Занятие 10 (АиГ1)

7

Занятие 10. Кривые второго порядка.

10.1. Эллипс. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, график.

10.2. Гипербола. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, асимптоты, график.

10.3. Парабола. Каноническое уравнение. Параметр параболы, график.

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, неявное задание которых имеет вид:

, (1)

где - заданные вещественные числа, - координаты точек кривой. Наиболее важными линиями среди кривых второго порядка являются эллипс, гипербола, парабола.

10.1. Эллипс. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, график.

Определение эллипса. Эллипсом называется плоская кривая, у которой сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости до любой точки этой кривой есть постоянная величина, независящая от точки (т.е. ). Точки называются фокусами эллипса.

Каноническое уравнение эллипса: . (2)

Такое уравнение получается, если координатная ось (или ось ) проходит через фокусы , а начало координат – точка - находится в центре отрезка (рис.1). Эллипс (2) симметричен относительно осей координат и начала координат (центра эллипса). Постоянные , называются полуосями эллипса.

Если эллипс задан уравнением (2), то фокусы эллипса находятся так.

1) Сначала определяем, где лежат фокусы: фокусы лежат на той координатной оси, на которой расположены бóльшие полуоси.

2) Затем вычисляется фокусное расстояние (расстояние от фокусов до начала координат).

При фокусы лежат на оси ; ; .

При фокусы лежат на оси ; ; .

Рис. 1.

Эксцентриситетом эллипса называется величина: (при ); (при ).

У эллипса всегда . Эксцентриситет служит характеристикой сжатия эллипса.

Если эллипс (2) переместить так, что центр эллипса попадет в точку , а полуоси останутся параллельны осям , , то уравнение полученного эллипса имеет вид

.

10.2. Гипербола. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, асимптоты, график.

Определение гиперболы. Гиперболой называется плоская кривая, у которой абсолютная величина разности расстояний от двух фиксированных точек плоскости до любой точки этой кривой есть постоянная величина, независящая от точки (т.е. ). Точки называются фокусами гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы: или . (3)

Такое уравнение получается, если координатная ось (или ось ) проходит через фокусы , а начало координат – точка - находится в центре отрезка . Гиперболы (3) симметричны относительно осей координат и начала координат. Постоянные , называются полуосями гиперболы.

Фокусы гиперболы находятся так.

У гиперболы фокусы лежат на оси : (рис. 2.а).

У гиперболы фокусы лежат на оси : (рис. 2.б)

Здесь - фокусное расстояние (расстояние от фокусов до начала координат). Оно вычисляется по формуле: .

Эксцентриситетом гиперболы называется величина:

(для ); (для ).

У гиперболы всегда .

Асимптотами гипербол (3) являются две прямые: . Обе ветви гиперболы неограниченно приближаются к асимптотам с ростом .

Построение графика гиперболы следует проводить так: сначала по полуосям строим вспомогательный прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат; затем через противоположные вершины этого прямоугольника проводим прямые, это – асимптоты гиперболы; наконец изображаем ветви гиперболы, они касаются середин соответствующих сторон вспомогательного прямоугольника и приближаются с ростом к асимптотам (рис. 2).

Рис. 2.

Если гиперболы (3) переместить так, что их центр попадет в точку , а полуоси останутся параллельны осям , , то уравнение полученных гипербол запишутся в виде

, .

10.3. Парабола. Каноническое уравнение. Параметр параболы, график.

Определение параболы. Параболой называется плоская кривая, у которой для любой точки этой кривой расстояние от до фиксированной точки плоскости (называемой фокусом параболы) равно расстоянию от до фиксированной прямой на плоскости (называемой директрисой параболы).

Каноническое уравнение параболы: , (4)

где - постоянная, называемая параметром параболы.

Точка параболы (4) называется вершиной параболы. Ось является осью симметрии. Фокус параболы (4) находится в точке , уравнение директрисы . Графики параболы (4) со значениями и приведены на рис. 3.а и 3.б соответственно.

