Занятие 14(Фдз 15)
.doc
Занятие 14 (Фдз 15).
Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием координат.
14.1. Ортогональные преобразования координат. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием координат.
14.1. Ортогональным преобразованием координат называется преобразование координат векторов
или (1)
при переходе от одного ортонормированного базиса евклидова пространства к другому ортонормированному базису этого пространства. Координаты связаны с базисом , а координаты - с базисом .
Матрица является ортогональной матрицей, т.е. .
Любую квадратичную форму ортогональным преобразованием (1) координат можно привести к каноническому виду. Делается это последовательным выполнением следующих шагов.
-
Записывается матрица заданной квадратичной формы.
-
Находятся собственные значения и собственные векторы симметричной матрицы , которую можно считать матрицей симметричного оператора в ортонормированном базисе - мерного евклидова пространства .
-
По собственным векторам находится ортонормированный собственный базис оператора и ортогональная матрица перехода от базиса к базису.
-
В заданной квадратичной форме выполняется преобразование (1), в результате которого квадратичная форма принимает следующий канонический вид
. (2)
Пример 1. Привести квадратичную форму ортогональным преобразованием к каноническому виду.
Решение. Выполним все указанные выше шаги 1 – 4.
1. - матрица квадратичной формы. Эту матрицу можно считать матрицей симметричного оператора в ортонормированном базисе двумерного евклидова пространства .
2. - собственные значения матрицы .
- собственный вектор с собственным значением .
- собственный вектор с собственным значением .
3. Векторы - собственные векторы с различными собственными значениями. Поэтому эти векторы ортогональны. Они образуют ортогональный базис пространства .
Нормируем эти векторы.
.
.
- собственный ортонормированный базис.
Записывая координаты векторов в виде столбцов, получим следующую матрицу перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису .
.
Проверим на ортогональность матрицу .
- ортогональная матрица.
4. Проведем в квадратичной форме ортогональное преобразование координат
. (3)
- канонический вид квадратичной формы, полученный ортогональным преобразованием координат (3).
Заметим, что ответ полностью согласуется с формулой (2).
Пример 2. Привести квадратичную форму
ортогональным преобразованием к каноническому виду.
Решение.
1. - матрица заданной квадратичной формы.
2. .
- собственный вектор с собственным значением .
- собственный вектор с собственным значением .
- собственный вектор с собственным значением .
3. - собственные векторы с различными собственными значениями - ортогональный собственный базис.
Нормируем векторы .
.
.
- ортонормированный собственный базис.
По координатам векторов находим матрицу ортогонального преобразования координат и само это преобразование.
.
4. Используя найденное преобразование координат приводим квадратичную форму к каноническому виду.
.
Пример 3. Привести квадратичную форму
ортогональным преобразованием к каноническому виду.
Решение.
1. - матрица заданной квадратичной формы. Эту матрицу можно считать матрицей симметричного оператора в ортонормированном базисе трехмерного евклидова пространства .
2. .
.
.
- два линейно независимых собственных вектора с собственным значением .
.
3. - собственный базис. Он не является ортогональным, т.к. не ортогонален вектору . Проведем процесс ортогонализации к системе векторов .
.
, .
Векторы образуют собственный ортогональный базис симметричного оператора . Пронормировав векторы , получим собственный ортонормированный базис .
.
.
.
4. По координатам векторов находим матрицу ортогонального преобразования и само ортогональное преобразование координат.
.
.
Домашнее задание.
1. Ортогональным преобразованием координат привести квадратичную форму
, к каноническому виду. Найти индексы инерции этой формы.