
Занятие 12(Фдз 13)
.doc
Занятие 12 (Фдз 13).
Ортогональный и ортонормированный базисы. Метод ортогонализации базиса.
Ортогональные матрицы.
12.1. Ортогональные векторы. Ортогональный базис. Ортонормированный базис.
12.2. Метод ортогонализации базиса.
12.3. Ортогональные матрицы и их свойства.
12.1.
Пусть
-
-
мерное евклидово пространство,
- скалярное произведение векторов.
Векторы
называются ортогональными,
если
=0.
Система
из ортогональных векторов, т.е.
,
всегда линейно независима.
Базис
называется ортогональным, если он
состоит из ортогональных векторов.
Базис
называется ортонормированным, если
этот базис является ортогональным, и
все его векторы имеют длину, равную 1.
Пример 1.
В базисе
двумерного евклидова векторного
пространства
матрица
Грама имеет вид
.
Даны векторы
в базисе
.
Требуется найти, при каком значении
параметра
векторы
будут ортогональными.
Решение.
Скалярное
произведение
векторов
в базисе
задается формулой
,
где
- координаты векторов
в базисе
.
Следовательно,
.
Согласно определению
будут ортогональными, если
.
.
12.2.
Пусть
-
-
мерное евклидово пространство,
- скалярное произведение векторов
.
Нахождение ортогонального и
ортонормированного базисов этого
пространства является одной из главных
задач. Решить эту задачу можно так.
Возьмем произвольный
базис
пространства
.
На его основе можно построить ортогональный
базис
пространства
,
если последовательно найти векторы
по следующему алгоритму:
;
,
где
;
,
где
;
(1)
………………………………………………………..
,
где
.
Приведенный алгоритм называется методом ортогонализации базиса.
Теперь, используя
ортогональный базис
легко находится ортонормированный
базис
,
в котором
,
.
(2)
Переход от
к
по формулам (2) называется нормировкой
векторов
.
Пример 2.
Пусть
- трехмерное евклидово пространство со
стандартным скалярным произведением
.
В этом пространстве задан базис
.
Требуется ортогонализовать и
ортонормировать этот базис.
Решение.
Проведем
ортогонализацию базиса
.
Сделаем это с помощью формул (1).
.
,
где
.
.
.
,
где
.
.
Итак, получили:
,
,
.
Проведем проверку ортогональности полученных векторов.
,
,
.
Таким образом,
проверкой окончательно установлено,
что
- ортогональный базис.
Чтобы найти
ортонормированный базис, надо
пронормировать векторы
.
.
.
.
Итог:
,
,
-
ортонормированный базис.
В заключение
отметим, что базис, в котором задано
стандартное скалярное произведение,
также является ортонормированным, он
состоит из векторов
.
Пример 3.
Рассмотрим двумерное евклидово
пространство
с базисом
и скалярным произведением
,
где
- симметричная
билинейная функция. Ее значения на
базисных матрицах таковы:
.
(См. пример 9 занятия 10 и пример 3 занятия 11).
Требуется ортогонализовать и ортонормировать этот базис.
Решение. Сначала
методом ортогонализации из
получим ортогональный базис
.
.
,
где
.
,
- ортогональный базис.
Чтобы получить
ортонормированный базис
,
пронормируем матрицы
.
.
.
.
Ответ.
,
- ортонормированный базис.
Пример 4.
Рассмотрим трехмерное евклидово
пространство
многочленов степени не выше второй
степени со стандартным базисом
и скалярным произведением
,
где
- симметричная билинейная функция со
следующими значениями на базисных
многочленах:
.
(См. пример 8 занятия 10 и пример 2 занятия 11).
Исходя из базиса
найти ортонормированный базис.
Решение.
Сначала методом
ортогонализации из
получим ортогональный базис
.
.
,
где
.
,
где
.
.
.
.
Итог:
,
,
- ортогональный базис пространства
.
Теперь из базиса
получим ортонормированный базис
.
.
(см. вычисление
знаменателя у коэффициента
).
.
.
.
Ответ.
,
,
- ортонормированный базис.
12.3.
Ортогональная
матрица –
матрица
перехода от одного ортонормированного
базиса к другому ортонормированному
базису евклидова пространства
.
Пусть
и
- ортонормированные базисы
-мерного
евклидова пространства
.
,
где
.
- ортогональная
матрица.
Свойство (необходимое
и достаточное условие) ортогональной
матрицы:
или
,
где
- единичная матрица.
Из этого свойства
выводится, что
равен 1 или -1. Поэтому, ортогональные
матрицы составляют два класса. Для
одного класса ортогональных матриц
,
для другого
.
Пример 5.
Даны матрицы
.
Доказать, что
- ортогональные матрицы.
Решение.
1.
.
.
,
,
,
.
- ортогональная
матрица. Легко проверяется, что
2.
.
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
- ортогональная
матрица.
Пример 6.
Найти матрицу
перехода от ортонормированного базиса
к ортонормированному базису
,
,
трехмерного
евклидова пространства
со стандартным скалярным произведением
и проверить, что эта матрица является
ортогональной.
Решение.
.
.
.
- матрица перехода
от базиса
к базису
,
,
.
.
- ортогональная
матрица.
_________________________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. В трехмерном
евклидовом пространстве
со
стандартным скалярным произведением
задан базис
.
Провести ортогонализацию этого базиса.
Затем, по полученному ортогональному
базису найти ортонормированный базис.
2. Дано трехмерное
евклидово пространство
,
у которого матрица
Грама в базисе
имеет вид
.
-новый базис пространства
,
.
Провести ортогонализацию базиса
.
Затем, по полученному ортогональному
базису найти ортонормированный базис.