Рис. 3.

Уравнение также определяет параболу на плоскости , у которой по сравнению с параболой (4), оси , поменялись местами.

Если параболу (4) переместить так, что ее вершина попадет в точку , а ось симметрии останется параллельна оси , то уравнение полученной параболы имеют вид

.

Перейдем к примерам.

Пример 1. Кривая второго порядка задана уравнением . Дать название этой кривой. Найти ее фокусы и эксцентриситет. Изобразить кривую и ее фокусы на плоскости .

Решение. Данная кривая является эллипсом с центром в точке и полуосями . В этом легко убедиться, если провести замену . Это преобразование означает переход от заданной декартовой системы координат к новой декартовой системе координат , у которой оси параллельны осям ,. Это преобразование координат называется сдвигом системы в точку . В новой системе координат уравнение кривой преобразуется в каноническое уравнение эллипса , его график приведен на рис. 4.

Рис. 4.

Найдем фокусы. , поэтому фокусы эллипса расположены на оси . . В системе координат : . Т.к. , в старой системе координат фокусы имеют координаты .

Пример 2. Дать название кривой второго порядка и привести ее график.

Решение. Выделим полные квадраты по слагаемым, содержащим переменные и .

, .

Теперь, уравнение кривой можно переписать так:

.

Следовательно, заданная кривая является эллипсом с центром в точке и полуосями . Полученные сведения позволяют нарисовать его график.

Пример 3. Дать название и привести график линии .

Решение. . Это – каноническое уравнение эллипса с центром в точке и полуосями .

Поскольку, , делаем заключение: заданное уравнение определяет на плоскости нижнюю половину эллипса (рис. 5).

Рис.5.

Пример 4. Дать название кривой второго порядка . Найти ее фокусы, эксцентриситет. Привести график этой кривой.

Решение.

- каноническое уравнение гиперболы с полуосями .

- фокусное расстояние.

Знак "минус" стоит перед слагаемым с , поэтому фокусы гиперболы лежат на оси : . Ветви гиперболы располагаются над и под осью .

- эксцентриситет гиперболы.

Асимптоты гиперболы: .

Построение графика этой гиперболы осуществляется в соответствии с изложенным выше порядком действий: строим вспомогательный прямоугольник, проводим асимптоты гиперболы, рисуем ветви гиперболы (см. рис.2.б).

Пример 5. Выяснить вид кривой, заданной уравнением и построить ее график.

Решение.

- гипербола с центром в точке и полуосями .

Т.к. , заключаем: заданное уравнение определяет ту часть гиперболы, которая лежит Справа от прямой . Гиперболу лучше нарисовать во вспомогательной системе координат , полученной из системы координат сдвигом , а затем жирной линией выделить нужную часть гиперболы

(рис. 6).

Рис.6.

Пример 6. Выяснить вид кривой и нарисовать ее график.

Решение. Выделим полный квадрат по слагаемым с переменной :

.

Перепишем уравнение кривой.

. Это – уравнение параболы с вершиной в точке . Преобразованием сдвига уравнение параболы приводится к каноническому виду , из которого видно, что - параметр параболы. Фокус параболы в системе имеет координаты , , а в системе (согласно преобразованию сдвига) . График параболы приведен на рис. 7.

Рис. 7.

Домашнее задание.

1. Нарисовать эллипсы, заданные уравнениями: Найти их полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет и указать на графиках эллипсов места расположения их фокусов.

2. Нарисовать гиперболы, заданные уравнениями: Найти их полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет и указать на графиках гипербол места расположения их фокусов. Написать уравнения асимптот данных гипербол.

3. Нарисовать параболы, заданные уравнениями: . Найти их параметр, фокусное расстояние и указать на графиках парабол место расположения фокуса.

4. Уравнение определяет часть кривой 2-го порядка. Найти каноническое уравнение этой кривой, записать ее название, построить ее график и выделить на нем ту часть кривой, которая отвечает исходному уравнению.