называется числовая функция
линейная по
одновременно, т.е.
;
(2)
.
(3)
В базисе
пространства
билинейная функция принимает вид
,
(4)
где
,
и
- координаты векторов
в базисе
.
Выражение
называется
билинейной формой координат
и
.
Если
,
то билинейная функция называется
симметричной.
Билинейную форму можно записать в векторно-матричной форме
,
(5)
где
.
Матрица
называется матрицей билинейной формы
или матрицей билинейной функции
в базисе
.
У симметричной билинейной формы матрица
симметрична
.
Соответствующая форма (5) называется
симметричной билинейной формой.
При переходе к новому базису
пространства
,
в котором координаты векторов
соответственно равны
и
билинейная функция
представляется билинейной формой
,
в которой
.
Матрицы
и
связаны между собой равенством
.
(6)
Здесь
- матрица перехода от базиса
к базису
.
Пример 3. На линейном векторном
пространстве
заданы две числовые функции
.
Проверить, есть ли среди них билинейные
функции.
Решение.
Пусть
,
.
1) Исследуем функцию
.
Сначала проверим линейность функции
по первому аргументу.
.
линейна по первому аргументу.
Теперь проверим линейность функции
по второму аргументу.
.
.
не линейна по второму аргументу.
Окончательный вывод: функция
не является билинейной функцией.
2) Исследуем функцию
.
Сначала проверим линейность функции
по первому аргументу.
линейность
по первому аргументу.
Теперь проверим линейность функции
по второму аргументу.
линейность
по второму аргументу.
Окончательный вывод:
- билинейная функция.
В дополнение приведем векторно-матричное
выражение для
и ее матрицу.
.
Здесь
.
Следовательно,
- матрица билинейной функции
в базисе
.
и т.д.
Пример 4. Билинейная функция
на двумерном линейном пространстве
в базисе
представлена следующей билинейной
формой,
,
где
- координаты векторов
в базисе
.
Найти выражение функции
и матрицу этой функции в базисе
,
если
.
Решение.
,
где
.
- матрица функции
в базисе
.
Найдем матрицу
перехода от базиса
к базису
-1-й столбец матрицы
.
- 2-й столбец
.
.
По формуле (6) вычисляем матрицу
билинейной функции
в базисе
.
.
В базисе
билинейная функция
имеет следующее выражение
.
Здесь
,
- координаты векторов
в базисе
.
8.3. Квадратичной функцией
на
-
мерном линейном пространстве
называется билинейная функция
при совпадающих аргументах, т.е. при
.
Следовательно,
.
В базисе
пространства
.
В найденном выражении функции
,
слагаемые
и
представляют подобные члены:
.
Поэтому,
,
где
при
и
.
Выражение квадратичной функции
в виде
называется квадратичной формой.
Пример 5. Найти квадратичные формы соответствующие билинейным формам:
;
.
Решение.
1)
.
2)
.
Следует отметить, что две различные билинейные формы могут давать одну и ту же квадратичную форму. Например, билинейные формы
,
приводят к одинаковой квадратичной форме
.
Таким образом, между билинейными и
квадратичными формами не существует
взаимно однозначного соответствия.
Однако, если рассматривать только
симметричные билинейные формы
,
то между этими формами и соответствующими
им квадратичными формами
автоматически устанавливается взаимно
однозначное соответствие.
Каждой квадратичной форме
можно поставить в соответствие
симметричную матрицу
,
в которой
.
Такое соответствие взаимно однозначно
(биективно) отображает множество всех
квадратичных форм на множество
симметричных матриц. Матрицу
называют матрицей квадратичной формы.
Пример 6. Найти матрицы квадратичных форм
,
.
Решение.
1)
.
- матрица квадратичной формы
.
2)
.
- матрица квадратичной формы
.
С помощью матрицы
квадратичной формы
эту квадратичную форму можно переписать
в следующей векторно-матричной форме
.
Пример 7. Записать квадратичные формы
,
в векторно-матричной форме.
Решение.
Воспользуемся матрицами
квадратичных
форм
и
,
найденными в примере 6.
.
При переходе к новому базису
,
с которым связаны координаты
,
квадратичная форма меняется по закону
,
где
,
-
матрица квадратичной формы в новом
базисе, ее получают из матрицы
с помощью формулы
,
в которой
- матрица перехода от старого базиса
к новому базису
(
- невырожденная матрица, ее определитель
отличен от нуля).
Напомним, что старые и новые координаты
связаны равенством
или
.
Эти формулы называются невырожденным линейным преобразованием координат.
_______________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Билинейные формы
,
в базисе
имеет вид
1.1.
.
1.2.
.
Найти матрицу билинейной формы, ее
матричное представление, а также матрицу
и выражение
в новом базисе
.
2. Найти квадратичные формы, соответствующие билинейным формам
из примеров 1.1, 1.2. Записать эти квадратичные формы в матричном виде. По квадратичным формам записать соответствующие им симметричные билинейные формы.